Название предмета: алгебра и начала анализа
Класс: 11
УМК: «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс, А.Г. Мордкович и др., 2013 г.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Обобщение понятия о показателе степени».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2 часа
Место урока в системе уроков по теме: 1
Техническое обеспечение урока: карточки для работы у доски и самостоятельной работы.
Цель урока:
Расширить понятие степени, дать понятие степени с рациональным показателем; научить переводить степень с рациональным показателем в корень и наоборот; вычислять степени с рациональным показателем.
Развитие памяти, мышления, устного счета.
Формирование активности. ответственности, трудолюбия.
«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть
из математики степени, и он увидит,
что без них далеко не уедешь»
М.В.Ломоносов
Ход урока
1. Организационный момент, проверка готовности к уроку.
2. Актуализация опорных знаний.
а) Перечислите свойства степеней с целым показателем (работа на обратной стороне доски)
Какая ошибка в записи свойств степени?
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_1.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_2.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_3.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_4.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_5.png)
б) Повторение. Устная работа.
1) Дайте определение степени с целым показателем
2) Если
, то 150 = ?
3) Если
, то 751 = ?
4) Если
, то
.
5) Вычислите ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_10.png)
6) Сравните с единицей: 10 – 2; 420 ; (0,2)- 6 ; ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_11.png)
в) Проверить задание у доски.
3. Объяснение нового материала.
Во всех представленных выше заданиях, показатель степени – целое число. Как быть в случае дробного показателя? При работе с такими степенями нужно, чтобы все свойства для целочисленных степеней сохранялись.
Как вы думаете, что представляет собой число
30,5;
? (выслушать мнения учеников, которые они предложат).
Для этого надо обобщить понятие степени. Рассмотрим равенство
. Тогда по определению q-й степени разумно считать, что
будет корнем q-й степени из числа ap.
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_16.png)
Пример 1.
По определению степени с рациональным показателем и свойствам корней получаем: ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_17.png)
Сделаем ряд замечаний, связанных с понятием степени с рациональным показателем.
1) Для любого
.
2) По основному свойству дробей рациональное число можно записать в виде
для любого натурального числа k. Тогда значение степени не зависит от формы записи рационального числа, т.к.
.
3) При a рациональная степень числа a не определена. Рассмотрим
. С другой стороны
, и тогда
. Получаем противоречие. Для приведенного определения стеени с рациональным показателем выполняются все приведенные ранее основные свойства степеней, но только для положительных оснований.
Итак, для любых рациональных чисел s и t и любых положительныхчисел a и b справедливы равенства:
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_24.png)
Рассмотрим применение свойств на примере.
Пример 2.
Вычислить: ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/01/06/s_5a511ab070656/788748_25.png)
Используя ствойства степени с рациональным показателем, запишем выражение в виде
4. Первичное закрепление.
Усно выполнить №37.1 – 37.6 (а, б)
5. Подготовка к ЕГЭ. Задания из открытого банка задач. 4 учащихся работают у доски.
1. Найдите значение выражения
.
2. Найдите значение выражения
.
3. Найдите значение выражения
.
4. Найдите значение выражения .
5. Найдите значение выражения . Объясняет учитель.
Решение:
Здесь смущает, что основания степеней не одинаковые, даже совсем не похожие. А так ли уж они не похожи?
169 = 132; ;
.
А теперь применим свойство степеней №5 – произведение степеней с одинаковыми показателями
Окончательно получаем: ![](data:image/png;base64,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)
Ответ: 7
6. Историческая пауза. Сведения о развитии понятия степени.
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоризм пропорций”. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями. Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у Симона Стевина.Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а0=1 при
и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень.В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения (типа а4, а5) в XVII в ввел Рене Декарт.
7. Самостоятельная работа. (5 мин)
Вариант 1
1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем
а)
; б)
; в)
;
2. Представьте выражение в виде корня из числа или выражения
а)
; б)
; в)
;
3. Вычислите:
а)
; б)
в)
; г)
;
Вариант 2
1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем
а)
; б)
; в)
;
2. Представьте выражение в виде корня из числа или выражения
а)
; б)
; в)
;
3. Вычислите:
а)
; б)
в)
; г)
;
8. Подведение итогов урока.
Домашнее задание: §37, №37.7, 37.14 (все в, г); прототипы задания 9 - №88, 89, 93, 94,100.