Физика. Оптика. Решение задач

Задача

Дифракционная картина наблюдается на расстоянии l=4 м от точечного источника монохромотического света с длиной волны лямбда=500 нм. Посередине между экраном и источником помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе отверстия центр дифракционной картины, наблюдаемой на экране, будет наиболее темным?

Дано:

м

м

Найти:

Решение:

Самое темное пятно соответствует случаю, когда в области открытого фронта укладывается минимальное четное количество зон Френеля для точки наблюдения O - т.е. 2 зоны:

Геометрические соотношения:

Исключив неизвестные  и  , найдем:

Можем упростить выражение, имея ввиду, что 

м

Задача

Монохроматический поляризованный по кругу свет интенсивности Io падает нормально на кварцевую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси. За пластинкой находиться поляризатор, направления пропускания которого составляет угол ф с оптической осью пластинки. Пластинка создает разность фаз d между обыкновенным и необыкновенным лучами. Показать, что интенсивность света, прошедшего через эту систему, определяется следующим выражением: I=Io *(1+sin2ф*sind).

Дано:

Найти:

Решение:

Поляризованный по кругу свет падает нормально на кварцевую пластинку:

Пусть частота колебаний светового вектора равна некоторой величине(период колебаний  ). Если свет поляризован по кругу, то:

И вектор  вращается против часовой стрелки (смотрим вслед уходящему в толщу кварца лучу). Величина вектора постоянна в каждый момент времени:

Усредняя квадрат напряженности по периоду найдем интенсивность падающего пучка:

Платинка создает разность фаз между обыкновенным ( ) и необыкновенным (  ) лучами. Т.е. на выходе из пластинки

Величина вектора напряженности, на выходе поляризатора:

Интенсивность на выходе системы:

Множитель  отсутствует только если под  подразумевать не интенсивность падающего пучка, а интенсивность на выходе системы в отсутствие кварцевой пластинки.

Задача

Монохроматическая световая волна от точечного источника с расстояния а = 20 см падает нормально по отношению к одной из щелей диафрагмы с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на расстояние d =1,5 мм. На экране, расположенном за диафрагмой на l = 100 см, образуется система интерференционных полос. На какое расстояние и в какую сторону сместятся эти полосы, если одну из щелей перекрыть стеклянной пластинкой толщины h = 10 мкм.

Дано:

м

м

м

м

Найти:

Решение:

Проходящая через стекло световая волна приобретает дополнительную разность хода по отношению к волне, прошедшей через "пустое" отверстие. Разность хода набирается за счет того, что скорость распространения света в стекле отличается от скорости света на альтернативном участке пути. Разность хода лучей, набираемая при прохождении щелей, для двух опытов соответственно:

Интерференционную картину можно рассматривать как картину от двух разнесенных точечных источников:

Геометрическая разность хода лучей, набираемая за щелями:

Учтем, что /L

Если на первую щель лучи падают от источника перпендикулярно, то на вторую - под углом. Найдем координату x центра интерференционной картины - т.е. координату, где лучи от двух источников интерферируют с нулевым сдвигом фазы

учтем, что d

Если во втором опыте установить пластинку у первой щели, то центр интерф. картины сместится

Смещение

м

Смещение фактически произойдет в сторону щели со стеклянной пластиной на расстояние  .

Задача

В опыте Юнга отверстия освещались светом с длиной волны 600 нм, расстояние между отверстиями 1 мм и расстояние от отверстий до экрана 3 м. Найти расстояние от центра картины до точки А на экране где наблюдается второй интерференционный минимум.

Дано:

м

м

м

Найти:

Решение:

Разность хода двух интерферирующих лучей в точке экрана с координатой x:

Полагая, что x

Минимумам на экране будет соответствовать

разность хода нечетно кратная :

 .....

м

Задача

Расстояние от диафрагмы до экрана, на котором ведется наблюдение дифракции, равно 1 м, расстояние от точечного источника света до диафрагмы тоже 1 м. Диаметр диафрагмы 5мм. Сколько зон Френеля оказываются открытыми? Длина волны диафрагирующего света 500 нм.

Дано:

м

м

м

м

Найти:

Решение:

Найдем разность хода центрального и самого крайнего лучей:

ввиду малости радиуса  экрана

Каждая зона Френеля соответствует разности хода в полдлины волны:

Задача

Плоская световая волна с Л = 0,6 мкм падает нормально на достаточно большую стеклянную пластину, на противоположной стороне которой сделана круглая выемка. Для точки наблюдения Р по нормали от центра выемки она представляет собой первые полторы зоны Френеля. Найти глубину h выемки, при которой интенсивность света в точке Р будет равной половине от интенсивности падающего света.

Дано:

м

(пок. прел. стекла)

Найти:

Решение:

За счет выемки в стеклянном диске, центральный участок фронта опережает по фазе окружающий фронт на фазовый угол

(ф1)

Теперь ненадолго забудем о выемке и представим что её нет. Вклад в амплитуду колебаний в точке P от первой зоны Френеля

вклад от второй зоны (примерно)

т.к. известно, что открытие первых двух зон Френеля приводит к появлению очнь темного центрального пятна. Вклад всех остальных зон

Если вторую зону условно разделить на две половинки, то вклад каждой из них

Это несложно объяснить. Действительно, рассмотрим отдельно кольцо второй зоны Френеля. Колебания с внешнего края этой зоны отстают на полпериода от колебаний на внутреннем крае зоны. Далее, разделим эту кольцевую зону на два субкольца (внутреннее и внешнее), тогда колебания в центрах этих составляющих будут отличаться уже на четверть периода:

(внутреннее субкольцо)

(внешнее субкольцо)

Разность фаз эквив. четвертьпериоду:

Амплитуду a находим из условия:

Амплитуда в точке наблюдения с учетом существующей выемки:

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:

Интенсивность равна половине от интенсивности падающего света:

Возвращаясь к формуле (ф1), найдем:

м

Задача

Связать угол наименьшего отклонения луча в призме с преломляющим углом и показателем преломления призмы.

Дано:

Найти:

Решение:

Обозначим за  угол отклонения луча. Пусть  - угол падения. Тогда

Угол падения на внутреннюю поверхность

Закон преломления для внутренней поверхности

(1)

откуда также можем получить

(2)

Угол преломления

(3)

Ввиду очевидной симметрии уравнений (1)-(2) относительно перестановки, легко заключить что минимум суммы, стоящей в скобках уравнения (3) выполняется при выполнении условия:

Подставим в уравнение (1):

Подставим в уравнение (3), чтобы получить выражение для угла наименьшего преломления:

Задача

Во сколько раз ослабляется естественный свет, проходя через две призмы Николя, главные плоскости которых составляют угол «фи»=300, если в каждой призме на отражение и поглощение теряется 10% падающего на него светового потока?

Дано:

Найти:

Решение:

Если полагать, что на первую призму падает неполяризованный свет интенсивности I₀, то интенсивность, уже поляризованного света, на выходе первой призмы без учета потерь:

C учетом потерь:

Интенсивность на выходе второй призмы:

На выходе наблюдается ослабление интенсивности света в  раз:

Задача

На боковую грань призмы, изготовленной из стекла с показателем преломления n = 1,50, падает под утлом Брюстера узкий пучок линейно поляризованного света. Плоскость колебаний электрического вектора лежит в плоскости падения. Каким должен быть преломляющий угол призмы ТЕТА, чтобы свет прошел через нее, не испытав потерь на отражение?

Дано:

Найти:

Решение:

Пусть  - угол падения. Закон Брюстера

Если плоскость колебаний электрического вектора лежит в плоскости падения, то интенсивность отраженного луча равна нулю (при угле падения, равном углу Брюстера; т.к. отраженный луч в таком случае полностью поляризован в перпендикулярной плоскости, но перпендикулярная составляющая была нулевая и, следовательно, совсем ничего не отражается) - свет проникает в призму без потерь. Закон преломления:

Угол падения на внутреннюю поверхность призмы:

Если этот угол (  ) опять есть угол Брюстера, но уже для границы раздела стекло-воздух, то интенсивность отраженного во внутрь луча будет равна нулю (т.к. луч проникший в толщу поляризован в плоскости падения) и свет выйдет из призмы опять без потерь:

град

Задача

Определить преломляющий угол бипризмы Френеля, изготовленной из стекла с показателем преломления 1,53 и применяемой для наблюдения интерференционных полос. Известно, что при расстоянии бипризмы от источника света, равном 32 см, и расстоянии бипризмы до экрана, равном 197 см, на экране наблюдается 14 полос на 1 см. Длина волны равна 458 нм.

Дано:

м

м

м

м

Найти:

Решение:

Центр координат - точка O устанавливает положение узкой щели. Рассмотрим ход двух лучей. Преломленные в одной половинке призмы, их дальнейший ход эквивалентен ходу лучей от точечнеого источника S', лежащего на оси OY. Действительно, координата y пересечения прямой 1 с осью OY для очень тонкой линзы:

Координата y пересечения прямой 2 с осью OY для очень тонкой линзы:

Но преломляющий угол очень мал и можно полагать, что:

Найдем эту координату:

Интерференционная картина эквивалента интерфер. картине от двух когерентных точечных источников S' и S'' (зеркальный относительно оси OX). Расстояние между источниками

Расстояние от источников до экрана

Ширина интерференционной полосы (включает в себя белую и черную полосу), наблюдаемой на экране

рад

Выразим величину в градусах:

Задача

Какова должна быть длина дифракционной решетки, имеющей 50 штрихов на 1 мм, чтобы в спектре второго порядка разрешить две линии натрия с длинами волн Л1 = 0,580 мкм и Л2 = 0,5896 мкм. При какой наименьшей разности dЛ двух волн одинаковой интенсивности их можно будет различить этой решеткой вблизи Л1, в максимальном порядке спектра?

Дано:

1/м

м

м

Найти:

Решение:

Необходимая разрешающая сила:

Разрешающая сила дифракционной решетки в спектре m-го порядка:

(ф1)

м

Пусть  - угол, определяющий направление на максимум m-го порядка:

Ввиду очевидного ограничения  найдем, что максимальное значение . Возвращаясь к формуле (ф1), найдем

м

Задача

Параллельный пучок монохроматического света (Л=0,64 мкм) падает нормально на непрозрачную диафрагму Д с круглым отверстием радиусом r. Оптическая ось проходит через центр отверстия перпендикулярно плоскостям диафрагмы и экрана Э для наблюдения явления дифракции, пересекая последний в точке Р (тока наблюдения) на расстоянии В от диафрагмы. Используя метод зон Френеля, векторным методом, определить: как изменится интенсивность света в точке Р при r=1,6 мм и В=4,0 м, если закрыть половину площади отверстия, уменьшив его радиус.

Дано:

м

м

м

Найти:

Решение:

Найдем количество зон Френеля, которые первоначально укладывались на отверстии. Разность хода между крайним и центральным лучами:

упрощение правомерно, т.к.   

Количество зон Френеля:

т.е. первоначально открыта одна зона Френеля.

Зону Френеля можно условно разделить на множество эквивалентных по мощности кольцевых подзон; каждая внешняя подзона имеет малый сдвиг по фазе относительно соседней внутренней подзоны и суммарный вектор дает вектор некторой амплитуды A в точке P:

Вклад каждой очень малой подзоны обозначен очень малым соотв. вектором и ломаная линия выливается в полуокружность. Теперь закроем половину первой зоны Френеля:

Величина вектора при этом уменьшится:

Т.к. интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, найдем, что интенсивность уменьшится в  раза.

Задача

В опыте по наблюдению колец Ньютона при освещении тонкой плосковыпуклой линзы светом с длиной волны Л=589 нм расстояние между первым и вторым светлыми кольцами при наблюдении в отраженном свете оказалось равным 0,5 мм. Определить радиус кривизны линзы R.

Дано:

м

м

Найти:

Решение:

Воздушный зазор между линзой и стеклянной пластиной:

Учтем, что   :

Оптическая разность хода первоотраженно луча (луча, отраженного от нижней грани линзы) и луча, отраженного от стеклянной пластины (оптически более плотной среды):

Условие получения максимума (светлого кольца):

Согласно условию:

м

Задача

Светящаяся точка со скоростью 0,2 м/с движется по окружности вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости, параллельной плоскости линзы и отстоит от нее на расстояние в 1,8 раза больше фокусного. Какова скорость движущегося изображения?

Дано:

м/с

Найти:

Решение:

Изобразим ход лучей:

Изображением светящейся точки B будет точка B'. Введем обозначения:

(радиус, по которому движется точка)

(радиус по которому движется изображение точки)

f - фокусное расстяние линзы

Геометрические соотношения:

=

=

=

Угловая скорость движения точки:

Скорость движения изображения:

м/с

Задача

Широкий параллельный пучок света с длиной волны Л падет по нормали на экран с круглой диафрагмой, с помощью которой можно менять радиус отверстия. Сразу за экраном соосно размещены рассеивающая тонкая линза с фокусным расстоянием -F и еще один экран на расстоянии F от линзы. Оптическая ось системы пересекает второй экран в точке P. При каком радиусе диафрагмы интенсивность света в точке P максимальна? Во сколько раз изменится интенсивность света в точке P, если убрать первый экран с диафрагмой найденного радиуса?

Дано:

Найти:

Решение:

Известно, что собирающая тонкая линза сводит падающий на неё перпендикулярно пучок лучей в фокусе, причем так, что разность хода лучей не меняется; пользуясь этим, мы можем узнать дополнительную разность хода , которая набирается благодяря переменной толщине линзы (центральный луч проходит через самый толстый участок линзы):

В рассеивающей линзе - наоборот, крайние лучи отстают от центрального и оптическая длина пути, пройденного лучами как функция  в точке наблюдения P:

Максимум освещенности будет, если открыта для наблюдения одна зона Френеля:

( если Fr )

Интенсивность пятна Эйри (наблюдаемого при открытии одной зоны Френеля) в 4 раза выше интенсивности, наблюдаемой при открытии всех зон Френеля. Т.е. если раскрыть диафрагму (убрать экран), открыв значительное количество зон Френеля, то интенсивность уменьшится в  раза.

Задача

Расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения одинаковы и равны 0,5 м. Во сколько раз увеличится изображение, если предмет сместить на расстояние 20 см по направлению к линзе? Определить фокусное расстояние линзы.

Дано:

м

м

м

Найти:

Решение:

Запишем формулу тонкой линзы:

м

Пусть высота предмета (или его части от оси до некоторой характерной точки) равна некоторой величине H; соотв. высота изображения есть h:

Расстояние до изображения выразим из формулы тонкой линзы:

Геометрические соотношения:

Увеличение:

Если предмет сместить, как сказано в условии, изображение увеличится:

Задача

Симметричная двояковыпуклая линза с показателем преломления n = 1,5 обладает оптической силой D = 5 дптр. При ее погружении в жидкость с показателем преломления n1 = 1,8 линза действует как рассеивающая. Рассчитайте оптическую силу линзы в жидкости D1 и фокусное расстояние линзы в жидкости F1.

Дано:

дптр

Найти:

Решение:

Фокусное расстояние тонкой двояковыпуклой линзы

Оптическая сила

Фокусное расстояние линзы после помещения в жидкость

м

Оптическая сила линзы в жидкости

дптр

Задача

Собирающая линза дает прямое изображение предмета с увеличением, равным 2. Расстояние между предметом и изображением составляет 20 см. Определите фокусное расстояние линзы.

Дано:

м

Найти:

Решение:

Построим ход лучей ( h = высота предмета, H = высота изображения):

Тангенс угла альфа:

Откуда, исключая  , получим соотношение

Аналогично, для угла бета:

Откуда, исключая  , получим соотношение

м

Задача

Предмет высотой h = 40 мм поочередно устанавливают на расстоянии а перед собирающей выпукло-плоской линзой и рассеивающей вогнуто-плоской линзой с оптическими силами D =1/F, равными, соответственно, +20 и -20 дптр. Правая поверхность линз - плоская. Расстояние от предмета до собирающей ппосковыпуклой линзы а, мм: -100 . Расстояние от предмета до рассеивающей плосковогнутой линзы а, мм: -50. По формулам (1) - (3) рассчитайте фокусное расстояние линз F, расстояние от линзы до изображения Ь, высоту изображения Н и коэффициент линейного увеличения линзы к. Полагая абсолютный коэффициент преломления стекла, из которого изготовлена линза, равным n2 = 1,5, а показатель преломления окружающей среды n1=1, найдите радиус кривизны Н этих линз (с учетом знака). Проверьте, как изменится результат расчета R, если линзу перевернуть на 180'. Зарисуйте изображение предмета.

Дано:

м

дптр

дптр

м

м

Найти:

Решение:

1. Собирающая линза.

Строим точку B' на пересечении лучей (либо их продолжений), идущих через центр линзы, через фокус линзы, а также и перпендикулярно линзе - для контроля.

Фокусное расстояние

м

Расстояние от линзы до изображения

м

Коэффициент линейного увеличения

Высота изображения

м

Найдем радиус кривизны линзы. Оптическая сила

м

Если линзу перевернуть, то её оптическая сила не изменится, действительно

дптр

т.е. D=D₁

2. Рассеивающая линза.

Строим точку B' на пересечении лучей (либо их продолжений), идущих через центр линзы, через фокус линзы, а также и перпендикулярно линзе - для контроля.

Фокусное расстояние

м

Расстояние от линзы до изображения

м

Коэффициент линейного увеличения

Высота изображения

м

Найдем радиус кривизны линзы. Оптическая сила линзы

м

Если линзу перевернуть, то её оптическая сила не изменится, действительно

дптр

т.е. D=D₂

Задача

Рассчитайте фокусное расстояние F и оптическую силу D для 1) вогнуто-выпуклой линзы (положительный мениск) с радиусами кривизны R1 = 15 см и R2=-25 см; 2) двояковогнутой линзы с радиусами кривизны R1 = -5см и R2 = -25см. Показатель преломления n = 1,5.

Дано:

Найти:

Решение:

1. Для вогнуто-выпуклой линзы (положительный мениск)

м

м

Оптическая сила

дптр

Фокусное расстояние

м

2. Для двояковогнутой линзы

м

м

Оптическая сила

дптр

Фокусное расстояние

м