Функция игрек равно икс в энной степени

Рассмотрим функцию, заданную формулой икс в энной степени, где икс – независимая переменная, а эн – натуральное число. Такую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем. Обратим внимание, что натуральными называются числа, используемые при подсчете предметов, то есть, один, два, три и так далее.

Степенные функции мы уже рассматривали. Это были функции игрек равно икс, игрек равно икс квадрат, игрек равно икс куб.

Определим теперь свойства степенной функции и особенности ее графика при любом натуральном эн.

Выражение икс энной степени, где эн натуральное число, имеет смысл при любом икс, поэтому ее областью определения является множество всех действительных чисел.

Рассмотрим случай, когда показатель эн – четное число. Тогда свойства функции игрек равно икс в энной степени при четном эн аналогичны свойствам функции игрек равен икс квадрат.

• Если икс равен нулю, то игрек тоже равен нулю. График функции проходит через начало координат.

• Если икс не равен нулю, то игрек больше нуля. Это следует из того, что четная степень как положительного, так и отрицательного числа положительна.

• Противоположным значениям икс соответствуют равные значения игрек, так как при четном эн равенство минус икс в энной степени равно икс в энной степени верно при любых значениях икс.

• Функция возрастает в промежутке от нуля до плюс бесконечности (включая ноль) и убывает в промежутке от минус бесконечности до нуля, включая ноль.

• Областью значений функции является множество неотрицательных чисел.

Докажем четвертое свойство.

На промежутке от нуля до плюс бесконечности (включая ноль) функция возрастает, так как если икс первое меньше икс второго и больше либо равен нулю, то икс второе в энной степени больше икс первого в энной степени, а это и означает возрастание функции. На промежутке от минус бесконечности до нуля включительно функция убывает. Действительно, если икс второе больше икс первого и меньше либо равен нулю, то минус икс второе будет меньше икс первого и больше либо равен нулю. Поэтому минус икс первое в энной степени больше минус икс второго в энной степени в силу четности степени, то есть икс певрое в энной степени больше икс второго в энной степени, а это означает, что функция убывает.

С возрастанием икс график функции слева от начала координат опускается вниз, а справа поднимается вверх.

Рассмотрим пятое свойство. Ранее было установлено, что при любом икс и четном эн функция принимает неотрицательные значения. Можно доказать, что любое неотрицательное число является значением степенной функции с натуральным показателем при некотором икс большем нуля. Значит, область значений функции – промежуток от нуля до плюс бесконечности (включая ноль).

Если а больше либо равно нулю, то прямая игрек равно а пересекает график функции, если же а меньше нуля, то прямая не пересекает график.

На рисунках показаны графики функций игрек равно икс квадрат, игрек равно икс в шестой степени, игрек равно икс в энной степени.

Рассмотрим теперь свойства функции игрек равно икс в энной степени, где эн – нечетное число. Эти свойства аналогичны свойствам функции игрек равно икс куб.

• Если икс равен нулю, то игрек равен нулю. График функции проходит через начало координат.

• Если икс больше нуля, то игрек больше нуля; если икс меньше нуля, то игрек меньше нуля. График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

• Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. Это следует из того, что при нечетном эн для любого икс верно равенство: минус икс в энной степени равно минус икс в энной степени.

• Функция возрастает на всей области определения.

• Область значений функции – множество всех действительных чисел.

Докажем четвертое свойство.

Его доказательство для икс принадлежащего промежутку от нуля до плюс бесконечности такое же, как для степенной функции с четным показателем. Докажем, что функция возрастает на промежутке от минус бесконечности до нуля. Пусть икс первое и икс второе принадлежат этому промежутку, икс второе больше икс первого, тогда минус икс второе больше либо равен нулю и меньше минус икс первого. Так как минус икс второе больше либо равен нулю и минус икс первое больше нуля, то минус икс второе в энной степени меньше минус икс один в энной степени. В силу нечетности числа эн получается, что минус икс второе в энной степени меньше минус икс первого в энной степени. Отсюда, икс второе в энной степени больше икс первого в энной степени.

Пятое свойство следует из первых трех свойств и из того, что любое неотрицательное число является значением степенной функции с натуральным показателем при некотором икс большем либо равном нулю. График функции пересекает любая прямая игрек равная а.

На рисунках изображены графики функций игрек равно икс куб, игрек равно икс в седьмой степени, график функции игрек равно икс в энной степени с нечетным показателем большим единицы.