Конспект урока геометрии на тему «Практические приложения подобия треугольников. Задачи на построение »

Конспект урока геометрии на тему

«Практические приложения подобия треугольников.

Задачи на построение »

Тип урока: урок открытия новых знаний

Цели урока:

1. образовательная – показать применение подобия треугольников при проведении измерительных работ на местности; познакомить с различными способами определения высоты предмета и расстояния до недоступного объекта и умения применять полученные знания при решении разнообразных задач данного вида;

2. развивающая – развитие вычислительных навыков учащихся; развитие познавательных процессов, памяти, воображения, мышления, внимания, наблюдательности, сообразительности; расширение кругозора учащихся;

3. воспитательная – воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры; воспитание чувства ответственности перед товарищами, умение контролировать свои действия.

Методы обучения: эвристический, репродуктивный.

Формы обучения: фронтальная, парная, самостоятельная.

Учебно – информационное обеспечение: «Геометрия 7 – 9 класс» Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г.Позняков, И.И.Юдина.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин).

2. Актуализация опорных знаний и способов действий (6 мин).

3. Изучение нового материала (15 мин).

4. Закрепление изученного материала (21 мин).

5. Домашнее задание (1 мин.)

6. Подведение итогов урока (1 мин).

1. Организационный момент (1 мин).

– Здравствуйте, ребята! Позвольте начать урок со слов французского математика, философа, физика Р. Декарта: «Любопытный отыскивает радости только затем, чтобы им удивляться, любознательный же затем, чтобы узнать их и перестать удивляться». Так давайте сегодня на уроке мы будем любознательными.

1. Актуализация опорных знаний и способов действий (6 мин).

– Геометрия – одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие». Такое название связано с различными измерительными работами. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей, а в дальнейшем сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

– Помогите друг другу вспомнить определение подобных треугольников (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника).

– Давайте вспомним признаки подобия треугольников ( 1 признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны;

2 признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны;

3 признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны)

– Ребята, у вас на столе лежат листы, давайте попробуем вместе определить истинность или ложность высказываний.

1. Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны (да).

2. Два равносторонних треугольника всегда подобны (да).

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (да).

4. Стороны одного треугольника имеют длины 5, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 10, 8, 14 см. Подобны ли эти треугольники?(нет)

5. Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон (нет).

6.Если два угла одного треугольника равны 60 и 50, а два угла другого треугольника равны 50 и 70, то такие треугольники подобны (да).

7. Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу (да).

8.Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны пропорциональны (нет).

1. Изучение нового материала (15 мин).

– Мы вспомнили свойства и признаки подобия треугольников. Как вы думаете, где можно применить данные теоретические знания? (на практике).

– Какова же тема урока? (задачи на построение).

– Сформулируйте цель урока (рассмотреть случаи применения подобия треугольников, закрепить знания при решении задач).

– Запишите число и тему урока в рабочую тетрадь.

– При решении многих задач на построение треугольников применяются так называемый метод подобия. Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данный, строят искомый треугольник.

– Рассмотрим пример.

– Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Дано: , = , PQ,

Построить: , , CD = PQ

Построение:

– Сначал построим какой ­– нибудь треугольник, подобный искомому. Для этого начертим произвольный отрезок А₁В₁ и построим ΔА₁В₁С, у которого углы А₁ и В₁ соответственного равны данным углам.

– Далее постоим бисектрису угла С и отллпжим на ней отрезок СD, раный данному отрезку а.

– Через точку D проведем прямую, паралельную А₁В₁.

– Она пересекает стороны угла С в некоторых точках А и В. Треугольник АВС искомый.

– Т.к.АВ || А₁В₁, то = , = , следовательно, два угла треугольника АВС соответственно равны данным углам. По построение биссектрисы СD треугольника АВС равна данному отрезку. Значит треугольник АВС удовлетворяет всем уловиям задачи.

– Задача имеет решение, если сумма двух данных углов меньше 180⁰. Т. к. отрезок А₁В₁ можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию задачи. Все эти треугольники равны друг другу, поэтому задача имеет единственное решение.

Доказательство:

1. Т.к. , , – соответствующие при АВ || А₁В₁ секущей АС и СВ, то = и .

2. ΔАВС – искомый.

1. Закрепление изученного материала (21 мин).

– Давайте рассмотрим задачу №589 на стр. 154

Дано: PQ,

Построить: ΔАВС, , ВС=PQ, АВ:АС= 2:1.

– Пусть ΔАВС – искомый.

– Тогда любой треугольник А₁В₁С_1, в котором А₁В₁ || АВ, где А₁ , В₁ , , ΔАВС подобен по первому признаку подобия. Следовательно А₁В₁: А₁С= 2:1, , а затем отложить на луче СВ₁ отрезок СВ=PQ и через точку В провести прямую, параллельную прямой А₁В₁. Точка А пересечения этой прямой с прямой А₁С является вершиной искомого треугольника.

Построение:

1. Строим угол МА₁N, равный данному углу hk.

1. Отмечаем произвольную точку С на луче А₁N.

2. На луче А₁М откладываем отрезок А₁В₁, равный 2А₁С.

3. На луче СВ₁ откладываем отрезок СВ, равный данному отрезку PQ.

4. Через точку В проводим прямую, параллельную А₁В₁. Она пересекает прямую А₁С в точке А. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство:

1. Т.к. ∠A = ∠А_1, ∠А= ∠hk, ∠С – общий, А1В1 || АВ, А1 ∈АС,

В1∈ВС, то ΔАВС подобен по первому признаку подобия треугольников.

– Задача № 590

Построить: , ⁰, ВС=а, АВ : АС= 2:1

Построение:

1. Построим , равный данному углу.

2. Возьмем какой – нибудь отрезок PQ и отложим на луче АХ отрезок АВ₁, равный 2PQ, а на луче АУ – отрезок АС₁ равный PQ.

3. На луче С₁В₁ отложим отрезок С₁В₂, равный данному отрезку, и через точку В₂ проведем прямую, параллельную АС₁. Она пересекает луч АХ в некоторой точке В.

4. Через точку В проведем прямую, параллельную С₁В₁ . Эта прямая пересекает луч АУ в некоторой точке С.

5. Треугольник АВС – искомый.

– В самом деле, равен данному углу по построению. Т.к. ВС || В₂С₁ и В₂В || С₁С, четырехугольник ВСС₁В₂ – параллелограмм, и поэтому ВС=С₁В₂, значит, сторона ВС ΔАВС равна данному отрезку. Т.К. ВС||В₁С₁ , = = .

– Т.о., ΔАВС удовлетворяет всем условиям задачи. Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.

5. Домашнее задание (1 мин).

П. 66 стр.148, № 586, 587,588

6.Подведение итогов урока (1 мин).

– Что больше всего запомнилось на уроке?

– «Я запомнил, что…»

– Что удивило?

– Что понравилось больше всего?

– Спасибо за урок, можете быть свободны.