К началу учебного года! Готовые материалы для учителей на каждый урок со скидкой от 30%

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 30.10.2024 08:00

Карпаева Меруерт Казбековна

Учитель математики

30 лет

390

114 970

Подписчики

Подписки

Местоположение

Казаxстан,

Специализация

Математика

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

КЕЗДЕЙСО? ШАМА ??ЫМЫН МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДА О?ЫТУДЫ? ?ДІСТЕРІ

Категория: Математика

21.04.2016 12:25

?ОЖ: 372.851

Карпаева М. К.

Семей ?аласыны? Ш?к?рім атында?ы мемлекеттік университеті

?ылыми жетекші: ф.-м.?.к., доцент Жолымбаев О. М.

[email protected]

Кілт с?здер: ы?тималды?, Орташа квадратты? ауыт?у, математикалы? к?тім, дисперсия, дискретті кездейсо? шама.

А?датпа

Б?л ма?алада кездейсо? шама ??ымын мектеп математика курсында о?ытуды? ?дістері ?арастырыл?ан.

Кездейсо? шама ы?тималды?тар теориясыны? негізгі ??ымыны? бірі. Ойын с?йегін ла?тыр?анда т?сетін ?пайлар саны, алын?ан детальдарды? ішіндегі стандартты детальдарды? саны, белгілі уа?ыт аралы?ында?ы телефон станциясына т?скен ша?ырулар саны, долларды? курсы, тауар ба?асы, ?ндірісті? шы?ыны мен пайдасы та?ы бас?алар – на?ты м?ні белгісіз шамаларды? мысалдары болып табылады.

О?и?а?а байланысты ?андай да бір санды? м?н ?абылдайтын Х шамасын кездейсо? шама деп атайды. Егер сан т?зуі а?ырлы немесе сана?ты (оны? м?ндерін н?мірлеуге болады) м?н ?абылдайтын болса, кездейсо? шама дискретті деп аталады [3].

0, 1, 2, ...,100 м?мкін м?ндеріні? біреуін ?абылдайтын 100 жа?а ту?ан н?рестелер ішіндегі ?л балалар саны, ойын с?йегін ла?тыр?анда т?сетін ?пайлар саны т.с.с дискретті кездейсо? шама болады.

Дискретті кездейсо? шаманы сипаттау ?шін, о?ушылар е? алдымен оны? ?абылдайтын м?мкін м?ндерін, сонымен ?атар б?л шаманы? ?р т?рлі м?ндеріні? ?аншалы?ты жиі кездесетінін білу керек. Б?л жиілік оны? жеке м?ндеріні? ы?тималды?ын сипаттайды. Сонымен Х кездейсо? шама мына м?ндеріні? біреуін ?абылдайды, м?нда , я?ни те?дігімен ?рнектелетін о?и?а т?уелсіз ж?не жал?ыз м?мкіндікті болады. Сонды?тан, .

Кездейсо? шаманы? м?ндері мен осы м?ндерді ?абылдау ы?тималды?тарыны? арасында?ы байланысты орнататын ?атынасты кездейсо? шаманы? ?лестірім (таралу) за?ы деп аталады. Оны мынадай таблица ар?ылы береді [3].

Х	х₁	х₂	...	х_к
Р	р₁	р₂	...	р_к

Мысал. 1000 а?шалы лотерея билеті сатылды. Оларды? ішінде 5000 те?геден 2 ?тыс, 1000 те?геден 10 ?тыс, 500 те?геден 25 ?тыс, 200 те?геден 100 ?тыс ж?не 100 те?геден 150 ?тыс билеті бар. Х кездейсо? шамасы - бір билет иесіні? ?тыс ??ны болсын. Оны? ?лестіру за?ын ??ру керек.

Шешуі. Х дискретті кездейсо? шама мынадай м?ндер ?абылдайды.

- «5000 те?геден ?тыс» ы?тималды?ы

- «1000 те?геден ?тыс» ы?тималды?ы

- «500 те?геден ?тыс» ы?тималды?ы

- «200 те?геден ?тыс» ы?тималды?ы

- «100 те?геден ?тыс» ы?тималды?ы

- «?тыссыз» болу ы?тималды?ы

Сонымен Х кездейсо? шамасыны? ?лестіру за?ы мына таблицамен аны?талады:

Х	5000	1000	500	200	100	0
Р	0.002	0.01	0.025	0.1	0.15	0.713

Тексеру: 0,002+0,01+0,025+0,1+0,15+0,713=1

Кездейсо? шамасыны? санды? сипаттамасы. Дискретті кездейсо? шаманы? арифметикалы? ортасы, таралу центрі немесе шашырау центрі деп аталатын санды? сипатын математикалы? к?туі деп атайды [3].

М?мкін м?ндері болатын Х – кездейсо? шамасыны? с?йкес ы?тималды?тары болсын.

Кездейсо? дискретті Х шамасыны? математикалы? к?туі деп, оны? барлы? ?абылдайтын м?мкін м?ндері мен олар?а с?йкес ыктималды?тарыны? к?бейтіндісіні? ?осындысын айтады. Х шамасыны? математикалы? к?туі М(Х) ар?ылы белгіленеді ж?не мына формула ар?ылы аны?талады:

Кездейсо? шама мен оны? математикалы? к?туіні? айырымыны? квадратыны? математикалы? к?туін Х кездейсо? шаманы? дисперсиясы деп атайды. Дисперсия D(X) ар?ылы белгіленеді ж?не мына формула ар?ылы аны?талады: D(X)=M(X-M(X))². Математикалы? к?туді? ?асиеттерін ?олдана отырып дисперсияны? ?олайлы формуласын аламыз: D(X)=M(X²)-M²(X) [1]

Сонымен ?атар к?бінесе ?мірде Х кездейсо? шамасыны? м?ндеріні? таралуыны? бас?а да санды? сипаттамасын жиі ?олданады. Ол орта квадратты? ауыт?у. Кездейсо? шаманы? дисперсиясыны? квадрат т?бірі оны? орта квадратты? ауыт?уы деп аталады. Орта квадратты? ауыт?уды? шамасы аз бол?ан сайын, кездейсо? шаманы? м?мкін м?ндеріні? шашырауы да аз болады. Оны ар?ылы белгілейміз ж?не т?мендегі формула ар?ылы есептеледі: .

Енді осы та?ырыптар?а байланысты мысалдар келтірсек:

Мысал 1. Екі т?уелсіз кездейсо? шамалар Х ж?не У ?лестірім кестелерімен берілген. х+у, х -кездейсо? шамаларды? иатематикалы? ?міттері мен дисперсияларын тап [1].

х 0 3 4 у 2 3

p 0,2 0,6 0,2 p 0,3 0,7

Шешуі: Кестелерден М(х)=2,6 , М(у)=2,7 , D(х)=1,84 , D(х)=0,21 табамыз. Сосын х ж?не у т?уелсіз кездейсо? шамалар екендігін пайдаланып

М(х+у)=2,6+2,7=5,3 D(х+у)=1,84+0,21=2,05

М(х )=2,6

табамыз.

Мысал 2. “Спортлото” ойынын ойна?анда белгілі бір ?тыс?а шы?атын спортты? т?рлерін д?л табуды? ы?тималды?ын тап [2].

Шешуі: М?нда?ы х-?тыс?а шы??ан спортты? т?рлеріні? саны.Б?л кездейсо? шама гипергеометриялы? ?лестірім за?ымен берілген.М?нда N=49, m=6, n=6, k=1,2,3,4,5,6. Ойынны? шарты бойынша ?тыс ?ш спортты? т?рін д?л тап?аннан бастап т?ленеді.Сонды?тан біз k=3,4,5,6 жа?дайларын ?арастырып, с?йкес ы?тималды?тарды табалы?

k=3 , k=4,

k=5, k=6,

Сол сия?ты к=5 ж?не к=6 бол?анда с?йкес ы?тималды?тар p ж?не p=7,15

Мысал 3. Айталы? 12 б?йымны? 8-і бірінші сорт?а жатады. Кезкелген 5 б?йым алынды. Сонда осы 5 б?йымны? ішінде бірінші сортты б?йымдарды? болуыны? ?лестірім кестесін ??ры?ыз [1].

Шешуі: Есепті? шарты бойынша N=12, m=5, n=8. Кездейсо? шама Х.Оны? м?мкін м?ндері: 1,2,3,4,5. М?нда м?мкін м?ндер бірден басталуыны? себебі: 5 б?йымны? ішінде кем дегенде бір б?йым бірінші сорт?а жатады.

Сонда Р(х=k)=

Енді ?лестірім кестесін жазалы?

х 1 2 3 4 5

Р 0,0101 0,4242 0,4242 0,3535 0,0707

Мысал 4. Екі ат?ыш ?р?айсысы ?з нысанасына бір-бірден атыс ж?ргізді. Бірінші ат?ыш ?шін нысана?а тигізуді? ы?тималды?ы , ал екінші ат?ыш ?шін - .Кездейсо? шамалар -бірінші ат?ышты? нысана?а тигізу саны, -екінші ат?ышты? нысана?а тигізу саны, ал z= -екі кездейсо? шамаларды? айырымы.Оны? математикалы? сипаттамаларын: М(z), D(z)-тарды табамыз [2].

Шешуі: ?уелі кездейсо? шамаларды? ?лестірім кестесін жазамыз:

х 0 1 х 0 1

p q p p q p

Осыдан М(z) = М(х ) - М(х ) = p -p

D(х )=p q

D(z)=p q +p q

?орыта келгенде о?ушылар м?ндай та?ырыпты игеру барысында кездейсо? шама ??ымдары мен ережелерімен танысып, м?мкіндікті ба?алай білу, болжам ж?не ?сыныс жасай білу, жа?дайды болжай білу, ??былысты талдау?а статистикалы? ?дісті ?олдана білу жолдарын аны?тауды ?йренеді, осындай есептерді шешу о?ушыларды логикалы? дамыту?а ж?не практикалы? икемділікке баулу?а септігін тигізеді, ?з бетінше ж?мыс істей алу м?мкіндіктерін арттырады.

Пайдаланыл?ан ?дебиеттер тізімі:

1.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика .-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

2.Лютикас В. Школьнику о теории вероятностей. М., Просвещение, 1983.

3.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: ВШ, 1998.

Просмотр содержимого документа
«КЕЗДЕЙСО? ШАМА ??ЫМЫН МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДА О?ЫТУДЫ? ?ДІСТЕРІ»

ӘОЖ: 372.851

КЕЗДЕЙСОҚ ШАМА ҰҒЫМЫН МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДА ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕРІ

Карпаева М. К.

Семей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті

Ғылыми жетекші: ф.-м.ғ.к., доцент Жолымбаев О. М.

[email protected]

Кілт сөздер: ықтималдық, Орташа квадраттық ауытқу, математикалық күтім, дисперсия, дискретті кездейсоқ шама.

Аңдатпа

Бұл мақалада кездейсоқ шама ұғымын мектеп математика курсында оқытудың әдістері қарастырылған.

Кездейсоқ шама ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымының бірі. Ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны, алынған детальдардың ішіндегі стандартты детальдардың саны, белгілі уақыт аралығындағы телефон станциясына түскен шақырулар саны, доллардың курсы, тауар бағасы, өндірістің шығыны мен пайдасы тағы басқалар – нақты мәні белгісіз шамалардың мысалдары болып табылады.

Оқиғаға байланысты қандай да бір сандық мән қабылдайтын Х шамасын кездейсоқ шама деп атайды. Егер сан түзуі ақырлы немесе санақты (оның мәндерін нөмірлеуге болады) мән қабылдайтын болса, кездейсоқ шама дискретті деп аталады [3].

0, 1, 2, ...,100 мүмкін мәндерінің біреуін қабылдайтын 100 жаңа туған нәрестелер ішіндегі ұл балалар саны, ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны т.с.с дискретті кездейсоқ шама болады.

Дискретті кездейсоқ шаманы сипаттау үшін, оқушылар ең алдымен оның қабылдайтын мүмкін мәндерін, сонымен қатар бұл шаманың әр түрлі мәндерінің қаншалықты жиі кездесетінін білу керек. Бұл жиілік оның жеке мәндерінің ықтималдығын сипаттайды. Сонымен Х кездейсоқ шама мына мәндерінің біреуін қабылдайды, мұнда , яғни теңдігімен өрнектелетін оқиға тәуелсіз және жалғыз мүмкіндікті болады. Сондықтан, .

Кездейсоқ шаманың мәндері мен осы мәндерді қабылдау ықтималдықтарының арасындағы байланысты орнататын қатынасты кездейсоқ шаманың үлестірім (таралу) заңы деп аталады. Оны мынадай таблица арқылы береді [3].

Х	х₁	х₂	...	х_к
Р	р₁	р₂	...	р_к

Мысал. 1000 ақшалы лотерея билеті сатылды. Олардың ішінде 5000 теңгеден 2 ұтыс, 1000 теңгеден 10 ұтыс, 500 теңгеден 25 ұтыс, 200 теңгеден 100 ұтыс және 100 теңгеден 150 ұтыс билеті бар. Х кездейсоқ шамасы - бір билет иесінің ұтыс құны болсын. Оның үлестіру заңын құру керек.

Шешуі. Х дискретті кездейсоқ шама мынадай мәндер қабылдайды.

- «5000 теңгеден ұтыс» ықтималдығы

- «1000 теңгеден ұтыс» ықтималдығы

- «500 теңгеден ұтыс» ықтималдығы

- «200 теңгеден ұтыс» ықтималдығы

- «100 теңгеден ұтыс» ықтималдығы

- «ұтыссыз» болу ықтималдығы

Сонымен Х кездейсоқ шамасының үлестіру заңы мына таблицамен анықталады:

Х	5000	1000	500	200	100	0
Р	0.002	0.01	0.025	0.1	0.15	0.713

Тексеру: 0,002+0,01+0,025+0,1+0,15+0,713=1

Кездейсоқ шамасының сандық сипаттамасы. Дискретті кездейсоқ шаманың арифметикалық ортасы, таралу центрі немесе шашырау центрі деп аталатын сандық сипатын математикалық күтуі деп атайды [3].

Мүмкін мәндері болатын Х – кездейсоқ шамасының сәйкес ықтималдықтары болсын.

Кездейсоқ дискретті Х шамасының математикалық күтуі деп, оның барлық қабылдайтын мүмкін мәндері мен оларға сәйкес ыктималдықтарының көбейтіндісінің қосындысын айтады. Х шамасының математикалық күтуі М(Х) арқылы белгіленеді және мына формула арқылы анықталады:

Егер дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері шексіз болса, онда математикалық күту қатар болып табылады:

Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтуінің айырымының квадратының математикалық күтуін Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп атайды. Дисперсия D(X) арқылы белгіленеді және мына формула арқылы анықталады: D(X)=M(X-M(X))². Математикалық күтудің қасиеттерін қолдана отырып дисперсияның қолайлы формуласын аламыз: D(X)=M(X²)-M²(X) [1]

Сонымен қатар көбінесе өмірде Х кездейсоқ шамасының мәндерінің таралуының басқа да сандық сипаттамасын жиі қолданады. Ол орта квадраттық ауытқу. Кездейсоқ шаманың дисперсиясының квадрат түбірі оның орта квадраттық ауытқуы деп аталады. Орта квадраттық ауытқудың шамасы аз болған сайын, кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің шашырауы да аз болады. Оны арқылы белгілейміз және төмендегі формула арқылы есептеледі: .

Енді осы тақырыптарға байланысты мысалдар келтірсек:

Мысал 1. Екі тәуелсіз кездейсоқ шамалар Х және У үлестірім кестелерімен берілген. х+у, х -кездейсоқ шамалардың иатематикалық үміттері мен дисперсияларын тап [1].

х 0 3 4 у 2 3

p 0,2 0,6 0,2 p 0,3 0,7

Шешуі: Кестелерден М(х)=2,6 , М(у)=2,7 , D(х)=1,84 , D(х)=0,21 табамыз. Сосын х және у тәуелсіз кездейсоқ шамалар екендігін пайдаланып

М(х+у)=2,6+2,7=5,3 D(х+у)=1,84+0,21=2,05

М(х )=2,6

табамыз.

Мысал 2. “Спортлото” ойынын ойнағанда белгілі бір ұтысқа шығатын спорттың түрлерін дәл табудың ықтималдығын тап [2].

Шешуі: Мұндағы х-ұтысқа шыққан спорттың түрлерінің саны.Бұл кездейсоқ шама гипергеометриялық үлестірім заңымен берілген.Мұнда N=49, m=6, n=6, k=1,2,3,4,5,6. Ойынның шарты бойынша ұтыс үш спорттың түрін дәл тапқаннан бастап төленеді.Сондықтан біз k=3,4,5,6 жағдайларын қарастырып, сәйкес ықтималдықтарды табалық

k=3 , k=4,

k=5, k=6,

Сол сияқты к=5 және к=6 болғанда сәйкес ықтималдықтар p және p=7,15

Мысал 3. Айталық 12 бұйымның 8-і бірінші сортқа жатады. Кезкелген 5 бұйым алынды. Сонда осы 5 бұйымның ішінде бірінші сортты бұйымдардың болуының үлестірім кестесін құрыңыз [1].

Шешуі: Есептің шарты бойынша N=12, m=5, n=8. Кездейсоқ шама Х.Оның мүмкін мәндері: 1,2,3,4,5. Мұнда мүмкін мәндер бірден басталуының себебі: 5 бұйымның ішінде кем дегенде бір бұйым бірінші сортқа жатады.

Сонда Р(х=k)=

Енді үлестірім кестесін жазалық

х 1 2 3 4 5

Р 0,0101 0,4242 0,4242 0,3535 0,0707

Мысал 4. Екі атқыш әрқайсысы өз нысанасына бір-бірден атыс жүргізді. Бірінші атқыш үшін нысанаға тигізудің ықтималдығы , ал екінші атқыш үшін - .Кездейсоқ шамалар -бірінші атқыштың нысанаға тигізу саны, -екінші атқыштың нысанаға тигізу саны, ал z= -екі кездейсоқ шамалардың айырымы.Оның математикалық сипаттамаларын: М(z), D(z)-тарды табамыз [2].

Шешуі: Әуелі кездейсоқ шамалардың үлестірім кестесін жазамыз:

х 0 1 х 0 1

p q p p q p

Осыдан М(z) = М(х ) - М(х ) = p -p

D(х )=p q

D(z)=p q +p q

Қорыта келгенде оқушылар мұндай тақырыпты игеру барысында кездейсоқ шама ұғымдары мен ережелерімен танысып, мүмкіндікті бағалай білу, болжам және ұсыныс жасай білу, жағдайды болжай білу, құбылысты талдауға статистикалық әдісті қолдана білу жолдарын анықтауды үйренеді, осындай есептерді шешу оқушыларды логикалық дамытуға және практикалық икемділікке баулуға септігін тигізеді, өз бетінше жұмыс істей алу мүмкіндіктерін арттырады.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика .-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Лютикас В. Школьнику о теории вероятностей. М., Просвещение, 1983.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: ВШ, 1998.