К открытому уроку "О трёх перпендикулярах"

«Теорема о трех перпендикулярах, ее применение при решении задач»

ЦЕЛЬ УРОКА

ОБУЧАЮЩАЯ :

• обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах
• сформировать видение изученной закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач, требующих найти численное (или буквенное значение) какого-либо элемента .
• учиться умению читать чертеж,
• учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.

РАЗВИВАЮЩАЯ :

• способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания, развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).
• способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,
• развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :

• развивать у учащихся коммуникативные компетенции ,
• способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

ПЛАН УРОКА

I . Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

II .

III . Актуализация знаний.

IY . Применение теории на практике.

Y . Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий

YI . Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя

YII . Подведение итогов.

YIII . Домашнее задание.

Дерзай !!!

Denis Diderot

1713 - 1784

ЭПИГРАФ К УРОКУ

«НАЧИНАТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЖНО ПО-РАЗНОМУ.. . Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой . ЕСТЬ ИСТИНЫ , как страны, НАИБОЛЕЕ УДОБНЫЙ ПУТЬ К КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... НА ПУТИ К ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ » (Дени Дидро).

Екатерина II

Акцентируем теорию по теме.

1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?

Ответ: перпендикулярные.

2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой плоскости»

Ответ: да.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Ответ: если пряма перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

Ответ: как длина перпендикуляра, проведённого из точки к данной прямой.

5. По рисунку назовите:

перпендикуляр, основание

перпендикуляра, наклонную к

плоскости α, основание

наклонной и её проекцию на

плоскость α.

6. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

P

D

K

α

Теорема о трёх перпендикулярах.

Прямая, проведённая в плоскости через основание

наклонной перпендикулярно к её проекции на эту

плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Обратно: прямая, проведённая в плоскости через

основание наклонной перпендикулярно к ней

перпендикулярна и к её проекции.

Дано: α , АС – наклонная,

ВС – проекция, ВС ┴ с , АВ ┴ α .

Доказать: АС ┴ с.

Доказательство.

1.Проведем СА1 ┴ с .

2. СА1 || АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны ).

3.Проведем через АВ и СА1 плоскость β.

4.с ┴ СА, с ┴ ВС (по Теореме: « Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости ».),с ┴ β , значит,

с ┴АС.

А

А1

В

С

с

α

SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB: Получаем: ОАOB. Между тем ОА S В А О С t " width="640"

Iспособ (от противного)

Теорема : Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство:

Пусть t ┴ ОА. Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведем SB ┴ t, тогда SA SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB:

Получаем: ОАOB. Между тем ОА

S

В

А

О

С

t

II способ (свойства равнобедренного треугольника)

Доказательство:

От точки А отложим равные отрезки: АМ= АN. Точки М и N соединим с точками O и S. В ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN. Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SA- медиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN.

S

M

O

A

t

N

III способ (теорема Пифагора)

Доказательство:

На прямой t возьмем произвольную точку В и соединим ее с точками О и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB: = SO 2 + OB 2 , SA 2 = =SO 2 + OA 2 , OB 2 - OA 2 = AB 2 . Вычтя из первого равенства второе, получим:SB 2 – SA 2 = =OB 2 – OA 2 . Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB 2 – SA 2 = AB 2 , SB 2 = SA 2 +AB 2 . Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA.

S

O

B

A

t

IV способ (векторный)

Доказательство:

Зададим векторы

Умножим обе части на

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю:

Но и не нулевые векторы, значит, , прямая оказалась перпендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.

S

N

A

O

M

α

Задача № 1

Дано:

АВСК –прямоугольник.

Доказать:

М

В

А

К

C

Задача № 2

D

Дано:

Доказать:

A

B

Задача № 3 Как определить вид диагонального сечения куба, проведенного через диагонали параллельных граней?

Ответ: А1ВСD1 - прямоугольник

В1

С1

А1

D1

В

C

D

А

Задача №4 На изображении куба построить несколько прямых перпендикулярных диагонали куба.

Думай

Задача №154 (Атанасян)

Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что BD = 9 см,

АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.

Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.

!

Д

У

М

А

Й

!

!

Задача № 158

Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямы, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, угол BAD равен 60 градусам, ВМ = 12,5 см.

!!!

Ш

Р

Й

А

Е

Задача №161

Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если угол АВС равен углу ABD, причем угол АВС меньше 90 градусов, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.

о

Теорема

трех

перпендикуляра х -

это

. . .

• Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны).
• Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?
• Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?
• Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

• Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны)?
• Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой ( прямая а и плоскость, перпендикулярные к одной прямой с)?
• Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

Критерии оценок 7 правильных ответов – « 5 » 6 правильных ответов – « 4 » 5 правильных ответов – « 3 »

I вариант

1

-

II вариант

2

3

+

+

-

4

-

5

-

-

+

6

-

-

7

-

-

-

+

I уровень.(на «3»)

Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана.

Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС)).

II уровень ( на «4»)

Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = = 7 см, КС = 9 см.

Найти: расстояние от точки К до (АВС).

III уровень.( на «5»)

Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС),

АМ = 20 см.

Найти: МЕ.

Подведение итогов.

Дано: AD ┴ (АВС),

Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ?

Ответ обоснуйте.

D

A

B

C

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1 . № 145, 143, 140.

2 . Ответить на вопросы пп 19, 20.

3. Дополнительная задача: Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость α. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если площадь ромба равна 80 ,высота – 8 см, а угол между проекцией стороны CD и прямой AD равен 45 градусов.

Дальнейших

успехов !!!

СПАСИБО!