Исследовательская работа учеников 11 класса Глухова Арсения и Чернеца Ивана на тему «Экономическая задача. Задачи на проценты» (рук. Карташова Е.Н.)

• Мы провели опрос среди учащихся 9-11 классов. И вот какие результаты у нас получились.

Знаете ли вы, что такое процент?

Знаете ли вы происхождения знака процент?

Умеете ли вы переводить проценты в дробь?

Умеете ли вы дробь переводить в процент?

Умеете ли вы решать задачи на проценты?

Знаете ли вы, что такое экономическая задача?

История возникновения процентов

Знак « процент » %

• Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Для чего нужен %

• В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые, по аналогии процентов. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию
• Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения.

Что такое %

• Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни.
• 1% - это одна сотая часть числа.

Другая версия возникновения%

• Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Это интересно!!!

• Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег.

Это интересно!!!

• Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.
• Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

Важно!!!

• Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в  1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей.

Алгоритм решения задач на проценты

Цель: исследовать алгоритм решения задач на проценты

• Проблемные вопросы

Как решать задачи на проценты?

Изучить способы решения задач на проценты.

Употребление процента в разговорной речи

• «Работать за проценты» - работать за вознаграждение, исчисляемое в зависимости от прибыли или оборота.
• «На все сто процентов» - полностью.
• «Процентщик» - человек, дающий деньги под большие проценты, ростовщик.

Работа с процентами

Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число процентов на 100:

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств:

Основные понятия, связанные с процентами:

Два основных действия:

• Нахождение процентов от числа:  Чтобы найти проценты от числа нужно, проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число. 

Пример: Найти 15% от числа 400. 

Решение. 

1) 15%=15%:100%=15:100=0,15; 

2) 0,15·400=60. 

Ответ: 60.

2. Нахождение числа по его процентам:  Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь. 

Пример: Найти число, если 18% его равны 900. 

Решение. 

1) 18%=18%:100%=18:100=0,18; 

2) 900:0,18=90000:18=5000. 

Ответ: 5000.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

Основные задачи на проценты:

1)Нахождение процента от числа

2)Нахождение числа по его проценту

3)Нахождение процента одного числа от другого

Историческая задача

• Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернёшь мне в установленный срок 50 сестерциев и ещё 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Решение:

20% равны 50. Найти это число. 1) 20% = 20/100 = 0,2

2) 0,2 • 50 = 10 3) 10+50 = 60 Ответ: Небогатый римлянин должен был отдать 60 сестерциев.

Задача №1

• В саду растет 5 кустов желтых роз. Это составляет 25% от всех роз в саду. Сколько кустов роз в саду?

Решение:

25%=25/100=0,25,

5/0,25= 20 (кустов роз)

Ответ: в саду растет 20 кустов роз.

Задача №2

• На стоянке стоит 40 машин,8 из них фирмы Москвич. Какой процент машин фирмы Москвич от всех стоящих машин на стоянке?

Решение:

8 / 40 • 100% = 20%

Ответ: на стоянке стоит 20% машин фирмы Москвич.

Задача №3

• В нашем классе 5 «Б»:

Всего 27 человек.

Мальчиков 14, это 51,8%

Девочек 13, это 48,2%

• Цвет глаз в нашем классе:

Кареглазых: 5, это 18,5%

Голубоглазых: 14, это 51,9%

Зеленоглазых: 8, это 29,6%

• По цвету волос:

Брюнет 5ч – 18,5%

Русые 22ч – 81,5%

• По году рождения:

2003г. 3ч – 11%

2004г. 22ч – 81,5%

2005г. 2ч – 7,5%

Задачи из ОГЭ

Задача №1

Поступивший в продажу в феврале мобильный телефон стоил 2800 рублей. В сентябре он стал стоить 2520 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон?

Решение:

1) 2800 – 100%

2520 – Х%

Х=2520 •100% / 2800 = 90%

2) 100% - 90% = 10%

Ответ: Цена снизилась на 10%.

Задача №2

Виктор купил мотоцикл за 15000 рублей. Позже он решил продать его на 18% дешевле, чем купил. За сколько рублей Виктор решил продать мотоцикл?

Решение:

1) 15000 – 100%

Х – 18%

15000 • 18% / 100% = 2700 рублей

2) 15 000 - 2700 = 12300 рублей

Ответ: Виктор решил продать мотоцикл за 12300 рублей.

Задачи из ЕГЭ

Задача №1

Тетрадь стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 950 рублей после понижения цены на 25%?

Решение:

1) 30 – 100%

Х – 75%

30 • 75% / 100% = 22,5 рублей

2) 950 / 22,5 =42 (тетради)

Ответ: 42 тетради.

Задача № 2

Футболка стоит 160 рублей. Какое наибольшее число футболок можно купить на 600 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 20%?

Решение:

1) 160 – 100%

Х – 80%

160 • 80% / 100% = 128 рублей

2) 600/128 = 4,7

Ответ: 4 футболки.

Проценты в современной жизни

Цель: исследование и применение процентов в современной жизни.

Проблемные вопросы

• Каким образом применяются задачи на проценты в современной жизни?
• Существует ли необходимость изучения задач на проценты?

Процент используется практически везде. Мы вам расскажем только о трёх сюжетах из жизни, с которыми мы наиболее часто встречаемся.

• Пе рвый сюжет
• Пе рвый сюжет
• Пе рвый сюжет
• Пе рвый сюжет
• Пе рвый сюжет

Менеджер : Уважаемые покупатели! Я хочу вам напомнить, что 31 января заканчивается новогодняя распродажа. В обувном отделе скидка 30% , в отделе подарки скидка на весь товар 20%, о скидках в других отделов можете узнать из рекламы. Приглашаем вас на распродажу в наш магазин.

Покупатель: Извините, можно обратиться? На эти туфли скидка 30%. Будьте добры назовите их цену.

Продавец : Туфли стоили 1200 это 100%. Для того, чтобы найти нужную цену туфель, мы делаем: 30% = 0,3

1200*0,3=360

1200-360=840

Туфли стоят 840 рублей.

Покупатель: Благодарю вас, эта покупка для меня очень выгодна.

Покупатель : Скажите, какая скидка на эти ботинки?

Продавец: 15%

Покупатель: Значит если ботинки стоили 2000 рублей, то вычисляем:

15% =0,15

2000*0,15 = 300

2000 – 300= 1700

Продавец: С овершенно верно.

• Второй сюжет

Клиент: Скажите, пожалуйста, какую сумму я должен положить на счет под 7,5% годовых, чтобы через год получить прибыль 6000 рублей?

Операционист: Ваш вклад ? руб. – 100%

6000р. – 7,5%,

6000*100%/7,5%=80000 рублей

• Третий сюжет

• Как подорожали коммунальные услуги! А писали в газетах и говорили по телевидению, что подорожание будет незначительным. Давайте рассчитаем на сколько процентов подорожала плата за отопление. В декабре плата за 1кв.м была 25,4рублей. Сейчас 44,6 рублей, подорожание составило 20,2 рублей.

Получаем: 25,4 – 100% 20,2 – ?%, 20,2*100%/25,4=79,53%

• Подорожание за горячее водоснабжение. Было за 1 чел. 19,7 рублей. Сейчас 25,3 рублей, подорожание составило 5,6 рублей. Вычисляем: 19,7 –100%

5,6 –?%,

5,6*100%/19,7=28,43%

• Подорожание за электроэнергию. В декабре 2,74р. за кВт, а сейчас 3,04 рублей, подорожание составило 0,3 рублей. Получаем:2,74 – 100% 0,3 – ?%

0,3*100%/2,74=10,95%

• Подорожание за пользование холодной водой. В декабре 16,32 за 1 человека, а сейчас 19,73рублей, подорожание составило 3,41 рублей. Вычисляем: 16,32 – 100% 3,41 – ?%

3,41 *100%/ 16,32 =20,9%

Вывод

• Придя к выводу, во-первых, мы узнали интересную историю возникновение процентов, корни которой уходят в глубокую древность.
• Во-вторых, мы исследовали алгоритм решения задач на проценты. Выяснили как решать задачи на проценты. Изучили способы решения задач на проценты.
• В-третьих, существуют задачи на нахождение процента от числа, нахождение числа по его проценту, нахождение процента одного числа от другого.
• И, в-четвертых, мы понимаем, что современный человек тесно связан с процентами. Нельзя сегодня людям без знаний процентов. Люди пользуются процентами при оформлении кредитов, при вкладах сбережений в банк, при покупке в салонах автомобилей, при начислении заработной платы.