Геометрия в ЕГЭ. Отношение объемов многогранников

Геометрия в ЕГЭ №14 Отношение объемов многогранников

Точка М-середина бокового ребра SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне основания BC.

Плоскость проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.

а) Плоскость пересекает ребро DS в точке L. Докажите,что BN : NC = DL : LS.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые

плоскость α разбивает пирамиду

M

N

M

N

• Через точку M проведем прямую ,параллельную SA. Так как M-середина SC,то MO-cредняя

линия треугольника ASC

M

N

2. Секущая плоскость очевидно проходит через точки N и O. Тогда сечение пройдет через точку пересечения

прямой NO и прямой АD

M

N

3. Секущая плоскость очевидно проходит через точки N и O. Тогда сечение пройдет через точку пересечения прямой NO

и прямой АD. Обозначим точку пересечения прямых NO и AD точкой K

M

K

N

4. Секущая плоскость очевидно проходит через точки N и O. Тогда сечение пройдет через точку пересечения прямой NO

и прямой АD. Обозначим точку пересечения прямых NO и AD точкой K

M

I

K

N

NK ∩ CD= I

Точки М и I лежат в одной плоскости.

MI ∩ SD= L(по условию )

M

L

I

K

N

Точки М и I лежат в одной плоскости.

MI ∩ SD= L(по условию )

M

L

I

K

N

MNKL- искомое сечение

M

L

I

K

N

По теореме Менелая для ∆ SCD и прямой MI имеем • • = 1 ⇒

⇒ • = 1 ;

Доказать: BN : NC = DL : LS.

M

L

I

K

N

• • = 1 ⇒ ⇒ • = 1

S

M

L

C

I

D

Доказать: BN : NC = DL : LS.

1. △KDI ∼△NCI

=

2. △KDO =△NBO (у.с.у)

KD=BN

Из 1 и 2 получаем

=

1. • = 1 - доказано

M

L

I

K

N

Доказать: BN : NC = DL : LS.

• = 1

=

• = 1

=

M

L

I

K

N

V SABKMN : V MKLCN - ?

M

L

I

K

N

H 2- высота пирамиды IDKL

H 2 = SO= H (DL: LC=1:2)

V KDCMNL= V MINC- V LIKD

H 1- высота пирамиды MINC

H 1 = SO= H

DK= AD= a

S ∆IDK = a∙ a=

ID:IC=BN:NC=1:2-доказано в пункте а)откуда D – середина IC и IC= 2a

V LDKI = ∙ S ∆IDK ∙ H 2

M

NC= a, S ∆ICN = 2a∙ a=

V LDKI =

H 1

V MINC = ∙ S ∆ICN ∙ H 1

L

H 2

V MINC =

I

K

N

V KDCMNL = - =

H 2- высота пирамиды IDKL

H 2 = SO= H (DL: LC=1:2)

V KDCMNL= V MINC- V LIKD

H 1- высота пирамиды MINC

H 1 = SO= H

DK= AD= a

S ∆IDK = a∙ a=

ID:IC=BN:NC=1:2-доказано в пункте а)откуда D – середина IC и IC= 2a

V LDKI = ∙ S ∆IDK ∙ H 2

M

NC= a, S ∆ICN = 2a∙ a=

V LDKI =

H 1

V MINC = ∙ S ∆ICN ∙ H 1

L

H 2

V MINC =

I

K

N

V KDCMNL = - =

V SABKMNL= V SABCD – V MKLCN

V SABKMN = - =

Следовательно

V SABKMN : V MKLCN = : = =

M

L

H 1

H 2

I

K

N

Перечень тренировочных задач

1.Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S .

Точка M расположена на SD так, что

SM  :  SD   =  2 : 3. P   — середина ребра AD , а Q середина ребра BC .

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP   — равнобедренная трапеция.

б)  Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.

Ответ. 2:7

2. Плоскость проходит через вершину A основания треугольной пирамиды SABC,

делит пополам медиану SK треугольника SAB , а медиану SL треугольника SAC пересекает

в такой точке D , для которой SD:DL = 1:2

В каком отношении делит эта плоскость объём пирамиды?

Ответ.1:14

Спасибо за внимание!!!