Конспект урока по алгебре в 11 классе по теме "Определённый интеграл"

Алгебра 11 класс

Дата: (2 урока)

Тема: Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока:

Образовательные: формирование понятия интеграла; формирование навыков вычисления определенного интеграла; формирование умений практического применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

Развивающие: способствовать развитию познавательных интересов учащихся; содействовать развитию мышления, самостоятельности, наблюдательности;

Воспитательные: прививание интереса к получению знаний; способствовать воспитанию творческой активности учащихся; формирование аккуратности при вычислении интегралов и построения чертежей.

Ученик должен знать: понятие первообразной, таблицу первообразных функций, формулу Ньютона –Лейбница, геометрический смысл определенного интеграла

Ученик должен уметь: вычислять определенный интеграл

Оборудование: Карточки (ДО и после), интерактивная доска

Ход урока:

1. Актуализация знаний 5мин

Свяжите все эти понятия и определите тему урока, сформулируйте цели и задачи 3мин

• Найдите первообразную функции: y=5; y=2x; y=3x²; y=cosx; y=1/x.

Ответы на обороте доски: 5x; x²; x³; sinx; ln│x│.

Оцените себя на листе опроса.

• Можно ли считать только данные ответы верными? Почему?

• Как называется это множество всех первообразных?

Ответы пишите во второй столбец.

• Найдите интеграл:

_а); _б); _в); _г); _д).

Ответы на обороте доски: _1 +c; _1+c; _1+c; _+c; _1+c.

ВЫВОД: неопределенный интеграл- это множество первообразных, отличающихся только числом.

1. Формирование новых знаний

Выявите связь между понятиями, которые я назову, и продолжите этот ряд: 5 и 1/5, умножение и деление, возведение в квадрат и извлечение из-под корня, дифференцирование и… Какой термин будет в паре? Почему? Какие это действия?

Неопределенный интеграл -….

Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков

Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять интегралы.

Сегодня мы будем следовать естественноисторическому развитию математики и искать тот самый скрытый порядок в хаосе…

Геометрический смысл задачи интегрирования.

Какая связь между величинами пути s(t) и v(t) - скорости? -физика

Т.е, s’(t)=v(t) и обратное действие интегрирования дает _=s(t).

Таким образом, интеграл скорости равен пути.

_{, где S-перемещение,V-скорость, t –время}

_{, где m-масса тонкого стержня, ρ- линейная плотность}

_{, где A-работа, F-сила, N–мощность}

_{, гдеq-заряд, I-сила тока.}

Рассмотрим, в чем заключается геометрический смысл этого интеграла.

Причем, чем больше будет n, тем точнее будет площадь трапеции. Сумму площадей прямоугольников принято искать в виде предела последовательности (Sn): S=limSn. Итак, мы проделали два шага: разбили отрезок [a,b] на n равных частей и составили сумму Sn прямоугольников. Далее мы можем его вычислить. В курсе мат. анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a,b] и обозначают так _. Числа a и b называют пределами интегрирования.

Тогда, определение площади из задачи теперь можно записать следующим образом: _. S –площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то справедлива формула _, где F(x) – первообразная для f(x). Приведенную формулу называют формулой Ньютона-Лейбница_.

1. Первичная отработка навыков применения новых знаний - взаимопроверка

№49.5-49.7(б) №49.8-49.10(б)

через понижение степени

Переходим к карточке и заполняем 2 часть (после)

1. Самостоятельная работа

Самостоятельная работа Самостоятельная работа

Итог урока. Что трудного для вас оказалась? Что было понятным, что не понятным 49.7-49.9(в) формулу знать и знать геометрический смысл