Геометрия 9 класс Презентация к открытому уроку "Теорема косинусов"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ общеобразовательнОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ШКОЛА № 15 ГОРОДА МАКЕЕВКИ»

Теорема косинусов

Сырцова Н.В.,

учитель математики

Цели урока:

1.Сформулировать теорему косинусов,

рассмотреть несколько способов

доказательства.

2.Формировать умения применять

теоретические знания при решении задач.

3. Повышать интерес к изучению

математики.

4. Воспитывать культуры речи, развивать

вычислительные навыки.

Устная работа:

Задача: При проектировании строительства железной дороги на некотором участке, возникла необходимость сооружения тоннеля, сквозь выступ горы между пунктами А и В. Для определения длины тоннеля выбрали на местности некоторый пункт С, из которого видны и доступны пункты А и В.

• Чему равна длина тоннеля, если угол С равен 90 0 .
• Ответ: АВ =

Как найти длину тоннеля, если угол С острый.

Дано:

Решение:

• Проведем высоту АН.
• Из треугольника АНС находим АН = АС Sinα
• АН = 4 Sin 60 0 =
• СН = АС Cosα.
• СН =
• ВН = 5-2=3.
• АВ =
• АВ =

Н

Теорема косинусов.

• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

1 способ.

K

1 способ.

K

1 способ.

Если угол С прямой,

тогда Cos C = 0 и формула

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab Cos C становится в этом случае теоремой Пифагора.

Теорема косинусов является обобщенной теоремой Пифагора.

2 способ.

3 способ.

Закрепление. Задача №1

= 1

Определите вид ∆ ABC по теореме,

обратной т. Пифагора.

Значит ∆ ABC – прямоугольный,  В = 90 0 .

Определим вид ∆ ABC по т. косинусов.

АС 2 = AB 2 + BC 2 – 2 AB BC Cos B

Закрепление. Задача№2

Закрепление. Задача №3

Закрепление. Задача №4

Тест

• Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:

а) тупого угла б) прямого угл в) острого угла

Тест

2. В  АВС известны длины сторон АВ и ВС. Чтобы найти сторону АС, необходимо знать величину:

а) угла А б) угла В в) угла С

Тест

3. Если в  АВС   А=48°;   В=72°, то наибольшей стороной треугольника является сторона:

а) АВ б) АС в) ВС

Правильные ответы

1

2

б

3

б

б

Рефлексия деятельности на уроке.

1.Какой способ доказательства наиболее вам понравился и почему?

2.Выучить тот способ, который наиболее доступен.

Домашнее задание:

Выучить п.102, доказательство теоремы косинусов.

Решить задания : с. 257, № 1025 (ж, е); № 1028, 1031 (б)

Сообщение «Из истории открытия теоремы косинусов».

Исторический материал.

Исторический материал.

Начиная с древних времен и примерно до XVII века в тригонометрии, рассматривали почти исключительно « решение треугольников », т.е. вычисление одних элементов треугольника по другим. Такие вычисления были вызваны запросами астрономии, географии, мореплавания, геодезии и архитектуры. Лишь в XVIII веке в содержании тригонометрии значительно расширяется.

Для решения треугольника, т.е. для нахождения трех его элементов, когда известны другие три его элемента (среди которых, по крайней мере, одна сторона), необходимо иметь три независимых соотношения между шестью его элементами. В евклидовой геометрии одно из них выражается равенством: .

В случае прямоугольного треугольника, помимо т. Пифагора, можно, например, пользоваться соотношениями .

В случае косоугольных треугольников, помимо, можно использовать т.синусов или

т. косинусов.

Теорема косинусов была по существу доказана, конечно, геометрически, еще в « Началах» Евклида, а именно в 12-м и 13-м предложениях II книги, в которой обобщается т. Пифагора и выводятся формулы, выражающие квадрат стороны, лежащей против острого или тупого угла треугольника. Это положение, доказанное Евклидом, эквивалентно теореме косинусов.

Александрийский математик Герон (I в), ученые Индии (Брахмагупта, Бхаскара), как и некоторые европейские математики XII-XV в.в. ( Л. Фибоначчи), пользовались формулами близкими к формулам т. косинусов, однако, явно была сформулирована ( словесно) в XVI в. Французским математиком Ф. Виетом.

Современный вид т. косинусов принимает в 1801 г. у французского математика Лазаря Карно (1753г- 1823г).