Тема урока: «Логические выражения»
Цель урока: Познакомить учащихся с основными понятиями логических операций. Способствовать формированию умения различать виды логических операций.
Учащиеся должны знать: что такое логика, логические операции.
Учащиеся должны уметь: выполнять операции над высказываниями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Повторение.
1. Логическое отрицание (инверсия).
Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и наоборот.
Таблица истинности
- Логическое умножение (конъюнкция).
Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно.
Таблица истинности
А | В | А и В |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
- Логическое сложение (дизъюнкция).
Высказывание «A или B» истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе.
Таблица истинности
А | В | А или В |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
III Изучение нового материала
Логическое выражение — это выражение, результат вычисления которого — логическое значение (истина или ложь).
Логические выражения часто используются при решении математических задач с помощью компьютеров.
Построим условия (логические выражения), соответствующие заштрихованным областям на числовой оси (рис. 1).
На рис. 1, а выделен отрезок [3; 6]. Для того чтобы определить такую область, нужно ограничить значение х с двух сторон: оно должно быть больше или равно трём и меньше или равно шести, причем эти два условия должны выполняться одновременно, т. е. их нужно связать с помощью операции И:
(3 Х ) и (Х 6).
Область на рис. 1, б — это объединение двух отрезков. Мы можем отдельно записать условия для каждого отрезка и связать их с помощью операции ИЛИ:
(1 Х ) и (Х или (5 Х ) и (Х 8).
а)
б)
Рисунок 1.
Примеры решения заданий
-
Напишите наименьшее целое число x, для которого истинно высказывание:
НЕ (X 3) И НЕ (X ≥ 6).
Выполним логическую операцию отрицание (НЕ):
НЕ (X = (X ≥ 3);
НЕ (X ≥ 6) = (X 6).
Логическое выражение примет вид:
(X ≥ 3) И (X 6)
Построим координатную прямую, отметив на ней полученные в логическом выражении интервалы:
3 6
В логическом выражении присутствует логическое умножение (И), следовательно, на
координатной прямой необходимо определить интервал, на котором оба условия выполняются одновременно.
3 6
Это интервал 3 ≤ х 6. Наименьшее число в этом интервале 3. Ответ: 3.
-
Напишите наибольшее целое число x, для которого истинно высказывание:
(X ≤ 14) ИЛИ НЕ (X ≥ 29).
Выполним логическую операцию отрицание (НЕ):
НЕ (X ≥ 29) = (X 29).
Логическое выражение примет вид:
(X ≤ 14) ИЛИ (X 29)
Построим координатную прямую, отметив на ней полученные в логическом выражении интервалы:
14 29
В логическом выражении присутствует логическое сложение (ИЛИ), следовательно,
на координатной прямой необходимо определить интервал, на котором хотя бы одно условие выполняется.
14 29
На интервале -∞ ≤ х 14 выполняются одновременно оба условия, а на интервале
14 только одно (X 29). Следовательно, это интервал -∞ ≤ х 29. Наибольшее число в этом интервале 28.
Ответ: 28.
-
Напишите наибольшее целое число x, для которого истинно высказывание:
НЕ (X ≥ 12) И ((X ИЛИ НЕ (X 9)).
Выполним логическую операцию отрицание (НЕ):
НЕ (X = (X ≥ 9);
НЕ (X ≥ 12) = (X 12).
Логическое выражение примет вид:
(X И ((X 3) ИЛИ (X ≥ 9))
Построим координатную прямую, отметив на ней полученные в логическом выражении интервалы:
Первым выполняется действие «ИЛИ», т.к. оно находится в скобках. Затем логическое умножение (И). На координатной прямой необходимо определить интервалы, на которых выполняются одновременно условия (X 12) и результат логической операции (X ИЛИ (X ≥ 9).
Это интервалы -∞ ≤ х 3 и 9 ≤ x 12. Наибольшее число – 11. Ответ: 11.
-
Напишите количество целых чисел x, для которых истинно высказывание:
НЕ ((X 7) ИЛИ НЕ (X ≥ 1))
Выполним логическую операцию отрицание (НЕ):
НЕ (X ≥ 1) = (X 1).
Логическое выражение примет вид:
НЕ ((X 7) ИЛИ (X 1))
Воспользуемся законом Де Моргана для логического сложения НЕ ( А ИЛИ В ) =
НЕ А И НЕ В:
НЕ (X 7) И НЕ (X 1)
Выполним логическую операцию отрицание (НЕ):
НЕ (X 7) = (X ≤ 7);
НЕ (X 1) = (X ≥ 1).
Логическое выражение примет вид:
(X ≤ 7) И (X ≥ 1)
1 7
При логическом «И» только если все условия будут истинны, то всё логическое
выражение будет истинно. Именно поэтому надо подобрать такие числа, которые сделают истинными оба условия.
1 7
Эти условия выполняются при Х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Всего чисел семь.
Ответ: 7.
Домашнее задание.
Решите следующие задания:
-
Напишите наименьшее целое число x, для которого истинно высказывание:
НЕ (X 5) И НЕ (X ≥ 25).
-
Напишите наибольшее целое число x, для которого истинно высказывание:
(X ≤ 1) ИЛИ НЕ (X ≥ 7).
-
Напишите наименьшее целое число x, для которого истинно высказывание:
НЕ (X 8) И НЕ (X = 15) И (X четное).