Два способа решения уравнений высших степеей

Некоторые приемы решения уравнений высших степеней

С понятием «уравнение» на уроках математики учащиеся знакомятся учащихся уже в начальной школе, и задача «решить уравнение» - наиболее часто встречающаяся задача. Тем не менее, дать определение понятия «уравнение», точно определить, что значит «решить уравнение», не выходя за рамки курса элементарной математики, не каждый может.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению уравнений различных видов. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Они используются в учебном процессе, в олимпиадах самого высокого уровня.

1. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей, на которые разлагается многочлен, стоящий в левой части. Этот метод опирается на следующие утверждения:

1. два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;

2. любой многочлен третьей степени можно представить в виде произведения линейного и квадратного множителей;

3. любой многочлен четвёртой степени можно представить в виде произведения двух многочленов второй степени.

Пример. Решите уравнение:

Решение.

Будем искать многочлены (х - а) и (bx² + cx + d) такие, что справедливо тождественное равенство

. (1)

Правую часть запишем в виде bx³ + (c – ab)x² + (d – ac)x – ad.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства (1) получаем систему равенств для нахождения a, b, c, d.

Решив систему, получим a = - 1, b = 9, c = - 9, d = - 3.

Это означает, что наше уравнение запишется в виде: .

Решая совокупность двух уравнений получаем корни и .

Ответ: - 1;

2.2 Искусственные (нестандартные) приёмы, используемые

для решения уравнений

Иногда при решении уравнений используются искусственные приёмы: умножение уравнения на функцию, представление одного из слагаемых в виде некоторой суммы или, в частности, прибавление или вычитание одного и того же выражения, с целью последующей группировки слагаемых, угадывание корня уравнения.

Пример . Решите уравнение:

Решение.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе части уравнения на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Умножим обе части уравнения на многочлен х² + 1, не имеющий корней, получим уравнение:

его можно записать в виде

Ясно, что это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

Заключение

В курсе алгебры уравнения занимают ведущее место, решая их можно получить ответы на вопросы, связанные с наукой и техникой. В работе были рассмотрены некоторые приемы решения уравнений высших степеней метода разложения на множители (существует метод введения новой переменной, функционально – графический метод).

При решении приведённых выше уравнений ученики расширяют свой математический кругозор, при этом происходит развитие логического мышления, умения анализировать, сравнивать. Кроме того, решение уравнений различными способами – это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремлённость, усидчивость, сила воли.

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что изучение решений уравнений высших степеней различными способами имеет весомое значение для более качественного и полноценного образования.

Список используемой литературы

1. Гайштут А. Г. Искусственные приёмы решения уравнений и систем. Творческое объединение «Учитель», 1989.

2. Галицкий М. Л., Гольдман А. Н., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. - М., 1996.- С. 271.

3. Кононов А. Я. Задачи по алгебре: пособие для учащихся 7 - 9 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 1996.- С.176.

4. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г.Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. – М.: Просвещение, 2000. – С. 224.

5. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. – М.: Просвещение, 1999. – С. 124.

6. Малыгин К. А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. – М., 1963. – С. 250.

7. Мордкович А. Г. и др. Алгебра и начала анализа. Задачник. 11 класс.– М.: Мнемозина, 2004. – С. 320.

8. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра 9 класс. – М.: Дрофа, 2006.- С. 316.

9. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала анализа 11 класс. – М.: Дрофа, 2007.- С. 254.

10. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. – М.:ИЛЕКСА, 2003. – С. 318.

11. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. Учебное пособие/под редакцией М. И. Сканави. – М.: Высшая школа, 1980. – С. 541.

12. Шувалова Э. З. и др. Повторим математику. – М.: Высшая школа, 1969. – С. 464.