Конспект урока геометрии в 10 классе по теме: «Усечённая пирамида. Площади поверхности усеченной пирамиды»

10 класс
Геометрия
Урок № 55

Тема: Усечённая пирамида. Площади поверхности усеченной пирамиды

Тип: урок изучения нового материала.

Цель: сформировать представление об усечённой пирамиде и её площади.

Задачи:

Образовательная:

• изучить теоретический материал по теме «Усечённая пирамида»;

• Разобрать и доказать теорему о площади поверхности усечённой пирамиды.

Развивающая:

• Развитие навыки доказательства теорем;

• Развитие самостоятельности и логического мышления.

Воспитательная:

• Воспитывать интерес к геометрии;

• Увеличение степени дисциплинированности и организованности на уроке;

• Воспитывать внимательность и умение работать как самостоятельно, так и в коллективе.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учитель и ученики приветствуют друг друга. Выявляются отсутствующие на уроке.

II. Проверка домашнего задания
Учитель берёт у 4–5 человек тетрадь для проверки выполнения домашнего задания.
III. Актуализация знаний учащихся

1. Фронтальный опрос
– Что называется пирамидой?
– Что называется правильной пирамидой?
– Что называется площадью боковой поверхности пирамиды?
– Что называется площадью полной поверхности пирамиды?
– Что называется трапецией?
– Что называется равнобедренной трапецией?
– Что называется прямоугольной трапецией?
– Как найти площадь трапеции?

2. Устное решение задач
Задача 1.
В С Дано: АВСD – трапеция;
BAD = 45
BC = 6 см
АD = 8 см
Найти: S – ?

А h₁ h₁ D

Решение:
h = = 1 (см).
h = h₁  tg45 = 1 (см).
h = h₁ = 1 (см).

S = (8+6)  1= 7 (см²).
Ответ: S = 7 см².

Задача 2.
В 4 С Дано: АВСD – трапеция;

АВСЕ – квадрат;

ВС = 4 см, CDE = 30

Найти: АD – ?

А Е D

Решение:
АЕ = 4 см
АЕ = ВС = СЕ = 4 см;
ЕD = = = 12
AD = (4 + 12) cм.

IV. Постановка темы и целей урока
–Ребята, тема, которую нам сегодня предстоит разобрать, звучит так: «Усечённая пирамида. Площади поверхности усеченной пирамиды». Сегодня вам предстоит узнать, что это такое и разобрать теорему.

V. Изучение нового материала
Прошу ученика изобразить на доске произвольную пирамиду РА₁А₂…А_п.
Учитель говорит:
– Возьмём произвольную пирамиду РА₁А₂…А_п и проведём секущую плоскость , параллельно плоскости ɑ основания пирамиды и пересекающую боковые рёбра в точках В₁,В₂,…В_п. Плоскость  разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого является п-угольники А₁,А₂,…А_п и В₁,В₂,…В_п (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и п-четырёхугольников А₁А₂В₂В₁, А₂А₃В₃В₂, … А_пА₁В₁В_п (боковые грани), называется усечённой пирамидой.
Отрезки А₁В_1, А₂В₂, … А_пВ_п называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды. Усечённую пирамиду с основаниями А₁,А₂,…А_п и В₁,В₂,…В_п обозначают так:
А₁А₂…А_п В₁В₂…В_п. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды.

– Ребята, откройте учебник на странице 64. Посмотрите на рисунок 76.
– Назовите верхнее и нижнее основания, боковые грани и рёбра усечённой пирамиды, высоту усечённой пирамиды.
– Ребята, докажите, что боковая грань усечённой пирамиды – трапеция? (А₁А₂В₁В₂ – трапеция (А₁В₁ А₂В₂).)
– Говорят, что усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. Встаёт вопрос: как найти сумму площадей её боковых граней? Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

S_бок. = (р₁+ р₂)  h,
где р₁ и р₂ – периметры оснований;
h – апофема.

VI. Решение задач. Закрепление изученного материала/
1) Учитель возле доски решает №268

Дано:
MABCD – правильная пирамида,
А₁В₁С₁ АВС, = ,
NK – апофема, NK = 4 дм,
S_ус.пир. = 186 дм².
Найти: – ?
Решение: Рассмотрим МКО. Т.к. N₁O₁ KO,
то = , значит, стороны = . = 1 : 3.
Пусть В₁С₁ = x, ВС = 3х. Имеем S_бок. = (4х+ 12х)  4. S_осн. = х²+ 9х² = 10х²
S_полн. = 10х² + 32 = 186
5х² + 16х – 93 = 0
D = 256 + 1860 = 2116,
т.к. D  0, то 2 решения.
х₁ = = – 6,2 – не удовлетворяет условию задачи, не может быть
х₂ = = 3
В₁С₁ = 3 (см), ВС = 9 (см), NO = 1,5 (см), OK = 4,5 (см). KF = OK – NO₁ = 3.
Из KNF по теореме Пифагора NF = ОО₁ = = (дм).
Ответ: дм.
2) Ученик решает возле доски № 269
Дано:
ABCА₁В₁С₁ – усечённая пирамида,
А₁В₁=В₁С₁=А₁С₁ = 2 см;
АВ = ВС = АС = 4 см; АА₁ = 2см.
Найти: – ?
А₁F₁ – ?
Решение: Пусть О и О₁ – центры оснований ирамиды.
1) Из АВС имеем: АВ = R , R = AO.
AO = дм, ОК = АО = дм.

2) Из А₁В₁С₁ находим А₁О = дм, О₁М = дм.
3) ЕК = ОК – ОЕ
ОЕ = О₁М, остюда ЕК = – = дм.

4) АА₁F имеем: FA = AO – FO, FO = А₁O, AF = – = дм.
А₁F = = дм.
5) Из МЕК имеем: МК = = дм.

Ответ: дм, дм.

VII. Рефлексия учебной деятельности
– Что такое усечённая пирамида?
– Что такое апофема?
– Кому что осталось непонятым?

VIII. Подведение итогов урока
__________________________________________________________________________

Домашнее задание

Учитель раздаёт каточки с домашнем заданием.