Исследовательская работа по математике "Координатная плоскость"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Новоивановская средняя общеобразовательная школа»

Свободненского района Амурской области

Координатная плоскость

Работу выполнили ученики 6 класса:

Гордеева Влада Алексеевна,

Чалая Анастасия Сергеевна

Руководитель работы Махун Вера Игнатьевна,

учитель математики

Новоивановка

2021 г.

Оглавление.

I. Введение……………………………………………………………………. .3

II. Основная часть………………………………………………………...........5

Координаты. Системы координат ………………………………….............. 5

2.1. История возникновения системы координат …………………………. .5

2.2. Координатная плоскость в математике ……………………………….. .6

2.3. Координаты вокруг нас…………………………………………………. 7

2.4. Географические координаты …………………………………………... 8

III. Изображения на координатной плоскости……………………………. .11

3.1. Построение изображений на координатной плоскости……………… 11

3.2. Создание «рисунков» в прямоугольной системе координат. ………. 12

IV. Выводы…………………………………………………………………… 13

V. Заключение ……………………………………………………………... ..13

VI. Библиографический список…………………………………………. … 14

VII. Приложение…………………………………………………………. …. 15

1. Введение.

С координатами в жизни мы сталкиваемся постоянно. Идея задавать положение точки на плоскости с помо­щью чисел зародилась в древности — прежде всего у астро­номов и географов при составлении звездных и географиче­ских карт, календаря.

Подробное изучение координатной плоскости необходимо. Ведь координаты - это тот же адрес. В повседневной жизни в речи взрослых мы иногда слышим такую фразу: “Оставьте мне свои координаты”. Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, что и считается в этом случае координатами человека. Главное здесь в том, что по этим данным можно найти человека. Именно в этом и состоит суть координат или, как обычно говорят, системы координат: это правило, по которому определяется положение того или иного объекта. При работе с координатной плоскостью мы неоднократно можем менять расположение точек, размеры единичных отрезков, что требует высокого развития и логического мышления, и, следовательно, способствует его развитию. В окружающем нас мире сущест­вует много явлений и объектов-прообразов, ко­торые можно использовать для составления зада­ний на метод координат. Если на уроках математики, каждой точке на числовой прямой ставилась в соответствии единственная координата (единственный адрес), то на уроках географии каждой точке на карте соответствуют уже два адреса, две координаты – долгота и широта. В математике встречается следующую запись: А (3; 5) – точке А сопоставлены в соответствие два числа, два адреса, две координаты. Так, значит, существует взаимосвязь между математическими координатами и географическими координатами. Весьма интересный ма­териал предоставляет нам астрономия, где каждое созвездие тесно связанно с координатами.

Проблема: С координатами в математике мы сталкиваемся постоянно, а где еще применяется метод координат?

Цель: выяснить, где еще кроме математики применяется система координат.

Задачи:

1. Познакомиться с историей возникновения системы координат.

2. Научиться свободно ориентироваться на координатной плоскости и на географической карте.

3. Построить некоторые изображения созвездий на координатной плоскости.

4. Научиться «рисовать» в прямоугольной системе координат.

Гипотеза: Если термин «координатная плоскость» математический, то он используется только в математике/

Методы исследования:

1. Изучение интернет ресурсов и литературы.

2. Нахождение координат в жизни человека.

3. Поиск и построение изображений на координатной плоскости.

4. Самостоятельное построение фигур.

Предмет исследования: координатная плоскость.

Объект исследования: координатная плоскость, географические координаты.

II. Основная часть.

2.1. История возникновения системы координат

История возникновения координат и системы координат начинается очень давно, первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (610-546 до н. э.) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции. Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.

Первоначальное применение координат конечно связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта. Основная заслуга в создании современного метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. (Приложение 1).

До наших времён дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. При посещении театра, мы занимаем в театре места, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается, эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)– того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты.

Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.

Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Кроме того, в своей работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа.

Кроме математики интересы Декарта распространялись на физику, где он дал четкую формулировку закона инерции, открыл закон преломления световых лучей на границе двух различных сред («Диоптрика», 1637).

Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

2.2. Координатная плоскость в математике

  Каж­дый объ­ект имеет свой упо­ря­до­чен­ный адрес (ко­ор­ди­на­ты). Таким об­ра­зом, адрес или ко­ор­ди­на­ты – это чис­ло­вое или бук­вен­ное обо­зна­че­ние того места, где на­хо­дит­ся объ­ект.

Ма­те­ма­ти­ка­ми была раз­ра­бо­та­на мо­дель, ко­то­рая, в част­но­сти, поз­во­ля­ет опи­сать любой зри­тель­ный зал (рас­по­ло­же­ние мест в зале). Такая мо­дель по­лу­чи­ла на­зва­ние ко­ор­ди­нат­ная плос­кость.

Чтобы из обыч­ной плос­ко­сти по­лу­чить ко­ор­ди­нат­ную, необ­хо­ди­мо на­чер­тить две пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые, от­ме­чая стрел­ка­ми на­прав­ле­ния «впра­во» и «вверх». На пря­мые на­но­сят де­ле­ния, как на ли­ней­ку, при­чем точка пе­ре­се­че­ния пря­мых – это ну­ле­вая от­мет­ка для обеих шкал. Го­ри­зон­таль­ную пря­мую обо­зна­ча­ют х и на­зы­ва­ют осью абс­цисс, вер­ти­каль­ную пря­мую обо­зна­ча­ют у и на­зы­ва­ют осью ор­ди­нат. Две пер­пен­ди­ку­ляр­ные оси х и у с раз­мет­кой на­зы­ва­ют пря­мо­уголь­ной, или де­кар­то­вой, си­сте­мой ко­ор­ди­нат. На­зва­ние «де­кар­то­ва» про­ис­хо­дит от фа­ми­лии фран­цуз­ско­го фи­ло­со­фа и ма­те­ма­ти­ка Рене Де­кар­та, ко­то­рый ее при­ду­мал (Приложение 1).

Для любой точки на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти можно ука­зать два числа (ко­ор­ди­на­ты). На ри­сун­ке по­ка­за­на точка А на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти. Для по­лу­че­ния ко­ор­ди­нат этой точки необ­хо­ди­мо через точку про­ве­сти две пря­мые, па­рал­лель­ные ко­ор­ди­нат­ным осям (обо­зна­че­ны пунк­тир­ной ли­ни­ей). Пе­ре­се­че­ние одной из пря­мых с осью абс­цисс – это ко­ор­ди­на­та х точки А, пе­ре­се­че­ние дру­гой пря­мой с осью ор­ди­нат – это ко­ор­ди­на­та у точки  А. Сна­ча­ла ука­зы­ва­ют ко­ор­ди­на­ту х, потом у. Точка А имеет ко­ор­ди­на­ты (3;2) . Ана­ло­гич­но на­хо­дим ко­ор­ди­на­ты точки В, она имеет ко­ор­ди­на­ты (-1; 4) (Приложение 1).

2.3. Координаты вокруг нас

Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Координаты окружают нас повсюду:

• если умеете играть в шашки и шахматы, знает, что вертикальные полосы обозначаются цифрами, а горизонтальные – буквами (Приложение 1),

• архитекторы используют систему координат в своих расчётах по проектированию строительных объектов (Приложение 1),

• геометрия одна из наук, которая наиболее ярким способом использует систему координат (Приложение 1),

• в географии система координат географических координат используется достаточно давно, широта - параллели и долгота – меридианы - оси декартовой системы координат (Приложение 1),

• чтобы правильно занять свое место в кинотеатре нужно знать две координаты - ряд и место (Приложение1),

• те, кто играл в морской бой, знает, что каждая клеточка на игровом поле определяется двумя координатами - буквой и цифрой (Приложение 1),

• с помощью координатной сетки летчики, моряки определяют местоположение объектов;

• в биологии - построение схем молекул ДНК, построение диаграмм и графиков, прослеживающих эволюцию развития

• в экономике - разнообразные системы координат применяются для построения графика спроса и предложения, при графическом изображении разных зависимых величин.

• в химии – построение таблицы Менделеева (изменение показателей происходит в горизонтальной и вертикальной плоскости)- взаимное расположение молекул,

• с помощью системы координат, астрономы определяют расстояние до звёзд, их месторасположение на карте звёздного неба, размеры галактики, скорость её вращения, траекторию движения планет и их размеры.

2.4. Географические координаты

Так же, как и каждый дом имеет свой адрес (с названием улицы, города), также и каждое место на поверхности Земли можно записать в виде адреса, используя линию широты (параллель) и линию долготы (меридиан), проходящие через это место. Чтобы найти некоторый объект в городе, в большинстве случаев достаточно знать его адрес. Трудности возникают, если нужно объяснить, где находится, например, дачный участок, место в лесу. Универсальным средством указания местоположения служат географические координаты.

При попадании в аварийную ситуацию, человек первым делом должен уметь ориентироваться на местности. Иногда необходимо определить географические координаты своего местоположения, например, чтобы передать спасательной службе или для других целей.

Местоположение любого объекта на поверхности Земли, его «адрес», определяется географической широтой («адрес» по горизонтали) и географической долготой («ад­рес» по вертикали). Широта и долгота — это географиче­ские координаты точки земной поверхности

Например, координаты нашего села Новоивановка: 127⁰ 59^/ восточной долготы и 51⁰ 24^/ северной широты.

Географическая широта. Параллели — это линии широты. Для всех точек одной и той же параллели широта одинакова. Нача­ло отсчета широт — экватор, все точки которого имеют нулевую широту. От экватора широта отсчитывается в градусах вдоль мери­диана до заданной точки. Все точки земной поверхности, находя­щиеся к северу от экватора, имеют северную широту (с. ш.); широта точек к югу от экватора — южная (ю. ш.). Следо­вательно, широта показывает, насколько далеко к северу или к югу от экватора расположен заданный пункт. Как северная, так и южная широта отсчитываются от 0 до 90°.

Географическая широта заданной точки определяется величиной в градусах дуги меридиана от экватора до параллели, проходящей у точки.

Географическая долгота. Долгота отсчитывается в градусах вдоль параллели. Началом отсчета долгот условно вы­бран Гринвичский (нулевой, начальный) меридиан, который про­ходит через старую Гринвичскую обсерваторию в Лондоне. На­чальный меридиан и меридиан 180° разделяют Землю на Восточное и Западное полушария. Все точки Восточного полушария имеют вос­точную долготу (в. д.), а Западного — западную долготу (з. д.). Как восточная, так и западная долгота отсчитываются от 0 до 180°. Циф­ры, обозначающие градусы долготы, написаны на глобусе и на кар­те полушарий у точек пересечения меридианов с экватором. Географическая долгота заданной точки определяется величиной в градусах дуги параллели от начального меридиана до меридиана, проходящего через эту точку.

III. Изображения на координатной плоскости

3.1. Построение изображений на координатной плоскости.

Все еще с детства любят рассматривать звезды на небе. Нам всегда нравилось наблюдать за звездным небом. Когда мы наблюдали за этими звездами, мы поняли, что они расположены определенным образом.

О зодиакальных созвездиях знают многие, но находить их смогут не все. Эта работа направлена на построение знаков Зодиака на координатной плоскости. Мы построили в системе координат некоторые созвездия.

Астрология - наука о влиянии звезд, созвездий и планет на человека и на Землю. Среди 88 созвездий, украшающих ночное небо, особое место занимают те, среди которых Солнце проходит свой годичный путь. Двенадцать созвездий на пути у Солнца: Овен, Телец, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог, Водолей, Рыбы. Большинство имён принадлежит животным, поэтому эти созвездия получили названия зодиакальные (от греческого зодиакос - «звериный круг»).

На самом деле, конечно, Земля движется вокруг своего светила, но нам кажется, что именно Солнце меняет своё местоположение. Так думали и древние астрономы, давшие названия зодиакальным созвездиям.

Перенесём на координатную плоскость созвездия.

Созвездие “Овен” (-5;5), (-1;3), (0;6), (0;2). 

Созвездие «Близнецы» (-5;5), (-2;5), (-1;8), (3;2), (6;1), (5;-1), (-7;3), (-5;2), (-5;1), (-2;2), (3;-2), (5;-3), (-1;5), (4;-5). 

Созвездие “ Рак” (0;7), (0;3), (2;2), (2;0), (0;0), (-2;-2), (-3;-4), (4;-5).

Созвездие “Лев” (-9;-2), (-4;-2), (-3;-3), (7;-6), (7;-1), (5;2), (5;6), (8;8),(9;7). 

Созвездие “ Дева” (1;9), (5;8), (1;5), (-1;-1), (6;1), (-8;3), (-7;-3), (-4;-3), (-1;-5), (0;-2), (2;1).

Созвездие “Весы” (-1;4), (-6;-1), (7;-1), (2;-5), (-1;4).

Созвездие «Скорпион» (-7;-4),(-9;-4),(-8;-5),(-9;-6),(-8;-7),(-3;-7),(-3;-4), (-3;-3), (-2;1), (-1;2), (1;2), (3;4), (3;7), (4;9), (5;8), (4;2), (6;1), (6;-1), (8;-1).

Созвездие «Стрелец» (2;6), (-1;2), (-3;1), (-4;2), (-6;1), (-5;2), (1;-1), (3;-1), (0;-4), (1;-6). 

Созвездие «Козерог» (8;9), (0;3), (-5;6), (-9;7), (-7;1), (-4;-4), (-2;-6), (1;-8), (3;-6), (7;5).

Созвездие “ Водолей” (-3;-9), (-6;7), (-4;6), (-3;5), (-7;2), (-7;-3), (-7;-5), (-9;-8), (-1;6), (3;2), (8;-2).

Созвездие «Рыбы» (-1;7), (-2;6), (-3;4), (-5;0), (-6;-2), (-9;-9), (-8;-8), (-7;-7),

(-3;-5), (-1;-5), (1;-6), (5;-4), (6;-6), (8;-6), (9;-7), (8;-8), (6;-8).

Мы нарисовали в системе координат созвездия: «Весы», «Скорпион», «Рыбы», «Козерог».

3.2 Создание «рисунков» в прямоугольной системе координат.

На координатной плоскости интересно строить рисунки. Нужно сначала нарисовать рисунок, а затем его перенести на координатную плоскость, но при этом плавные соединения должны быть в виде отрезков. Упоминание о координатах можно увидеть в стихотворении К. Симонова «Сын артиллериста», где говорится о молодом воспитаннике пожилого майора – Лёньке, который корректировал по радио огонь артиллерийской батареи.

«Третий сигнал по радио:

Немцы вокруг меня,

Бейте четыре – десять,

Не жалейте огня!»

Майор побледнел, услышав,

Четыре – десять – как раз

То место, где Лёнька

Должен сидеть сейчас.

IV. Выводы:

1. Координатная плоскость используется не только в математике.

2. Мы научились свободно ориентироваться на координатной плоскости, и на географической карте, теперь можем свободно помогать своим одноклассникам.

3. Изучили много источников информации, в которой представлен материал о координатной плоскости, географических координатах.

4. Убедились, что координаты окружают нас повсюду.

V. Заключение.

Таким образом, в результате проведения исследования, мы решили поставленные задачи. А именно, мы изучили координатную плоскость и связанные с ней понятия. Кроме того, нам удалось определить возможность создания графического изображения на координатной плоскости, то есть создать рисунок по известным координатам, а также перенести изображения созвездий с астрономической карты на координатную плоскость.

В результате проведения исследования выдвинутая гипотеза не получила подтверждение. Мы доказали, что координатная плоскость используется не только в математике, а пронизывает всю практическую жизнь человека; исследовали знаки зодиака через теорию координатной плоскости.

В настоящее время координатный метод широко применяется в повседневной жизни. Современные системы спутниковой навигации позволяют определять координаты объекта, а также следить и управлять объектами, в том числе и движущимися. Эта тема также представляет сегодня большой интерес и может стать темой новой исследовательской разработки в будущем.

V. Библиографический список.

1. Математика. 6 класс: Учебник для учащихся общеобразовательных Учреждений / Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. /под ред. Подольского В.Е. ООО «Издательский центр Вентана – Граф, 2018.

2. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович Математика 6 класс. -

М. :Мнемозина,2010

1. Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990.-96 с.

2. Горячкина О. Координатная плоскость// Математика.-1995-№47.-с.8.

3. Рисуем по координатам//Математика. 2000. №46.47. с.12,22.

4. Красивые задания по теме “Координатная плоскость”// Математика. 1997. №38

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Морской_бой_(игра)

6. https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_(Декарт)

Приложение 1.

Созвездие «Весы»

Созвездие «Рыбы»

Созвездие «Скорпион»

Созвездие «Лев»

.

Созвездие «Козерог»

Приложение 2

Уточка.

(-1; 2); (3; 5); (1; 8); (-3; 7); (-5; 8); (-3; 4); (-6; 3); (-3; 3); (-5; 2); (-5; -2); (-2; -3); (-4; -4); (1; -4); (3; -3); (6; 1); (3; 0); (1; 2); (-1; 2) Глаз (-1; 5)

«Медведь»

(4; -4); (4; -6); (8,5; - 7,5); (9; - 7); (9; - 6); (9,5; - 5); (9,5; - 3,5); (10; - 3);

(10,5; - 2,5); (4; 5); (3; 6); (2; 6); (0; 5); (-3; 5); (-7; 3); (-9; - 1); (-8; -5); (-8; -7);

(-4,5; - 8); (-4,5; - 7); (-5; - 6,5); (-5; - 6); (-7,5; -5); (-4; -5); (-4; -7); (-1; -7);

(1; -6); (-2; -6); (1; -4); (3; -8); (3; -7); (2; -7); (2; -6); (3; -5); (3; -6); (5; -7); (7; -7)

Ухо: (6; -4); (6; -3); (7; -2,5); (7,5; -3)

Глаз: (8; -6).

«Мухомор»

Собачка

(-1; 7); (-1; 6); (0; 4); (0; 3); (-1; 2); (-4; 2); (-5; 3); (-5; 4); ( -4; 6); (-4; 7); (-6; 5); (-6; 4); (-7; 3); (-7; 2); (-6; 1); (-5; 1); (-4; 0); (-3; -3); (-4; -5); (-5; -4); (-6; -4); (-7; -5); (-6; -6); (-3; -6); (-1; 5); (0; -3); (2; -2); (3; -3); (4; -3); (5; -4); (5; -5); (4; -5); (3; -4); (2; -4); (1; -5); (2; -6); (7; -6); (10; -2); (12; -2); (12; 0); (10; 0); (10; -1); (8; 1); (6; 2); (4; 2); (0,5); (-1; 7); (-4; 7)

18