Интерактивный урок "Нахождение точек максимума и минимума функции"

М.Ю. Куликовский

Тема: Нахождения точек максимума и минимума функции

Цель: сформировать навык нахождения точек максимума и минимума функции, устранить предметные затруднения при решении данных заданий.

Теория

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной.

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение».

Минимумом и максимумом функции, другими словами, экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот).

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Есть небольшой лайфках для того, чтобы не запутаться. Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Запомнить!

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума.

Рассмотрим точки максимума и минимума на графике:

Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом, алгоритм действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Интерактивное задание № 1.

Нужно карточки расставить в нужном порядке, чтобы получился алгоритм действий при нахождении максимума/минимума функции.

Также для решения этого задания необходимо знать производные. Для того, пусть у каждого будет таблица производных, используя её на уроках, быстрее будет запоминаться:

Интерактивное задание № 2.

Нужно сопоставить карточки функции с её производной.

Практическое задание № 1 с разбором:

Найдите точку максимума функции

1. Итак, мы видим, что от нас требуется найти точку, а значит, вспоминая наш лайфхак, нам нужно будет искать х.

2. Первым делом надо найти производную данной функции.

1. После того, как мы нашли производную, нам нужно получившийся результат приравнять к 0 и найти корни.

1. Мы нашли корни, теперь нужно нарисовать ось и отметить на ней эти корни:

1. Затем определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции, для этого подставим удобные числа из интервалов в производную:

1. Мы определили вид каждого экстремума, и у нас получилось:

В задании требовалось найти точку максимума, из этого следует, что наш ответ: x = -4.

Разберём задание посложнее.

Практическое задание № 2.

Найдите точку максимума функции

Интерактивное задание № 3.

Выберите карточку, на которой правильно найдена производная функции:

Интерактиваное задание № 4

Как найти дискриминант квадратного уравнения? Выберите правильную формулу.

Интерактивное задание № 5

Какие корни получились при решении квадратного уравнения?

Интерактивное задание № 6

Необходимо соотнестие вид экстремума с корнем уравнения.

Практическое задание № 7

Ссылка на видеоурок: https://learningapps.org/view26706195