Карточки по геометрии для подготовки к ЕГЭ.

Карточка 1

1. Н а клетчатой бумаге с размером клетки изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

2. О снования равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

4. Н айдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

5. Ч ерез среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсеченной треугольной призмы.

6. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна  и образует с плоскостью этой грани угол 45 . Найдите объем параллелепипеда.

Карточка 2

1. Н айдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2. П лощадь параллелограмма равна 153. Найдите площадь параллелограмма , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

3. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5.Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

4. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

5. О т треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

6. Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты , , , .

Карточка 3

1. Н айдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

2. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AB.

3. Сторона AB треугольника ABC равна 28. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

4. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а высота равна .

5. О бъем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

6. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

7. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 24, . Найдите

Карточка 4

1. Н айдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

3. У гол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30 . Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника. 

4. Д ва угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

6. С торона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

Карточка 5

1. Н айдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

2. Н а клетчатой бумаге с размером клетки изображён четырёхугольник . Найдите его периметр.

3. В треугольнике ABC , . Найдите AB.

4. Т очки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как . Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

5. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

6. В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка  — середина ребра . Найдите площадь сечения, проходящего через точки , и

Карточка 6

1. Н айдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

2. В треугольнике ABC угол C равен , CH  — высота, , . Найдите BH.

3. В треугольнике ABC угол C равен , CH  — высота, , . Найдите .

4. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

5. С тороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

6. Н айдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны  и наклонены к плоскости основания под углом 30 .

7. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Ответ дайте в градусах.

Карточка 7

1. Н а клетчатой бумаге с размером клетки изображён прямоугольный треугольник . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

2. В треугольнике ABC угол C равен , высота CH равна 8, . Найдите

3. О стрые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

4. Х орда AB стягивает дугу окружности в . Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

5. Д ва ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

6. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

1. В правильной четырехугольной пирамиде точка  — центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

Карточка 8

1. Н а клетчатой бумаге с размером клетки изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

2. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 20. Найдите .

3. Н айдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30 .

4. У гол равен . Градусная мера дуги окружности, не содержащей точек и , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

6. Н айдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.

7. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

8. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите тангенс угла .

Карточка 9

1. Н айдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2. В параллелограмме ABCD , , . Найдите большую высоту параллелограмма.

3. Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны.

4. В треугольнике угол равен , угол равен ,  — биссектриса,  — такая точка на , что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

6. О бъём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Карточка 10

1. Н айдите (в см²) площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

2. В треугольнике ABC , AH  — высота, . Найдите BH.

3. Площадь ромба равна 30. Одна из его диагоналей равна 6. Найдите другую диагональ.

4. В треугольнике угол равен ,  — биссектриса, угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

5. С торона AB треугольника ABC равна 22. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Карточка 11

1. Н айдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

2. В треугольнике ABC угол C равен , высота CH равна 7, . Найдите .

3. Найдите площадь ромба, если его высота равна 32, а острый угол .

4. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 30. Найдите ее среднюю линию.

5. Р адиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

6. Площадь поверхности куба равна 1568. Найдите его диагональ.

7. В кубе точка  — середина ребра , точка  — середина ребра , точка  — середина ребра . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

8. Площадь треугольника равна 10,  — средняя линия, параллельная стороне . Найдите площадь трапеции

Карточка 12

1. Н айдите площадь ромба, вершины которого имеют координаты (6;4), (9;5), (10;8), (7;7).

2. В тупоугольном треугольнике ABC , AH  — высота, . Найдите .

3. Площадь прямоугольника равна 65. Найдите его большую сторону, если она на 8 больше меньшей стороны.

4. П ериметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

5. У гол равен 21°. Градусная мера дуги окружности, не содержащей точек и E, равна 114°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

6. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 8, а высота — 3.

7. Н а рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла

Карточка 13

1. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты , , , .

2. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 7, . Найдите .

3. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1 : 2.

4. О снования равнобедренной трапеции равны 14 и 24, а ее площадь равна 228. Найдите периметр трапеции.

5. Н айдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах.

6. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 30, а площадь поверхности равна 2760.

7. От треугольной призмы, объем которой равен 102, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Карточка 14

1. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты , , , .

2. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 36. Тангенс острого угла равен . Найдите большее основание.

3. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

4. В ысота правильного треугольника равна 99. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

5. О бъем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 41. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

6. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в три раза, а форма останется прежней?

Карточка 15

1. В параллелограмме ABCD , , . Найдите большую высоту параллелограмма.

2. П лощадь треугольника равна 176.  — средняя линия. Найдите площадь треугольника .

3. О снования трапеции равны 14 и 26, боковая сторона равна 13. Площадь трапеции равна 130. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

4. О коло окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 29. Найдите его площадь.

5. Объем параллелепипеда  равен 81. Найдите объем треугольной пирамиды .

6. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами и .

Карточка 16

1. О снования равнобедренной трапеции равны 35 и 14. Высота трапеции равна 4,2. Найдите тангенс острого угла.

2. В треугольнике ABC угол A равен , CH — высота, угол BCH равен . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

3. Т очка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 9. Найдите его большую сторону.

4. Н айдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.

5. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,8 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

6. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в тридцать один раз?

К арточка 17

1. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 27 и 4.

2. В треугольнике угол равен , угол равен ,  — медиана. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

3. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 17. Найдите ее среднюю линию.

4. О стрый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 5,5. Найдите сторону ромба.

5. Ч ерез среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 76, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсеченной треугольной призмы.

6. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 2, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

Карточка 18

1. В треугольнике ABC угол A равен , внешний угол при вершине B равен . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

2. У гол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

3. Р адиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

4. В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности.

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите ее объем.

6. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 4, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

Карточка 19

1. П рямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 19, отсекает треугольник, периметр которого равен 39. Найдите периметр трапеции.

2. К асательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

3. Площадь треугольника равна 41,  — средняя линия, параллельная стороне . Найдите площадь трапеции .

4. Д ва ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 8 и 6. Объем параллелепипеда равен 240. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 7, а угол между боковой гранью и основанием равен 45 . Найдите объем пирамиды.

Карточка 20

1. П ерпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 102 и 55. Найдите среднюю линию этой трапеции.

2. Н айдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах.

3. С торона AB треугольника ABC равна 33. Противолежащий ей

4. угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

5. Объем куба равен . Найдите его диагональ.

6. О бъём тетраэдра равен 55. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

7. В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Карточка

1. О снования трапеции равны 12 и 60. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

2. У гол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

3. К атеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

4. Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его объем увеличится на 513. Найдите ребро куба.

5. О бъем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 40. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

6. О бъем параллелепипеда равен 42. Найдите объем треугольной пирамиды .

Карточка 22

1. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 36. Найдите ее среднюю линию.

2. Н айдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окружность радиуса

3. П лощадь треугольника равна 10,  — средняя линия, параллельная стороне . Найдите площадь трапеции .

4. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 и 6, боковое ребро призмы равно 5. Найдите объём призмы.

5. П лощадь поверхности тетраэдра равна 48. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

6. С тороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Карточка 23

1. Д иагонали четырехугольника равны 57 и 8. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

2. Т очки , , , расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как . Найдите больший угол треугольника . Ответ дайте в градусах.

3. В о сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в одиннадцать раза?

4. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла .

5. О бъем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

Карточка 24

1. Д уга окружности , не содержащая точки , имеет градусную меру , а дуга окружности , не содержащая точки , имеет градусную меру . Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

2. В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности.

3. О т треугольной пирамиды, объем которой равен 92, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

4. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 32 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , параллелепипеда , у которого , , .

Карточка 25

1. О трезки и  — диаметры окружности с центром . Угол равен . Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

2. О дна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

3. К атеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

4. О снованием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 6. Ее объем равен 48. Найдите высоту этой пирамиды.

5. О бъем куба равен 27. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

6. В кубе точка  — середина ребра , точка  — середина ребра , точка  — середина ребра . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Карточка 26

1. С тороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , , . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

2. С торона ромба равна 58, острый угол равен . Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба,

4. если все его рёбра увеличить в 24 раза?

5. О бъём тетраэдра равен 47. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

6. Н а рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами и .

Карточка 27

1. Т очки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

2. Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен . Найдите число вершин многоугольника.

3. П лощадь параллелограмма равна 153. Найдите площадь параллелограмма , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

4. О снованием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 24, высота призмы равна 15. Найдите площадь ее поверхности.

5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 11, а угол между боковой гранью и основанием равен 45 . Найдите объем пирамиды.

6. В кубе найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.