Комплексные числа.

Комплексные числа Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексного числа

Подготовила:

учитель математики

ОБОУ « Лицей- интернат №1»

г.Курска

Белкина Е.Н.

x+3=2

x= 2-3

x= -1

Х 2 =-9

Уравнение становится разрешимым после введения новых чисел – комплексных чисел .

Джеро́ламо (Джироламо, Иероним) Карда́но

Итальянский математик в середине XVI впервые ввёл комплексные числа в связи с решением кубического уравнения., он назвал их « софистическими»

( то есть « мудрёными»)

Рене́ Дека́рт

Французский математик и философ. В 1637г. ввел название

« мнимые»

(imaginaires )

a+bi комплексные числа

i 2 =-1

Леона́рд Э́йлер

Академик Петербургской академии наук, внес существенный вклад в вопросы теории комплексных чисел.

В 1777 г. предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения мнимой единицы: i

Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс

Немецкий математик,

в 1831 году предложил само название

« комплексное число»

Множество комплексных чисел- множество выражений вида a +bi, где a, b - действительные числа,i– мнимая единица, i=

a + 0i = а – комплексные числа данного вида отождествляют с действительным числом а

0 +bi = bi - комплексные числа данного вида называют мнимые числа

Х 2 =-9

х 2 =9∙(-1) т.к. i 2 =-1

х 2 =(3i) 2

x 1 =3i или x 2 =-3i

Обозначение комплексных чисел : z=a +bi, где а -действительная часть числа z ( Re z = a), число b называют мнимой частью числа z и обозначают Im z = b

Обозначение комплексных чисел : z=a +bi, где а -действительная часть числа z ( Re z = a), число b называют мнимой частью числа z и обозначают Im z = b

выражения a +bi и c+di считают равными тогда и только тогда, когда

a=c , b=d, при этом пишут : a +bi = c +di

z=a +bi

Правую часть данного равенства называют алгебраической формой комплексного числа

1 .Сумма комплексных чисел (a+bi)+( c +di)=(a+ c)+(b + d)i

• (3+2i)+(-1+3i) = (3-1)+(2+3)i=2+5i

1.Сумма комплексных чисел (a+bi)+( c +di)=(a+ c)+(b + d)i

б) (-1+5i)+(-1-5i)= (-1-1)+ (5-5)i=-2+0i= -2

1.Сумма комплексных чисел (a+bi)+( c +di)=(a+ c)+(b + d)i

в) (7+2i) +(-7+1i) = (7-7)+(2+1)i=0+3i=3i

1 .Сумма комплексных чисел (a+bi)+( c +di)=(a+ c)+(b + d)i

г) (4+(-3)i) +(-4+3i) =(4-4)+(-3+3)i= 0+0i=0 –

пример противоположных комплексных чисел

(a+bi)- ( c +di)=(a-c)+(b - d)i

• (3+2i)- (1+5i)= ( 3-1)+ (2-5)i= 2+(-3)i= 2-3i

б)(5+7i)-(5-i)= (5+7i)-(5-1i)= (5-5)+(7-(-1))i=8i

a ) (3-11i)+ (4+15i)= б) (8- i)+(4+i) =

в) (3-11i) - (4+15i)=

г) (8- i)- (4+i) =

a ) (3-11i)+(4+15i)=7+4i б) (8- i)+(4+i) = 12+ 0i = 12

в) (3-11i)-(4+15i)= -1+4i

г) (8- i)-(4+i) = 4-2i

2. Произведение комплексных чисел (a+bi)∙(c + di)= (ac- bd)+( ad + bc) i

(a+bi)∙( c +di)=ac+adi+bci+bdi 2 = =(ac+bdi 2 )+ (adi+ bci)=

= (ac+bd(-1))+ (adi+ bci)=

(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)∙(c + di)= (ac- bd)+( ad + bc) i

(3+2i)∙ (-1+3i) =

(3∙(-1)- 2∙3) + (3∙3 + 2∙ (-1))i =

= -9+ 7i

(3+2i)∙ (-1+3i) = -9+ 7i

(3+2i)∙(-1+3i) = 3∙(-1)+ 3∙3i+

+ 2i∙(-1)+ 2i∙3i = -3+9i-2i+6i 2 =

= -3+9i-2i+6∙(-1) =-3+9i-2i – 6 =

= -9 +7i

(a+bi)∙(c + di)= (ac- bd)+( ad + bc) i

(3x+ y i)(3x - y i) =(3x) 2 – (y i) 2 =

= 9x 2 – y 2 i 2 = 9x 2 +y 2

16x 2 +y 2 = 16x 2 - y 2 (-1)=16x 2 - y 2 (i 2 )= = (4x) 2 -(yi) 2 = (4x+yi)∙(4x-yi)

i 1 =i, i 2 =-1, i 3 =i∙i 2 = -i, i 4 =i 2∙ i 2 =1

а) i 5 =i 4 ∙i=1 ∙i =i

i 1 =i, i 2 =-1, i 3 =i∙i 2 = -i, i 4 =i 2∙ i 2 =1

б) i 80 +i 22 +i 7 +i 5 +i =

=(i 4 ) 20 +i 8 i 8 i 4 i 2 + i 4 i+ i =

= 1 20 + ( i 4 ) 2 ∙ ( i 4 ) 2 ∙1 ∙(-1) +1∙ i +i= =1+(-1) +i+ i=2i

Сопряжённые комплексные числа число z=a +bi и число z =a - bi

Сопряженные комплексные числа

Числа вида z 1 =a+bi и z 2 =a-bi

называются сопряжёнными

Комплексная плоскость

Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация сложения (вычитания) комплексных чисел

Модуль комплексного числа z= a+ bi

Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ