Элементы теории множеств

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение Московской области

«Авиационный техникум имени В.А. Казакова»

ФИЛИАЛ

« Операции над множествами»

Преподаватель: Седова О.Б.

Понятие « Операции над множествами »

Множество – это совокупность объектов, объединённых каким-либо признаком, свойством.

Опера́ция (лат. operatio, действие) — действие, совокупность действий для достижения какой-либо цели.

Операции над множествами – это совокупность каких-либо действий для получения нового множества

Условные обозначения

Множества:

• Заглавные буквы латинского алфавита или их сочетание: N,Z, GR ,…
• Графическое изображение – круги Эйлера , диаграммы Венна

Элементы множества:

• строчные буквы латинского алфавита: a, b, c,…
• натуральное изображение элемента множества: 5, лисица, , ……

Принадлежность элементов множеству:

• «а принадлежит множеству А» - а ∈ А
• «а не принадлежит множеству А» - а ∉ А

Способы задание множеств :

• перечислением элементов :

А = {a 1 , a 2 ,... , a n }

• указанием характеристического свойства элемента :

Х = {х | Р(x) },

где Р(х) – описывает свойства элементов х множества Х

• заданием порождающей процедуры :

C={c i | c i = F (x) },

где F (x)где функциональная зависимость

Подмножества

Множество К называют подмножеством множества М, если из множества М можно выделить его часть – множество К, все элементы которого обладают таким же признаком, как и элементы множества М

К  М,

• К  М - строгое включение , где К - собственное подмножество множества М.
• К  М - нестрогое включение , где К - несобственное подмножество множества М.

Равенство множеств

Два множества A и B будут равны , если каждый элемент A будет также являться элементом B, и каждый элемент множества B будет также являться элементом A:

A = B

то есть, формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

Задачи

• Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

2. Задайте множества указанием характеристического свойства или порождающей процедурой:

А = {1, 3, 5, 7, 9};

В = {- 2, - 1, 0, 1, 2};

С = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

D = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }

3 . Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7}, S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно?

М = Р

Р ≠ S

М ≠ Т

Р = Т

Ответы к задачам

• Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254 А = {2, 3, 4, 5};

б) 8797 В = {7, 8, 9};

в) 11000 С = {1, 0};

г) 555555 D = {5}

2. Задайте множества указанием характеристического свойства или порождающей процедурой:

А = {1, 3, 5, 7, 9} А = {x| 1≤ x ≤ 9, x ∈ N и х- нечетное число};

В = {- 2, - 1, 0, 1, 2} В = {x| -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z}

С = { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 }; С = {x| 11 ≤ x ≤ 99};

D = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … } D = {x| i ∈ N }

3. Дано множество Какие из элементов этого множества являются множествами? Какие из следующих записей НЕ верны: 

• а); в) д) не верно;
• б) ; г); е)

Объединение множеств

Суммой, или объединением множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.

Пример.

A={1, 3, 5}, B={2, 4, 6}. A  B={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Пересечение множеств

Произведением, или пересечением любого множества называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Пример.

A={1, 3, 5}, B={1, 3, 7, 9}. =А ∩ В = {1, 3}.

Дополнение множества

Пусть A – подмножество U.

Абсолютным дополнением множества A до множества U называется множество, содержащее все элементы множества U, которые не принадлежат множеству A.

Разность множеств

Разностью между множеством A и множеством B называется множество всех элементов из множества A, не являющихся элементами множества B

Пример.

A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 9}. A\ B={5, 18}

Симметрическая разность множеств

Симметрической разностью множеств A и B называется множество всех элементов из A, не являющихся элементами множества B в объединении с множеством всех элементов из B, не являющихся элементами множества A

A ∆ B=(A\B)  (B\A)=(A  B)\(A  B)

Пример.

A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 12}. A ∆ B={5, 7, 12, 18}.

Основные операции над множествами

Приоритеты операций

Под приоритетом операции понимается порядок ее выполнения. Первой выполняется та операция, приоритет которой выше.

Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции объединения.

Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции вычитания.

Объединение и вычитание множеств считают равноправными операциями.

Законы и тождества операций над множествами

Задачи

• Какие из следующих соотношений справедливы:

а) ; в) ; д);

б) г); е )

2. На множестве U всех букв русского алфавита заданы множества A,B,C: А=Найдите следующие множества и изобразите их кругами Эйлера :

а); в) д)

б) г)(A е).

3. Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8,16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти А ∪ В, С ∪ D, В∩С, А∩D,А\С, D\В, А ∪ В ∪ С, А∩В∩С, В ∪ D∩С, А∩С\D.

4. Даны отрезки ,. Найдите следующие множества и изобразите их графически и символически:

а) в) с)

Подведение итогов

• Операции над множествами – это пересечение, объединение, дополнение, разность, симметрическая разность.

• Базовыми операциями над множествами являются пересечение, объединение, дополнение. Через них можно выразить остальные операции.

• Законы, которым подчиняются операции объединения и пересечения –это переместительный, сочетательный, дистрибутивный законы.

• Закон де Моргана, идемпотентности, тождества, исключения третьего и т.п.