Формула бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона

Подготовила:

учитель математики

Берсенева Т.А.

«Подумаешь, бином Ньютона!» — эта фраза одного из героев романа «Мастер и Маргарита» сделала понятие бинома синонимом чего-то очень сложного и непонятного.

В рассказе «Последнее дело Холмса» о профессоре Мориарти и вовсе сказано, что « он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность ».

Если в цитате из романа Булгакова сквозит ирония, то у Конан Дойла здесь явное преувеличение: вряд ли в XIX в. можно было завоевать европейскую известность таким трактатом. К этому времени формула бинома

Ньютона давно входила в программы школ и колледжей.

В алгебре биномом Ньютона называется выражение вида ,

а формулой бинома Ньютона — тождество, позволяющее раскрытьскобки в этом выражении и представить его как сумму одночленов.

Вамхорошо известны частные случаи этой формулы для N = 2 и N = 3. Этоформулы квадрата суммы:

= + 2 ab +

и куба суммы:

= + 3 b + 3 a + .

Обратите внимание, что если выписать коэффициенты перед слагаемыми в правых частях этих тождеств, то получатся вторая и третья строкитреугольника Паскаля:

1 2 1

1 3 3 1

Проверим, сохранится ли эта закономерность для четвёртой степени:

= ( + 2 ab + )( + 2 ab + ) =

= + 2 b + + 2 b + 4 + 2 a + + 2 a + =

= + 4 b + 6 + 4 a + .

Всё подтвердилось:

1 4 6 4 1.

Эту закономерность обнаружили многие средневековые математики в Китае, Индии и на Ближнем Востоке.В 1665 г. Исаак Ньютон (1643—1727) обобщил эту формулу для дробных иотрицательных показателей степени. Поэтому с тех пор она и носит егоимя.

Следствия из формулы Ньютона:

а) показатели степени а убывают от n до 0, а показатели степени b возрастают от 0 до n . Сумма показателей при а и b в любом слагаемом разложения равняется n .

б) биноминальные коэффициенты равноудалённые от концов – равны

в) общий член разложения имеет вид:

Т m+1 = , m = 0, 1, ... n .

г) сумма биноминальных коэффициентов равна .

.

Задание 1

Разложите ( х – 2 у ) 6 .

Р е ш е н и е:

Пусть а = х , b = – 2 у , тогда:

( х – 2 у ) 6 = x 6 + x 5 (– 2 у ) + x 4 (– 2 у ) 2 +

+ x 3 (– 2 у ) 3 + x 2 (– 2 у ) 4 + x (– 2 у ) 5 + (– 2 у ) 6 =

=1  х 6 + 6 х 5 (– 2 у ) + 15 х 4  4 у 2 + 20 х 3 (– 8 y 3 ) + 15 х 2  16 y 4 + + 6 х (– 32 y 5 ) + 1  64 y 6 = х 6 – 12 х 5 у + 60 х 4 y 2 – 160 х 3 y 3 + +240 х 2 y 4 – 192 ху 5 + 64 y 6 .

Задание 2

Найдите 13 – й член разложения бинома () 15 .

Р е ш е н и е:

Т m+1 =

T 13 = T 12 + 1 = = =  3  2 6 = 87360.

Значит, Т 13 = 87360.

Задание 3

Найти восьмой член разложения ( х – а ) 12 .

Р е ш е н и е:

Здесь ( х – а ) 12 = ( х + (– а )) 12 .

По формуле общего члена разложения бинома имеем:

= = (– a ) 7 = – a 7 = – a 7 = = – 1584 а 7 x 5 .

Задание 4

Найдите номер члена разложения бинома

, который не содержит x .

Р е ш е н и е:

T m + 1 = = =

= = .

= x 0 .

= 0, m = 4.

т. е. 5 – й член не зависит от х .

Задание 5

В разложении найти член, содержащий после упрощения х вседьмой степени.

Р е ш е н и е:

По формуле общего члена разложения бинома

=

. 

По условию задачи, 6 + = 7, откуда k = 6. Таким образом, искомый член будет седьмой.

Он равен Т 6 + 1 = = x 7 = 924 x 7 .

Проверь себя!

Проверь себя!

Проверь себя!

3 – е слагаемое

4 – е слагаемое

Проверь себя!

Проверь себя!

Домашнее задание:

1. По формуле бинома Ньютона найти разложение степеней:

a) (3 x + 4 y ) 6 ; б) .

2. В разложении вычислить член, не содержащий х .

Использованные источники:

https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/nachalnye-svedeniia-kombinatoriki-9340/treugolnik-paskalia-binom-niutona-9489/re-68cef02b-cc12-4a58-8840-b3a2004cf3dd