Комбинаторные задачи и их решение

Комбинаторные задачи и их решение

Размещения и сочетания

Задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения с помощью перебора всех возможных вариантов или подсчитывания их числа называются комбинаторными . Решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой

История

• Комбинаторика возникла в ХVI веке и первоначально в ней рассматривались задачи, связанные с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.
• В настоящее время широко используются для решения практических и теоретических задач.

Роль комбинаторных задач

• Развитие мышления учащихся
• Подготовка учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Этапы решения комбинаторных задач

• Метод перебора (таблицы и графы)и запись возможных вариантов используя различные способы;
• Применение правил суммы и произведения;
• Рассматриваются некоторые виды комбинаций, а их число подсчитывается по формулам.

Сочетания и размещения из n элементов по 2

Сочетания

Размещения

Число всех выборов двух элементов из n без учёта их порядка называется числом сочетаний из n элементов по 2.

Число всех выборов двух элементов из n с учётом их порядка называется числом их размещений из n элементов по 2.

Задача №1

Борис идёт на день рождения к близнецам Алексею и Ивану. Он хочет подарить каждому из них по музыкальному диску. В магазине осталось для продажи только 13 различных дисков любимых исполнителей братьев. Сколькими способами, купив 2 диска, Борис может сделать подарки?

Это важно!!!!

Разница заключается в том, что если в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение, но сочетание не зависит от порядка входящих в него элементов.

Формулы

Сочетания

Размещения

Число всех выборов k элементов из n данных без учёта порядка называют числом сочетаний из n элементов по k.

Число всех выборов k элементов из n данных

c учётом их порядка называют числом размещений из n элементов по k.

Задача №2

В партии из 50 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу четыре детали. Определить, какова вероятность того, что все 4 детали окажутся бракованными.

Всего исходов:

Благоприятных исходов:

Вероятность: