Математика уступает
Свои крепости лишь
Сильным и смелым
А.П. Конфорович
Графический метод решения систем линейных уравнений с двумя переменными
"Считай несчастным тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»
Я.А. Каменский
Вокруг нас существует множество различных систем, о которых мы с вами даже не задумываемся
Среди всех этих систем особый интерес для нас представляют системы линейных уравнений с двумя переменными.
А ПОЗДНЕЕ МЫ БУДЕМ РЕШАТЬ И С 3, И С 4, …ПЕРЕМЕННЫМИ
Линейное уравнение с двумя переменными
Определение :
Уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c , где х и у – переменные, а, b и с- некоторые числа.
Решением уравнения с двумя переменными называется
пара значений переменных ,
обращающая это уравнение в верное равенство.
Что называют системой уравнений?
Рассмотрим два линейных уравнения:
1) y – 2 x = – 3 2) x + y = 3
Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.
y – 2 x = – 3
x + y = 3
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара чисел, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Решить систему уравнений - значит найти все её решения или установить , что их нет.
Графический способ решения систем линейных уравнений
- Построить в координатной плоскости графики уравнений системы.
- Если прямые, являющиеся графиками линейных функций пересекаются , значит система имеет единственное решение.
- Если прямые параллельны, то система не имеет решений.
- Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.
Графический способ решения систем линейных уравнений предполагает построение графиков каждого из уравнений системы в одной системе координат и исследование их взаиморасположения
- Если прямые, являющиеся графиками линейных функций пересекаются , значит система имеет единственное решение.
- Если прямые параллельны, то система не имеет решений.
- Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.
Рассмотрим на примерах
Решение системы линейных уравнений графическим способом
Выразим у
через х
у – х = 2,
у + х = 10;
y
y=x+2
10
у = х + 2,
у = – х + 10;
Построим график первого уравнения
6
у = х + 2, линейная функция,
график прямая
y=10 - x
х
0
-2
у
2
0
2
1
Построим график второго уравнения
1
0
4
10
x
-2
у =– х+ 10, линейная функция,
график прямая
х
0
10
у
0
10
Ответ: (4; 6)
Алгоритм решения системы уравнений графическим способом
1 . Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + b .
2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции.
3. Строим графики функций в одной системе координат.
4. Определяем число решений:
- если прямые пересекаются, то решением системы являются координаты точки пересечения графиков функций;
- если прямые параллельны, то решений нет;
- если прямые совпадают, то решений бесконечное множество .
5. Записываем ответ.
Графический метод решения системы x + y = 3 y – 2 x = – 3
у = 3 – x ,
линейная функция,
график прямая
x
y
A(0;3)
D(3;3)
3
0
0
3
M(2;1)
у =1
B(3;0)
X=2
у = 2x – 3 ,
линейная функция,
график прямая
y
x
0
– 3
C(0; – 3)
3
3
Ответ: (2; 1)
Решим систему уравнений : у = 0 ,5 x+2 у = 0,5x-1
у =0,5x+2
x
y
B(2;3)
0
2
2
A(0;2)
3
D(2;0)
C(0;-1)
у =0,5x-1
y
x
0
-1
Графики функций параллельны.
0
2
Ответ: Система не имеет решений.
Система
у =x+3
у =x+3
у =x+3 , линейная функция,
график прямая
D( 1 ; 4 )
y
x
A(0;3)
3
0
C( -1 ; 2 )
- 3
0
B( - 3;0)
у =x + 3 , линейная функция,
график прямая
y
x
Графики функций совпадают.
4
1
-1
2
Ответ: система имеет бесконечное множество решений
Частные случаи пересечения графиков линейных функций (памятка)
1) Решите систему уравнений :
у
1) 3 х +2 у = 7,
у = -1,5 х + 3,5
х у
1 2
3 -1
2) 2 х + 4 у = 2,
у = 0,5 – 0,5 х
х у
1 0
3 -1
4
3
2
1
1
3
х
1
2
Ответ: (3;-1) .
2 ) Решите систему уравнений :
у
1) х – у = -1,
у = х + 1
х у
0 1
2 3
2) 2 х + у = 4,
у = 4 - 2 х
х у
0 4
2 0
4
3
2
1
1
3
х
1
2
Ответ: (1;2).