Гр. 611, 11.04.2020 Алгебраическая форма комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Определение: Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

Сложение и вычитание

Рассмотрим два комплексных числа, заданных в общем виде

z₁ = a₁+ib₁; z₂=a₂+ib₂

тогда

Можно сформулировать правило сложения и вычитания комплексных чисел: при сложении (вычитании) комплексных чисел соответственно складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Умножение

z=z₁z₂=(a₁+ib₁)(a₂+ib₂) =a₁a₂+ia₁b₂+ib₁a₂+i²b₁b₂=a+ib

z=z₁z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+ i (a₁b₂+b₁a₂)

( т.е. можно говорить, что перемножаются комплексные числа как многочлены, учитывая, что i² = -1). Значит, чтобы перемножить два комплексных числа необходимо перемножить их как многочлены, учитывая, что i² = -1.

Деление

При выполнении деления комплексных чисел пользуются искусственным приёмом: числитель и знаменатель дроби умножают на число, комплексно - сопряженное знаменателю дроби, и поступают далее так, как и при умножении комплексных чисел.

Пример.

z₁= 5-i;

z₂=-2+3i;

Возведение в степень

Согласно определению степени числа, необходимо это число умножить на себя столько раз, каков показатель степени числа. Эти правила вам известны из курса средней школы. Они же остаются справедливыми и для комплексных чисел. С одной лишь разницей в том, что основанием степени здесь выступает не одночлен, а двучлен. Для показателей степени 2 и 3 существуют формулы, известные вам как формулы сокращённого умножения: квадрат суммы (разности); куб суммы (разности); разность (сумма) кубов. Убедимся, как можно возводить комплексное число в степень, пользуясь формулами сокращенного умножения.

Найти куб разности комплексного числа:

(3–2i)³ = 3³-3*3²*2i+3*3*(2i)² – i³ =27-54i+ 36i²- i³=-9-54i+i=-9-54i-i*i²=-9-54i+i=-9-53i

При выполнении этого действия мы учли, что

i² =-1;

i³=i*i²=i*(-1) =-i

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

у

A(a, b)

r b



0 a x

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма числа.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

,

Умножение

В случае комплексно – сопряженных чисел:

Деление

Возведение в степень

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик).

Извлечение корня из комплексного числа

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n –ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

ЗАДАНИЕ: изучить теорию, составить краткий конспект.