Иррациональные неравенства

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА

Определение . Иррациональные неравенства – это неравенства, содержащие переменную под знаком корня.

Иррациональные неравенства решаются с помощью перехода к равносильным рациональным неравенствам или их системам.

При решении иррациональных неравенств необходимо помнить о следующих правилах:

1.Выражение, стоящее под знаком корня четной степени неотрицательно;

2.Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают

неотрицательные значения, то возводя обе части неравенства в натуральную

четную степень и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство,

равносильное данному на Х ;

3.Если обе части неравенства возвести в натуральную нечетную степень,

то всегда получим неравенство, равносильное исходному.

Таблицу записать обязательно!

Подходы к решению иррациональных неравенств

Исходное неравенство

1

Равносильное неравенство или система

2

f(x) ≥ а 2

3

4

f(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0

f(x) а 2

Нет решений ( )

Подходы к решению иррациональных неравенств (корень нечетной степени)

5

Исходное неравенство

Равносильное неравенство или система

6

7

8

0 f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f(x) 2 (x) g(x) f(x) ≤ g 2 (x) f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f(x) g 2 (x) " width="640"

Подходы к решению иррациональных неравенств

Исходное неравенство

9

10

Равносильное неравенство или система

f(x) ≥ 0

11

g(x) 0

f(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

f(x) 2 (x)

g(x)

f(x) ≤ g 2 (x)

f(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

f(x) g 2 (x)

Задача 1. Неравенство решается по пункту 7 таблицы

Задача 2. Неравенство решается по пункту 6 таблицы

Задача 3.

задача решается по пункту 3 таблицы

Решение.

5 – у ≥ 0 у ≤ 5 у [-4; 5]

5 – y ≤ 9 y ≥ -4

у [-4; 5]

Ответ:

Задача 4. Решить неравенство

Решение . Неравенство решается по пункту 2 таблицы:

х 2 –7 х +6  0

х 2 –7 х +6=0, решая квадратное уравнение,

получим корни уравнения х=1 и х=6, тогда

( х – 1)( х – 6)  0.

+ — + х

• 6
• 6
• 6

Ответ :

Задача 5. Решить неравенство

Решение. Учитывая, что правая часть неравенства положительна,

данное неравенство равносильно неравенству:

(решаем по пункту 1 таблицы)

+ – + x

-1 4

Ответ .

-

Задача 6. Решить неравенство

Решение. Решаем по пункту 11 таблицы.

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:





х

(решения первой системы)

-3

(решения второй системы)

х

2

1

-3

Объединяя решения первой и второй систем, приходим к ответу.

Ответ.

Задача 7. Решить неравенство

Решение. Решаем по пункту 9 таблицы.

Данное неравенство равносильно системе:

х

-3 4

0

-12

х

х

Ответ.

Задача 8. Решить неравенство

Решение. Решаем по пункту 3 таблицы.

Это неравенство равносильно системе:

Ответ .

Домашнее задание

Решить неравенства:

1.

2.