Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии

Учитель математики Магомедова Р.М

Конспект урока по теме: «Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии»

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Оборудование: раздаточный материал

Цели урока: 1)ввести формулу суммы членов конечной арифметической прогрессии, формировать умение применения алгоритма для нахождения суммы членов конечной арифметической прогрессии,познакомиться с историческими аспектами данной темы.

2)развитие математической интуиции, логики, кругозора, реализация принципов связи теории и практики, формирование умения проводить доказательства, развитие познавательного и прикладного интереса, развитие логического мышления и вычислительной культуры.

3)воспитание ответственного отношения к умственному труду, развитие навыков сотрудничества, развитие внимания к действиям учителя.

Ход урока

1. Организационный этап.

Здравствуйте, ребята, садитесь. Откройте тетради, запишите, число…., классная работа.

II. Актуализация опорных знаний.

Задание классу:

1.Выполним задания.

а) продолжить ряд (записать в тетрадь)

Устно:

Продолжите ряд:

1. 1;2;4;8;16…..

2. 4;7;10;13……..

3. 1;2;3;6;12…..

4. 1;6;11;16;21….

5. 1;4;9;16;25…..

6. 16;12;8………

Проверка. (1- каждое последующее число в два раза больше предыдущего, 2- каждое последующее число на 3 больше предыдущего, 3- каждое последующее число на

1,2,3,4…. больше предыдущего, 4- каждое последующее число на 5 больше предыдущего, 5 – последовательность квадратов натуральных чисел, 6- каждое последующее число на 4 меньше предыдущего).

б) Выписать в тетрадь номера последовательностей, являющихся арифметическими прогрессиями.

Проверить в парах.

Одна пара представляет свой вариант. (Согласны, не согласны, почему…)

2.Почему последовательности 2); 4); 6) являются арифметическими прогрессиями?

(Каждый член этих последовательности больше предыдущего на одно и то же число.Следовательно, разность между предыдущим и последующим членами остается постоянной, а это означает, что последовательность - арифметическая прогрессия.)

Во время работы класса два ученика оформляют на доске решение домашней работы.

Задача 1.

Дана арифметическая прогрессия: a₄ =18, a₈=38. Найти а₁ и d.

Решение:

1. d= (38 -18)/(8-4)

d= 5

2. a₄₌ а1+5+5+5= a₁ + 15

а₁ = 18 – 15 = 3

Ответ: а₁ = 3 и d = 5.

Задача 2.

Сколько положительных членов в прогрессии 15,6; 13,5; 11,4……

Решение:

a_n= a₁+ d (n – 1), где a₁=15,6; d= -2,1

a_n = 15 ,6 -2,1 (n – 1)

по условию 15,6 -2,1 (n – 1) 0

15,6-2,1 n + 2,1 0

17,7 2,1 n

n

n

т.к для натуральных значений n выполняется условие то n=8

Ответ: 8

Ученики представляют свои решения классу.

Дополнительные вопросы выступающим ученикам:

1.Дайте определение арифметической прогрессии.

(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

2. Дать характеристику числу d. (Число d- называется разностью арифметической прогрессии, причем если d 0 то прогрессия является монотонно возрастающей, если dd=0 невозрастающей.)

2. Как найти n-ый член арифметической прогрессии?

(Используя формулу n-ого члена прогрессии a_n=а₁+(n-1)d)

III. Этап изучения нового материала.

Задача очень непроста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста 
Сложить в уме все числа?
Пять первых связок изучи, 
Найдёшь к решению ключи.

а) Найти сумму чисел от 1 до 10. (Ученики решали эту задачу и знают способ решения: 11·5=55)

б) Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, т.е. вычислим сумму

S = 1+2+3+4+5+........+99+100.

Проверка в парах. Одну пару заслушиваем.

S = 101·50 = 5050

Историческая информация. Гаусс К.Ф.

Много замечательных историй мы знаем о великих математиках. Одной из них является легенда о Карле Гауссе.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс вероятно рассуждал так: «Сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050» и мгновенно получил результат.

Эту задачу вы решили, используя свойство присущее всем арифметическим прогрессиям.

Ее решение предложено в учебнике на странице 151.

Учащиеся разбирают решение задачи, 1 ученик отвечает у доски:

Запишем сумму данных чисел, а под ней – те же слагаемые в обратном порядке:

S = 1+2+3+4+5+........+99+100

S = 100+99+…….+5+4+3+2+1

Сложим почленно эти два равенства. Каждая пара слагаемых даст один и тот же результат 101.

2 S = 101+101+101+101+……….+101 из числа 100 слагаемых

2 S = 10100

S = 5050

Этот же прием можно использовать и для вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии. В тетради записываем тему: Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.

Доказательство теоремы ученикам предложено провести самостоятельно. Те, кто затрудняется, могут воспользоваться учебником. В учебнике на стр. 152 оно представлено.

Теорема: Сумма первых n членов арифметической прогрессии

равнаполусумме первого и n-го ее членов, умноженной на число членов n, т.е.

IV. Этап закрепления изученного материала.

Сейчас решим три задания из УМК «Математика. Подготовка к ОГЭ». У кого есть вопросы, можно их задавать учителю по ходу решения индивидуально.

Желающие ученики решают задачи на доске

1)Найти сумму 35 первых членов арифметической прогрессии 2;4;6;8;……..

2) Найти сумму ста первых четных натуральных чисел.

3) Найти сумму 40 первых членов арифметической прогрессии, если a₂ = 7, а₄=11.

.

V. Этап проведения контроля

Решить самостоятельно предложенные задачи:

Вариант 1

1. а₁= - 3; d=7. Найдите S₇.

2. (а_n): 5; 2; -1; -4;… арифметическая прогрессия. Найдите S₂₀.

Вариант 2

1. а₁= - 2; d=9. Найдите S₇.

2. (а_n): 7; 5; 3; 1;…арифметическая прогрессия. Найдите S₂₀.

Учащиеся выполняют решение, затем самопроверку, сравнивая полученные ими ответы с представленными верными ответами на доске.

Ответы к тесту

VI. Этап инструктажа по домашнему заданию.

учебник стр.145-151,№16.3,16.13,сборник задач по ОГЭ варианты 1-6(задания №6)

VII. Этап подведения итогов урока, рефлексии.

Что нового мы сегодня узнали на уроке? Прочитайте формулу суммы первых членов арифметической прогрессии.

Ученикам предложено оценить свою работу на уроке.

Учитель выставляет оценки за урок учащимся с учетом самооценки.

5