Исследовательская работа

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7»

городского округа город Стерлитамак Республики Башкортостан

Учебно-исследовательская работа «Задачи «экономического» содержания на ЕГЭ по математике »

Автор: Дурцева Татьяна Ивановна

учитель математики.

2017-18 учебный год.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...……………………………………………………………………...3

ГЛАВА 1. Простые проценты и задачи. Сложные проценты и задачи……4-7

ГЛАВА 2. Основные подходы к решению нового типа задач ЕГЭ по математике – задач с «экономическим содержанием»…………………………………….7-11

Заключение……………………………………………………………………..11-12

Список использованных источников и литературы…………………………...12

Приложение. Банк заданий «эконономического» типа задач по годам…….13-16

Введение.

Цель: обобщение, углубление и систематизация знаний по теме «Проценты», решение экономических задач на сложные и простые проценты.

Для решения данной цели я поставила перед собой ряд задач:

-Изучить теоретический материал по выбранной теме.

-Вывести формулы начисления простых и сложных процентов.

-Подобрать задачи из сборников по подготовке к ЕГЭ и олимпиадам, решаемые по формулам простых и сложных процентов.

-Научиться решать задачи с процентами разных видов сложности.

Объект исследования – простые и сложные проценты, задачи на банковские проценты.

Предмет исследования – методы решения задач с применением формул простых и сложных процентов, включённые в ЕГЭ.

Материалы: пособия по подготовке к олимпиадам и ЕГЭ.

Методы исследования – поиск необходимой информации в сети Интернет, теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы, сравнение, систематизация информации, обобщение вывод, подбор и решение задач.

Глава1.

Простой и сложный проценты.

Экономическое значение понятия. Процент это плата за использование средств (ссуда, кредит), предо­ставляемых одним лицом (кредитором) другому лицу (заемщику). Величина суммы оплаты долга определяется как процент (в математическом смысле) от суммы долга.

Все знают, как вычисляют проценты. По определению величина М составляет r процентов от другой величины N, если

Значит r процентов от любой величины М определяется дробью

Например, если какая-нибудь величина М увеличивается на r процентов, результат такого увеличения будет

Аналогично при уменьшении величины М на r процентов

Представьте себе, что некоторая сумма денег Р, называемая начальным вкладом, помещается в банк. Спрашивается, какова будет сумма денег S, называемая будущей стоимостью вклада, через n лет, если годовая процентная ставка составляет r процентов. Ответ зависит от того, с каким процентом мы имеем дело - простым или сложным. В случае простого процента на начальный вклад ежегодно начисляется сумма, равная

так что сумма вклада через n лет составит

Простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых операциях.

Задачи.

1.100 тысяч рублей выданы в кредит на полгода по ставке: а) 3% в месяц; б) 14% годовых. Найти сумму погашения кредита.

Решение.

P = 100 тыс.руб.

а) r = 3% , n = 6 месяцев.

S = 1009 ∙0,03∙ 6 = 118 тыс.руб

б) r = 14% годовых, n = 0,5 года.

S = 100 ∙0,14 ∙0,5 = 107 тыс.руб.

2. Проценты по ссуде в 50 тысяч рублей составляют 1875 руб. Какова годовая процентная ставка?

Решение.

P = 50 тыс. руб., I = 1875 руб., n =

3. Банк выплачивает 4800 рублей каждые полгода по вкладу, исходя из 10% годовых. Какова величина вклада?

Решение.

P = 4800 руб., r = 10% годовых, n = 0,5 года.

4. За какой срок вклад в 70 тыс.рублей увеличится вдвое при ставке 10% годовых?

Решение.

P = 70 тыс.руб.,r = 10% годовых, S = 70∙ 2 = 140 тыс.руб.

5.Инвестор может купить квартиру за 60000долларов наличными или заплатив 6400долларов через год. У инвестора в банке не менее 60000 долларов и банк платит 6% годовых, какая альтернатива предпочтительнее?

Решение.

Вывод: оплата наличными предпочтительнее.

Если же при расчетах используются сложные проценты, т.е. «процент от процента», то после первого года будущая стоимость составит

На второй год проценты будут исчисляться уже от этой суммы и величина вклада составит

Значит, через n лет стоимость вклада достигнет величины

Это и есть основная формула для вычисления сложных процентов. Расчеты по этой формуле становятся простыми, если имеется калькулятор с клавишей , позволяющий вычислить значение показательной функции.

Задачи

1.100 тысяч рублей инвестированы в банк на полгода по ставке: а) 10% в месяц; б) 10% годовых. Найти сложные проценты на эту сумму к концу срока.

Решение

а) r = 10% в месяц, n = 6 месяцев.

– P = 100(1 + 0.1)⁶ – 100 = 77.1561 тыс.руб

б) r = 10% годовых, n = 0,5 года.

Подставляя в формулу получим 4,88089 тыс.руб.

2.Кредит в размере 80 тысяч рублей выдан под сложные проценты по ставке 8% годовых на 3 года. Вычислить наращенную сумму к концу срока.

Решение

S = 80(1 + 0,08)³ = 100,77696 тыс.руб.

3.Определить сумму инвестирования под сложные проценты при ставке 12% годовых, если через 2 года наращенная сумму составила 62720 руб

Решение

S = 80 тыс.руб., r = 12% годовых, n = 2 года.

= 50000 руб.

Глава2.

Основные подходы к решению нового типа задач ЕГЭ по математике – задач с «экономическим содержанием»

Рассмотрим основные подходы к решению нового типа задач ЕГЭ по математике – задач с «экономическим содержанием».

1. Решение задач по формуле.

Мы знаем, что если число А увеличить на р %, станет А(1+).Если число А уменьшить на р %, станет А(1-.)

1. Цена товара А руб. была повышена на 25%.  На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.

Решение: Цена товара после повышения стала А(1+). Допустим надо снизить на р %, тогда цена товара после снижения станет А(1+)(1-) и получим первоначальную цену товара: А(1+)(1-) = А. Откуда получим ответ: 20%

2.Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленая сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение: Положим в банк А рублей под р% годовых. Через год сумма на счету станет равной А(1+)рублей. Сняв четверть данной суммы, получим А(1+). Теперь на эту сумму начисляют новый процент А(1+)(1+), который стал 1,44А. Решив данное уравнение, получим ответ р=20%, тогда новый процент равен 60%.

3.Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Допустим фермер получил А рублей под р% годовых. Через год долг будет А(1+)руб. Т.к. фермер вернул долга, то осталось А(1+). После 2-го года долг вырос на р% и стал А(1+)А(1+)= А(1+)² .Теперь, чтобы погасить долг, фермер внес сумму на 21% большую, т.е. А(1+) и погасил кредит, т.е А(1+)² - А(1+)=0. Решив данное уравнение, получим р=120%.

II. Некоторые задачи лучше решать в общем виде, не подставляя первоначальные данные, так как можно запутаться в вычислениях.

4. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.  Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение: пусть первоначальный вклад составил А рублей и вкладчик ежегодно добавлял х рублей. К началу 2-года величина вклада составила А (1+)= 1,5А рублей;

К началу 3-года величина вклада составила (1,5А +х)1,5+х рублей;
К началу 4-года величина вклада составила ((1,5А +х)1,5+х)1,5+х  рублей;
К началу 5-года величина вклада составила (((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х    рублей;
К концу 5-года величина вклада составила((((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х)1,5 рублей. По условию задачи размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% , т.е стал А(1+).

Раскрыв скобки, получим следующее выражение:

()⁵А+()⁴х+()³х+()²х+()х=А=А

х=А

Отсюда, подставив вместо А=3900 тысяч, получим х=210000.

III.Применение свойства степеней

5.За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере , затем , потом и, наконец,  в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад 
находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения  первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение: Пусть первоначальная сумма вклада будет А рублей то через месяц эта сумма станет А(1+ )руб. Если ставку не менять, то сумма увеличится опять на 5% и станет А(1+ )² и т.д. Пусть первая ставка продержалась k, вторая - m, третья - n, последняя - t месяцев.

Тогда сумма увеличилась в А(1+ )^к(1+ )^m(1+ )ⁿ(1+ )^t раз. И по истечении срока хранения  первоначальная сумма стала А (1+)

А(1+ )^к(1+ )^m(1+ )ⁿ(1+ )^t= Применяя свойства степеней, получим 2 ^-3.3^-1.5⁰.7²

приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить систему:

Откуда k=m=1. n=3, t=2. Тогда срок хранения вклада 1+1+3+2=7 месяцев.

IV. Решение задач с помощью математического анализа

6.В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года — y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение:Пусть в январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке на сумму А руб. Тогда через год при х % годовых на счету окажется сумма А (1 +) руб.

Далее вкладчик снимает со счета пятую часть первоначальной суммы. То есть на счету оказывается  сумма . В банке меняется процентная ставка и составляет теперь  у %, т.е (30-х)%. Тогда еще через год у вкладчика на счету окажется Нас интересует значение х, при котором значение  f(x) = будет максимальным. Исследуем данную функцию методами математического анализа.

f^/(x)=0 при

или Максимальное значение функция f(x) примет в точке х₀  (вершина параболы), то есть в точке  =25.

Ответ: 25%.

V. Задачи на сравнение.

7.В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

Решение:

Тогда сумма увеличится в =1,96 , т.е. на 96%

Ответ: на 96%.

Заключение

Таким образом, понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку. Проценты затрагивают финансовую, демографическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. В настоящее время одной из важной составляющей знаний современного человека – знание банковских процентов. Вопросы инфляции, повышение цен, снижение покупательской способности, платежи, налоги, прибыли, кредиты, начисление зарплаты, депозитные счета в Сбербанке касаются каждого человека в нашем общества. Планирование семейного бюджета невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Изучение банковских процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

В случае возникновения кредитных обязательств, я смогу рассчитать все платежи для уплаты банку вне зависимости от того какую процентную ставку предлагает банк (простые или сложные проценты), смогу рассчитать штрафные санкции в случае просрочки платежа. Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа

В целом работа по данной теме для меня оказалась полезной, а также она принесла мне необходимые знания финансовой математики в сфере банковских процентов. Я считаю, цели, поставленные в работе, были достигнуты. Изучив специальную литературу, посвящённую простым и сложным процентам, я расширил свои математические навыки и получил дополнительные теоретические знания по теме «Проценты», научился самостоятельно решать задачи на простые и сложные проценты, узнал историю возникновения процентов и банков, а также о влиянии процентов на жизнь человека. Тем самым я подготовился к решению задач на простые и сложные проценты, которые содержатся в материалах ЕГЭ.

Список литературы

1.Сборники заданий к ГИА и ЕГЭ 2015- 2017.

2. Интернет-ресурсы:

1.http://lib.repetitors.eu/matematika

2.http://math-prosto.ru/percent/percent3.html

3. http://www.edu.ru-//www.edu.ru

Приложение

Задачи из открытого банка заданий ЕГЭ

Задача 1. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем другой. Если 25% рукописи перепечатает первая машинистка, а затем к ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая от момента начала работы первой машинистки. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

Решение: Пусть на перепечатку рукописи первой машинистке требуется ч, тогда второй потребуется ч. На перепечатку 25% рукописи первая машинистка затратит ч. Выясним теперь, сколько времени потребуется двум машинисткам на перепечатку оставшихся 75% рукописи. Первая машинистка перепечатывает за один час часть рукописи, вторая – часть рукописи, а вместе за час они перепечатывают часть рукописи. На перепечатку рукописи им потребуется ч, т.е. ч. Отсюда получаем уравнение:

Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня: и .

Второй корень не соответствует условию задачи.

Ответ: первой машинистке на перепечатку рукописи требуется 60 ч, а второй – 48 ч.

Задача 2. Положив в банк деньги, вкладчик получил через год прибыль в 240 тысяч рублей. Однако он не стал забирать деньги из банка, а, добавив к ним еще 60 тысяч, снова оставил деньги на год. В результате спустя еще год он получил в банке 1 миллион 100 тысяч рублей. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?

Решение: Допустим, что первоначальный вклад составляет тысяч рублей. Тогда процент прибыли за год равен . Сумма вклада, положенного в банк через год, составила тысяч рублей, т.е. тысяч рублей. Этот вклад принес доход, равный тысячам рублей. Всего вкладчик получил 1100 тысяч рублей.

Получаем уравнение:

Решив его, найдем, что это уравнение имеет два корня: , Выполнив расчеты, можно убедиться, что оба корня соответствуют условию задачи.

Ответ: задача имеет два решения: вкладчик вложил первоначально 200 тысяч рублей и получил доход 120% в год или вкладчик вложил первоначально 360 тысяч рублей и получил доход в год.

Задача 3. Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором. После того как оба слитка сплавили, получили слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в первом и во втором слитках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором – 12 кг.

Решение: Обозначим за массу первого слитка в кг, за массу второго слитка в кг, получим систему уравнений:

В результате получим: х=30, у=20.

Ответ: 30 кг, 20 кг

Задача 4. Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с 1 января снижать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 10%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать цену товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решение: Пусть руб. - стоимость товара, - число процентов. Тогда,

I магазин

Февраль

Март

……………………………………

Июль

II магазин

Март

Май

Июль

По условию задачи через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковые, составляем уравнение:

Ответ: на 21%.

Задача 5. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 3%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренной договором.

Решение: Пусть руб. - зарплата, - процент повышения зарплаты. Тогда,

По плану: I квартал руб.

……………………………

IV квартал руб.

Фактически

I полугодие руб.

II полугодие руб.

По условию задачи зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренного договором, составляем уравнение:

Ответ: на 6,09 %.

Задача 6. На заводе было введено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочими некоторой детали, уменьшилось на 20%. На сколько процентов возросла производительность труда этого рабочего?

Решение: Пусть - производительность труда, а - весь объем работы. Тогда работа будет выполнена за время . В результате роста производительности труда время на изготовление детали стало равно , соответственно производительность , или . Соответственно рост производительности труда составил:

Ответ: 25%

Задача 7. Из жителей города одни говорят только на украинском, другие – только на русском, третьи – на обоих языках. По-украински говорят 85% всех жителей, а по-русски – 75%. Сколько процентов всех жителей этого города говорят на обоих языках?

Решение:

100%-85%=15% - не говорят на украинском;

100%-75%=25% - не говорят на русском;

100%-15%-25%=60% - говорят на обоих языках.

Ответ: 60%