Конспект урока 10 класс Числовые последовательности

Часть 2.

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Постановка целей урока.

Что такое последовательность?

Какие виды последовательностей вы знаете?

Как задаётся числовая последовательность?

3.Работа над изучаемым материалом.

3.1. Объяснение нового материала.

Анализируя ответы учащихся, дать определение числовой последовательности и показать способы задания числовых последовательностей.

Определение 1. Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y₁, y₂, y₃, ..., y_n, ... или (y_n).

В данном случае независимая переменная – натуральное число.

Способы задания числовой последовательности.

Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

Аналитический способ.

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.

Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n²;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n², ... .

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Пример 4. Последовательность y = 2ⁿ;

2, 2², 2³, 2⁴, ..., 2ⁿ, ... .

Рекуррентный способ.

Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.

Пример 1. Арифметическая прогрессия: a₁=a, a_n+1=a_n+d, где a и d – заданные числа, d - разность арифметической прогрессии. Пусть a₁=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

Пример 2. Геометрическая прогрессия: b₁= b, b_n+1= b_n q, где b и q – заданные числа, b 0, q 0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b₁=23, q=½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y₁=1, y₂=1, y_n-2+y_n-1, если n=3, 4, 5, 6, ... . Она будет иметь вид:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:

3.2. Закрепление нового материала. Решение задач.

Для закрепления знаний выбираются примеры в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n):

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Решение.

а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.

б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n.

Пример 2. Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=2, y_n = y_n-2+y_n-1, если n = 3, 4, 5, 6, ... .

Решение.

Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.

y₁=1;

y₂=2;

y₃=1+2=3;

y₄=2+3=5;

y₅=3+5=8;

y₆=5+8=13;

y₇=8+13=21;

y₈=13+21=34;

y₉=21+34=55;

y₁₀=34+55=89.

Пример 3. Последовательность (y_n) задана рекуррентно: y₁=1, y₂=2, y_n= 5 y_n-1- 6y_n-2. Задать эту последовательность аналитически.

Решение.

Найдём несколько первых элементов последовательности.

y₁=1;

y₂=2;

y₃=5y₂-6y₁=10-6=4;

y₄=5y₃-6y₂=20-12=8;

y₅=5y₄-6y₃=40-24=16;

y₆=5y₅-6y₄=80-48=32;

y₇=5y₆-6y₅=160-96=64.

Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., которую можно представить в виде

2⁰; 2¹; 2² ; 2³ ; 2⁴ ; 2⁵ ; 2⁶ ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2^n-1.

Пример 4. Дана последовательность y_n=24n+36-5n².

а) Сколько в ней положительных членов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Решение.

Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5x² +24x+36, где x

а) Найдём значения функции, при которых -5x² +24x+360. Решим уравнение -5x² +24x+36=0.

D = b²-4ac=1296, X₁=6, X₂=-1,2.

Уравнение оси симметрии параболы y = -5x² +24x+36 можно найти по формуле x= , получим: x=2,4.

- + -

-1,2 6

Неравенство -5x² +24x+360 выполняется при -1,2 В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.

б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y₂=64.

в) Наименьшего элемента нет.

Задания для самостоятельной работы по теме:

Вариант 1.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... .

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=3, y_n=y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,4 и разностью 0,9.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 3,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₅= -150, a₆= -147. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии 22,7; 21,4; ... .

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Вариант 2.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 7, 11, 15, 19, 23, ... .

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=0, y₂=1, y_n=2y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,5 и разностью 0,8.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 4,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₆= 160, a₆= 156. Найдите номер первого отрицательного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии

-15,1; -14,4; ... .

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Вариант 3.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: , , ... .

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=1, y_n=2y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 2,5 и разностью 0,7.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 7,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₆= 150, a₆= 141. Найдите номер первого отрицательного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии

-14,1; -13,4; ... .

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

В) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Вариант 4.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 2, 5, 8, 11, 14, 17, ... .

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=2, y₂=1, y_n=y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 2,5 и разностью 0,7.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 2,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₅= -145, a₆= -130. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии 17,3; 15,4... .

7. Дана последовательность y_n=-2n -3 - n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?