Формула Пика, площади многоугольника и задания

В5_ФОРМУЛА ПИКА

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

B – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

I – ко узлов внутри  треугольника*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

1. Док произв в неск этапов: от самых простых фигур до произ многоуголь:

Ед квадрат. для него , , , и формула верна.

Произв невыр прямоуг со стор, паралл осям коорд. Для док ф-лы обозн через и длины сторон прямоуг. Тогда : , , . подст убежд, что ф-ла Пика верна.

Прямоуг треуг с катетами, паралл осям коорд. Для док заметим, что любой такой треуг м получ отсеч нек прямоуг его диаг. Обоз через число целочисл точек, леж на диагонали, м показ, что фла Пика вып для такого треугольника, нез от з .

Произв треуг любой такой треуг м б превр в прямоуг прикл к его стор прямоуг треуг с катетами, паралл осям коорд (при этом понадо не б 3 таких треуг). Отсюда м получ корректность ф-лы Пика для любого треугольника.

Произв многоуг. Для док триангулир его, т.е. разобьём на треуг с верш в целочисл т. Для одного треу флу Пика мы уже док. Дальше, м док, что при доб к произв многоуг любого треуг фла Пика сохр свою корр. Отсюда по инд след она верна для люб многоуг.

Формула Пика и решетки. Вывод

Пусть O –– точка на пл=ти («на координат»), и пусть и 2 неколлин вектора

Рассм мн-во всех точек (концов векторов) где p,q целые Это решетка (порожд векторами v и w)

Обозначим площадь «элемент» параллелограмма OACB (где через s.

Предл1. Пусть KLMN –– такой параллелограмм, что верш K, L, M принадл Λ. Тогда N также принадл Λ.

Предл2 Пусть KLMN –– параллелог с верш в точках решетки Λ.
(а) Пл параллел KLMN = ns, где n нат.(б) Если никакая тΛ, за искл K, L, M, N, не лежит внутри параллел KLMN или на его границе, то пл KLMN = s.

Док б) Пусть l –– длина большей из двух диаг KLMN.Замостим пл-ть параллелогр, паралл KLMN. Для параллел π обозн через Kπ его вершину, соотв K при паралл переносе KLMN → π. Тогда π ↔ Kπ б вз однозн соотв меж параллелогр и т решетки Λ. (В самом деле, никакая т решетки Λ не лежит внутри какого-л параллелог или внутри его стороны; след, всякая точка Λ есть Kπ для некот π.) Пусть DR –– круг рад R с ц в O, и пусть N –– число т Λ, распол внутри DR. Обозн эти точки через пусть Объедивсех параллелогр включает и внутри

обозн S пл KLMN тогда То же верно (возм, с д l, но м взять большее из
двух l) для параллелог OACB, ко также не содержит никакой т Λ, отличн от его верш) откуда т к п получаем

Найдём пл треугольника:

M = 15 (обозначены красным) N = 34 (обозначены синим)

M = 24 (обозн красным) N = 25 (обозн синим)

M = 14 (обозначены красным) N = 43 (обозначены синим)

находить пл трапеции, параллелограмма, треуг проще и быстрее по соотв флам площадей этих фигур. Но м  это делать и так  для многоуг с 5 углов эта ф=ла работает хорошо.

ЗАДАЧИ

сто­ро­ны квад­ратных кле­ток равны 1.

ответ: 5

Найдите абсц центра окруж, описан около треуг, вершины кот имеют коор (8, 0), (0, 6), (8, 6).

4) Найдите высоту трапеции ABCD, опущен из верш B, если стороны кв клеток равны 

5) Определить градусную меру угла

Имеем правиль 6-уг угол вписанн=полов дуги=60 *0.5 =30

3) На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме клет­ки 1×1 изоб­р тре­уг Най­ди­те ра­ди­ус опи­са около него окруж­н

31. Вот такая интерес фигура встретилась на пробном ЕГЭ в 2014 году одному из учеников:

М вычленить полный круг и опр его площадь, но ост еще “рыбий хвост” – этакий сдавл ромб, и как опр его площадь?Этот “хвост” – круг, из кот вырез 8 сегм – см. рис, а пло сегмента – это пл сектора (в нашем сл – четверть круга) - пл треуг (красн). Сч: “тело” рыбы – полный круг. Радиус его 2 клетки, пл тогда  . Пл сект -  , пл треуг – 2. Пл сегмента :  , а 8 сегм -  . П “хвоста”:. Соед “хвост” и “тело”:   Отв: 16

Площадь n-угольника с заданными координатами вершин

,где

Пр1. Найти площадь треугольника по координатам вершин A(2,-3), B(1,1), C(-6,5)

Литература

1)Табачников, Фукс. Математический дивертисмент

3) Площади многоугольников, реферат

studbooks.net/2300878/matematika_himiya_fizika/teoreticheskie_osnovy_izucheniya_ploschadey_mnogougolnikov

4) http://решуегэ.рф/test?theme=190