Касательная к окружности

Окружность

Определение:

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

• Заданное расстояние – радиус .
• Данная точка – центр окружности .

Тест

• Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ____________
• Отрезок соединяющий центр окружности с точкой окружности, называется __________
• Отрезок, соединяющий две точки окружности проходящий через центр, называется ____________

радиус

диаметр

хорда

B

Окружность (О, r )

D

r – радиус

О

A

r

АВ – хорда

С

CD - диаметр

Задача 1

В окружности с центром в точке О проведен диаметр АС и радиус ОК так, что хорда КС равна радиусу. Найти угол АОК.

К

А

С

О

В

Задача 2

В окружности с центром в точке О проведена хорда ВС, равная 8 см. Найти расстояние от точки О до отрезка ВС, если радиус окружности равен 5 см.

М

С

О

Ответ: 3 см

Взаимное расположение прямой и окружности

Сколько общих точек могут иметь окружность и прямая?

ДАНО: 1) окружность радиуса r ,

2) прямая a , не проходящая через центр окружность

3) расстояние от центра окружности О до прямой a обозначим d

О

Первый случай:

Н

А

d

В

d

две общие точки

r

О

АВ – секущая

Второй случай:

Н

d = r

d

r

О

одна общая точка

ОН касательная

r d r не имеют общих точек О " width="640"

Третий случай:

H

d r

d

r

не имеют общих точек

О

r две общие точки одна общая точка не имеют общих точек " width="640"

ВЫВОД

d

d = r

d r

две общие точки

одна общая точка

не имеют общих точек

Касательная к окружности

Определение

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

d

r

О

d = r

Свойство касательной.

А

В

r

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

О

15

15

Признак касательной

А

В

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной.

r

О

АВ - касательная

16

16

Свойство касательных, проходящих через одну точку:

Отрезки касательных к

окружности, проведенные

из одной точки, равны и

составляют равные углы

с прямой, проходящей через

эту точку и центр

окружности.

АВ и АС – отрезки касательных

▼ По свойству касательной

∆ АВО, ∆ АСО–прямоугольные

ОА – общая, ОВ=ОС – радиусы

∆ АВО= ∆ АСО (по гипотенузе и катету)

АВ=АС и

▲

В

1

А

О

3

4

2

С