Конспект урока геометрии в 8 класс по теме "Решение задач на применение признаков подобия треугольников"

8 класс 27.01.2018

Урок № 37
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

(Решение задач на применение признаков подобия треугольников)

Цели: создать условия для формирования умений доказывать признаки подобия треугольников, рассмотреть решение задач с применением изученных признаков подобия.

Задачи урока:

образовательные:

• формировать умения применять полученные знания при решении разнообразных задач на применение подобия треугольников;

• показать взаимосвязь теории с практикой;

• познакомить учащихся со способами определения высоты предмета и расстояния до недоступного объекта.

развивающие:

• повышать интерес учащихся к изучению геометрии;

• активизировать познавательную деятельность учащихся;

• формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.

воспитательные:

• мотивировать интерес учащихся к предмету посредством включения их в решение практических задач.

Ход урока

1. Организационный момент

Здравствуйте! Рада вас всех видеть на уроке геометрии. Проверьте готовность к уроку.

2. Определение темы и цели урока

Вспомним, какие новые понятия, утверждения, теоремы вы изучали на последних предыдущих уроках? (подобные треугольники, пропорциональные отрезки, коэффициент подобия, отношение площадей, признаки подобия треугольников)

То есть вы уже готовы прямо сейчас решать контрольную работу по данной теме? (нет)

Почему? (не до конца усвоена тема, мало решали задач на применения признаков подобия и т.д.)

На ваших столах листочки. Дерево условно назовем темой «Подобные треугольники», отметьте на нем себя, где вы сейчас находитесь, на каком уровне освоили данную тему. (1 слайд)

Значит, какую цель поставите перед собой на уроке? (тренировка, решать задачи, применение признаков подобия при решении задач и т.д.)

Отлично, то есть сегодня на уроке мы будем применять признаки подобия при решении задач.

3. Актуализация знаний

3.1 Теоретический опрос

Для решения задач нам понадобятся знание некоторых определений, изученных ранее. Вспомните их: (2 слайд)

Какие треугольники называются подобными? (Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого).

Определите сходственные стороны подобных треугольников, назовите их (3 слайд)

Что такое коэффициент подобия? (число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия).

Чему равно отношение площадей двух подобных треугольников? (Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия).

Цель нашего урока предполагает решения задач на применение признаков подобия, нам необходимо знать эти признаки.

Сколько признаков подобия существует? Вспомним и назовем все три признака (ответы детей).

Это те теоретические знания, которые нам сегодня пригодятся при решении задач.

Откройте тетради, запишите число, тему урока: Решение задач на применение признаков подобия треугольников. (4 слайд)

3.2 Решение задач на готовых чертежах

Задание: решение задач по готовым чертежам. Чертежи представлены на слайде, пронумерованы, каждому чертежу соответствует задание.

В тетради вы записываете только краткие ответы таким образом:

1) назвать подобные треугольники;

2) указать признак подобия;

3) найти неизвестные элементы.

На решение каждой задачи отводится 2 минуты. Обращаю ваше внимание, на установление правильного соответствия между сторонами подобных треугольников. Приступаем к решению.

Задания к чертежам Ответы:

После истечения времени проводится взаимопроверка. (5 слайд)

Поменяйтесь тетрадями с соседом, проверяем правильность решения задач по соответствующему ключу. Ставим напротив задач «плюс» - за правильный ответ, «минус» - за неверное решение.

Кто не допустил ни одной ошибки? Кто ошибся в 1й, 2й и т.д. задачах? Что вызвало затруднение?

4. Решение задач

Приступаем к решению более сложных задач.

Задача 1. Дан четырехугольник, по рисунку необходимо сформулировать задачу. Найти: BAD.

Сформулируйте задачу. (6 слайд)

Назовите, что дано. Что требуется найти.

Начертите рисунок в тетрадь и запишите, что дано, что требуется найти.

Дано: ABCD – четырехугольник,

АС – диагональ,

ВС = 10, СD = 15, AD = 21, AC = 14, АВ = ,

В = 80º, D = 55º.

Найти: BAD.

Прочитайте, что у вас получилось.

Поиск решения задачи:

Что нам надо найти? BAD

Что достаточно знать, чтобы

найти этот угол? ВАС САD

Откуда мы найдем эти углы? ∆ АВС ∆ ACD

Если в треугольнике мы знаем один угол, что поможет нам найти другие углы? Для чего даны стороны? (устанавливаем отношение между сторонами, покажем, что треугольники подобны)

Чему равен коэффициент подобия?

Что из этого следует? ∆ АВС подобен ∆ ACD

По какому признаку? (по 3 признаку)

Что следует из подобия? равенство углов

Какие углы сможем найти? ВАС САD

А зная их, найдем… BAD

План решения понятен? Повторите.

План решения задачи:

- устанавливаем подобие треугольников ∆ АВС и ∆ ACD;

- доказательство подобия, через соотношение сторон;

- устанавливаем равенство соответствующих углов в подобных треугольниках;

- по свойству суммы углов треугольника находим углы ВАС и САD;

- находим угол BAD.

- Женя выходи к доске, оформляй решение этой задачи. Остальные у себя в тетрадях.

Решение:

1. = ;

2. = ∆ АВС подобен ∆ ACD (по 3 признаку);

3. ∆ АВС подобен ∆ ACD = BAC=CAD; BCA=CDA; ABC=ACD (по определению подобных треугольников); BCA=CDA=55º; ABC=ACD=80º;

4. из ∆ АВС: ABC=80º, BCA =55º = BAC=45º; аналогично, из ∆ ACD: ACD=80º, CDA=55º = CAD=45º (по свойству суммы углов треугольника);

5. BAD=ВАС+САD=45º+45º=90º.

Ответ: BAD=90º.

Задача 2. В параллелограмме ABCD AE – биссектриса угла А. Стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как . АЕ пересекает диагональ BD в точке К. Найти отношение . (7 слайд)

Прочитайте задачу. Что дано в задаче?

Что нужно найти?

Давайте сделаем чертеж к задаче (один человек у доски работает Миша).

Что такое биссектриса угла?

Обозначим равные углы. Напишем дано, что надо найти.

Дано: ABCD – параллелограмм,

AE – биссектриса,

.

Найти: .

Поиск решения задачи:

- Что нам надо найти?

- Откуда найдем отношение сторон? ∆ ВКЕ и ∆DКА

- Что будем делать с треугольниками? доказывать подобие

- Что для этого достаточно доказать? BКЕ=DКА – как

вертикальные

ВЕА=ЕАD (EBD=BDA)

(как накрест лежащие при прямых ВС и АD и секущей АЕ(ВD))

- По какому признаку установили подобие? (по 1 признаку)

- Что следует из подобия? (пропорциональность сходственных

сторон )

- Как связать сторону АВ с нашими подобными треугольниками?

рассмотреть ∆АВЕ

- Каким является этот треугольник? равнобедренным

(углы при основании равны, АВ=ВЕ)

- Что следует из этого равенства? , (т.к. ВС=АD)

- Что можно найти из равенства ? (коэффициент подобия k=)

- Как найти ?

- План решения понятен? Повторите.

План решения задачи:

- устанавливаем подобие треугольников ∆ ВКЕ и ∆ DКА;

- доказательство подобия, через равные углы при параллельных прямых и секущей;

- устанавливаем соотношение сходственных сторон в подобных треугольниках;

- рассматриваем равнобедренный ∆АВЕ, устанавливаем равенство сторон;

- находим коэффициент подобия;

- выявляем отношение .

- Оформляем решение у доски, на обороте, остальные самостоятельно, потом сверяем.

Решение:

1. BКЕ=DКА – как вертикальные; ВЕА=ЕАD (EBD=BDA) (как накрест лежащие при прямых ВС и АD и секущей АЕ(ВD))= ∆ ВКЕ и ∆ DКА подобные (по 1 признаку);

2. ∆ ВКЕ и ∆ DКА подобные =;

3. расм-м ∆АВЕ: ВЕА=ЕАD, ВАЕ=DАЕ (т.к. АЕ – биссектриса) = ∆АВЕ – равнобедренный;

4. ∆АВЕ – равнобедренный, АВ=ВЕ = устанавливаем ;

5. ВС=АD (противоположные стороны в параллелограмме) = ;

6. = коэффициент подобия k=;

7. , т.е. .

Ответ: .

- Попробуйте сформулировать свойство биссектрисы угла параллелограмма. Что она сделала с параллелограммом?

Свойство биссектрисы параллелограмма: Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

- Запишите себе это свойство, вы им можете пользоваться и при решении других задач.

Задача 3. Дан треугольник АВС. Прямая MN параллельна стороне АВ, . Отрезок MN равен 20см. Найдите длину отрезка АС. (8 слайд)

- Прочитайте задачу. Сформулируйте, что дано, что нужно найти.

Дано: ∆АВС, MN || AC, ,

MN= 20 см.

Найти: АС.

Поиск решения задачи:

- Что нам надо найти? АС

- Что для этого достаточно рассмотреть? ∆ АВС ∆MBN

- Какими являются эти треугольники? (подобные)

- Что для этого достаточно доказать? BMN=ВАС (BNM=BCA)

(как накрест лежащие при прямых MN и АС и секущей АВ(СВ))

- По какому признаку установили подобие? (по 1 признаку)

- Что следует из подобия? (пропорциональность сходственных

сторон )

- Что мы найдем из соотношения ? (коэффициент пропорц-ти)

- По какой теореме? (отношение площадей двух подобных треугольнико, равно квадрату коэффициента подобия)

- Коэффициент подобия равен… k=

- Что мы можем найти, зная коэффициент подобия?

MN – известно.

- План решения понятен? Повторите.

План решения задачи:

- устанавливаем подобие треугольников ∆ АВС и ∆MBN;

- доказательство подобия, через равные углы при параллельных прямых и секущей;

- устанавливаем соотношение сходственных сторон в подобных треугольниках;

- зная отношение площадей подобных треугольников, находим коэффициент подобия;

- находим длину стороны АВ, зная коэффициент подобия и длину стороны MN .

- Ход решения понятен? Эту задачку мы записывать в тетрадь не будем.

4 Задача (дополнительно)

Краткое решение

5. Подведение итогов урока (рефлексия)

• Что нового для себя открыли на уроке?

• Какие трудности испытывали при решении задач?

• На что еще стоит обратить внимание на следующем уроке, для закрепления ваших знаний по данной теме?

• Определите свое место на дереве в конце урока. Поднимите руку, кто поднялся выше, кто отпустился, кто остался на месте?

• Самыми активными на уроке были…

6. Домашнее задание: ______________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание по карточкам.

Получите домашнее задание. Всем большое спасибо за работу на уроке!

I. Проверка домашнего задания.

№ 613 (а) (по готовому чертежу проверить решение).

Решение

2) А = А₁.

3) АВС А₁В₁С₁ по второму признаку подобия треугольников.

№ 613 (б).

Решение

3) АВС А₁В₁С₁ по второму признаку подобия треугольников.

II. Решение задач.

№ 554 (устно).

№ 555 (а).

Имеем: ; ;

150 –30х –30х + 6х² = 6х²; х = 2,5.

MN = AC = 3 · 2,5 = 7,5 (см), АМ = NP = 2 · 2,5 = 5 (см).

№ 562 (без записи в тетрадь по готовому чертежу).

4) Имеем ; ; hx = ah – ax, x = .

III. Самостоятельная работа (проверочная).

Вариант I

1. Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части АD = 16 см и ВD = 9 см. Докажите, что АСD CВD и найдите высоту СD.

2. Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС треугольника АВС соответственно, АС = 16 см, ВС = 12 см, СМ = 12 см, СN = 9 см. Докажите, что MN || ВС.

Вариант II

1. Высота CD прямоугольного треугольника АВС отсекает от гипотенузы АВ, равной 9 см, отрезок АD, равный 4 см. Докажите, что АВС
АCD и найдите АС.

2. Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD пересекаются в точке О, АО = 18 см, ОВ = 15 см, ОС = 12 см, ОD = 10 см. Докажите, что АВСD – трапеция.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. Диагональ АC трапеции АВСD (АВ || СD) делит ее на два подобных треугольника. Найдите S_АВCD, если АВ = 25 см, ВС = 20 см, АС = 15 см.

2. Угол В треугольника АВС в два раза больше угла А. Биссектриса угла В делит сторону АС на части АD = 6 см и СD = 3 см. Найдите стороны треугольника АВС.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание:_________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

подготовиться к контрольной работе; №№ 555(б), 605; вопросы 1–7, с. 160.

Для желающих: №№ 611, 563.