Функция проводимости и переключательные схемы.
В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.
Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал. |
Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.
Будем считать, что два переключателя Х и
связаны таким образом, что когда Х замкнут, то
разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю
должна соответствовать переменная
.
Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.
Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:
a)  Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1; |
б)  Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0; |
в)  Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x; |
г)  Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = ; |
д)  Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = x . y; |
е)  Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=x v y;
|
ж)  Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией . |
Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале). Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей. |
При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи:
синтез и анализ схемы.
СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:
составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
упрощению этой функции;
построению соответствующей схемы.
АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к
определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
получению упрощённой формулы.
Примеры.
1. Построим схему, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов. Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид F(x, y, z, t) = t . (x v y v z), а схема выглядит так:  |
2. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.  Схема имеет вид:  |
3. Найдем функцию проводимости схемы:  Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Функция проводимости F(a, b, c, d, e) = a . b v a . e . d v c . d v c . e . b. |
4. Упростим переключательные схемы: а)  Решение:  Упрощенная схема:  |
б)  . Здесь первое логическое слагаемое является отрицанием второго логического слагаемого , а дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1. Упрощенная схема :  |
в)  Упрощенная схема:  |
г)  Упрощенная схема:  |
д)  (по закону склеивания) Упрощенная схема:  |
е) Решение: Упрощенная схема:  |
5.18. Найдите функции проводимости следующих переключательных схем:
5.19. Проверьте равносильность следующих переключательных схем:
5.20. Постройте переключательные схемы с заданными функциями проводимости:
5.21. Упростите функции проводимости и постройте переключательные схемы, соответствующие упрощенным функциям:
а)  |
б)  |
в)  |
г)  |
д)  |
е)  |
ж)  |
з)  |
и)  |
5.22. Упростите следующие переключательные схемы:
2