Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

1. Что называется производной функции, как обозначаются производные?

2. Сформулируйте физический, геометрический и экономический смысл производной функции.

3. Какая функция называется дифференцируемой в точке, в промежутке?

4. Какие точки называются: угловой точкой, точкой возврата с вертикальной касательной, точкой перегиба с вертикальной касательной?

5. Формулы производных постоянной, суммы, произведения, частного.

6. Сформулировать правило дифференцирования сложной функции.

7. Какая формула связывает производные взаимно обратных функций?

8. Когда применяется метод логарифмического дифференцирования?

9. Какая функция называется неявной функцией? Можно ли утверждать, что всякое уравнение вида определяет неявную функцию?

10. Как отыскивается производная неявной функции?

Контрольные вопросы

1. Какая формула связывает функцию и ее первообразную?

2. Сколько первообразных имеет непрерывная функция?

3. Дайте определение неопределенного интеграла и сформулируйте его свойства.

4. В чем состоит свойство инвариантности формул интегрирования?

5. На каких свойствах неопределенного интеграла основан метод разложения?

6. Какие свойства дифференциала функции применяются при подведении функций под знак дифференциала?

7. Изложите основы метода замены переменной.

Задания для самостоятельной работы

1. Таблица формул интегрирования.

2. «Неберущиеся» интегралы.

3. Методы разложения и подведения под знак дифференциала.

4. Метод замены переменной.

[1], с. 331 – 346; [2], №№ 7.2(2-6, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 24), 7.7, 7.8(1-17), 7.9(1-10), 7.10(6-16).

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 331 – 346

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.137-145.

Практическое занятие 11. Неопределенный интеграл

Практическое занятие в интерактивной форме (2^*)

Занятие проводится в форме тестирования с последующим обсуждением и работой малыми группами.

В начале занятия студенты под руководством преподавателя обсуждают сложные вопросы, вызвавшие затруднения при выполнении домашнего задания (15-20 мин.)

Затем студентам предлагаются тесты по 2 – 3 вариантам по теме «Неопределенный интеграл» (5 – 6 минут). Преподаватель знакомит студентов со шкалой оценок, по которой будут оцениваться их ответы. После этого под руководством преподавателя начинается обсуждение студентами вопросов теста и правильных ответов.

Примерные вопросы для обсуждения

1. Первообразная функция и ее свойства.

2. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица формул интегрирования. Инвариантность формул интегрирования.

4. Метод разложения.

5. Метод подведения под знак дифференциала.

6. Метод замены переменной.

Показательным и полезным является то, что в процессе обсуждения сами студенты убеждают других студентов в их правоте или неправоте, а преподаватель в этом споре выступает в роли арбитра. В результате такого обсуждения студенты определяют свои «слабые места» и в соответствии со шкалой оценок могут оценить уровень своих знаний самостоятельно (20 мин.).

В оставшееся время студенты разбиваются на малые группы по 4-5 человек, каждая группа решает примеры по теме занятия. Затем студенты обсуждают наиболее сложные примеры, представитель от малой группы демонстрирует ход решения на доске, а остальные группы либо соглашаются, либо оспаривают его решение, предлагая свой метод решения.

В конце практического занятия преподаватель дает задания на дом с необходимыми пояснениями к решению задач.

Практические задания

[1], с.378, № 1(а); [2], №№ 7.1(2, 4, 5, 6, 9, 11, 14, 15, 17 – 23, 25 – 29), 7.3,

7.4(1, 5, 7, 8, 10, 12, 14 – 16, 17 – 19, 21 – 25, 31 – 35), 7.5(1 – 4, 6 – 11, 16 – 18), 7.6(1 – 10), 7.8(23-39), 7.9(11-18).

Лекция №7 Контрольные вопросы

1. Какая формула связывает функцию и ее первообразную?

2. Сколько первообразных имеет непрерывная функция?

3. Дайте определение неопределенного интеграла и сформулируйте его свойства.

4. В чем состоит свойство инвариантности формул интегрирования?

5. На каких свойствах неопределенного интеграла основан метод разложения?

6. Какие свойства дифференциала функции применяются при подведении функций под знак дифференциала?

7. Изложите основы метода замены переменной.

Задания для самостоятельной работы

1. Таблица формул интегрирования.

2. «Неберущиеся» интегралы.

3. Методы разложения и подведения под знак дифференциала.

4. Метод замены переменной.

[1], с. 331 – 346; [2], №№ 7.2(2-6, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 20, 24), 7.7, 7.8(1-17), 7.9(1-10), 7.10(6-16).

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 331 – 346

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.137-145.

Практическое занятие 12. Методы интегрирования

Вопросы для обсуждения

1. Интегрирование по частям.

2. Интегрирование простейших дробей.

3. Интегрирование рациональных дробей.

4. Правило разложения на простейшие дроби.

5. Интегрирование тригонометрических функций.

6. Интегрирование простейших иррациональных функций.

Практические задания

[1], с. 378, №1(а-б); №1(в-д); [2], №№ 7.11(1-9, 15, 28), №№ 7.13(1-15, 26, 29, 31), №№ 7.15(2, 4-7, 9, 11, 15-17, 22, 24, 26, 28), 7.16(1-6),

7.19(1-11, 13-20, 27, 33).

Контрольные вопросы

1. В каких случаях применяется метод интегрирования по частям?

2. Какая алгебраическая дробь называется правильной? Неправильной?

Приведите примеры.

3. Какие дроби называются простейшими? Приведите примеры.

4. Когда и как производится разложение правильной дроби на простейшие? Приведите примеры.

5. Какие методы и формулы применяются при интегрировании тригонометрических функций?

6. Какой метод чаще всего применяется при интегрировании простейших иррациональных функций?

7. При интегрировании каких иррациональных функций применяются тригонометрические подстановки?

Задания для самостоятельной работы

[1], с. 346-377; [2], №№ 7.12(2-14, 17, 21, 22, 26), №№ 7.14(1-16,18-20, 28, 30), №№ 7.17(1-24), 7.18(1-6).

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 346-378.

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.140-157.

Практическое занятие 13. Определенный интеграл

Практическое занятие в интерактивной форме (2^*)

Занятие проводится в форме тестирования с последующим обсуждением и работой малыми группами.

В начале занятия студенты под руководством преподавателя обсуждают вопросы, вызвавшие затруднения при выполнении домашнего задания (15-20 мин.)

Затем начинается обсуждение студентами вопросов по теме занятия, для этого преподавателем назначаются «докладчик» и несколько «оппонентов», которые в процессе обсуждения могут меняться ролями. В роли оппонентов могут выступать все студенты группы. Обсуждение сопровождается демонстрацией типовых примеров по теме занятия.

Примерные вопросы для обсуждения

1. Понятие интегральной суммы для функции f(x) на отрезке [a;b].

2. Понятие определенного интеграла.

3. Свойства определенного интеграла.

4. Классы интегрируемых функций.

5. Теорема о среднем значении определенного интеграла.

6. Формула Ньютона-Лейбница.

7. Вычисление определенного интеграла.

Все активные участники обсуждения получают затем оценки (20 мин.).

В оставшееся время студенты разбиваются на малые группы по 4-5 человек, каждая группа решает примеры по теме занятия. Затем студенты обсуждают наиболее сложные примеры, представитель от малой группы демонстрирует ход решения на доске, а остальные группы либо соглашаются, либо оспаривают его решение, предлагая свой метод решения.

В конце практического занятия преподаватель дает задания на дом с необходимыми пояснениями к решению задач.

Практические задания

[1], с.419, №23;

[2], №№ 8.1(3, 5, 8-15), 8.2(1-6, 10-13,17,19), 8.3(4), 8.4(1), 8.9(3, 6, 19, 20).

Контрольные вопросы

1. Что называется интегральной суммой данной функции f(x)на данном отрезке [a;b]?

2. Что называется определенным интегралом от данной функции на данном отрезке?

3. В чем состоит свойство сохранения знака определенного интеграла?

4. В чем состоит свойство аддитивности определенного интеграла?

5. Разъясните смысл формулы Ньютона-Лейбница.

6. В чем состоит метод замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле?

Задания для самостоятельной работы

1. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы.

2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

3. Вычисление площадей криволинейных фигур.

[1], с. 384-418;

[2], №№ 8.5(2-15), 8.6(1-12, 19, 29, 31), 8.7, 8.8(2-3), 8.13(4, 10, 15, 17).

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 384-419

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.159-163.

Практическое занятие 14. Несобственные интегралы

Вопросы для обсуждения

1. Определение и геометрическая интерпретация несобственных интегралов от непрерывной функции по бесконечному промежутку.

2. Понятие сходимости несобственных интегралов 1-го рода.

Практические задания

[1], с. 436, №№ 6, 7, 8(в); [2], №№ 8.27(1-15), 8.28(1-11).

Контрольные вопросы

1. Дайте определение несобственного интеграла от непрерывной функции по бесконечному промежутку, приведите примеры.

2. Какие интегралы относятся к несобственным интегралам I рода?

3. Какие несобственные интегралы называются сходящимися; расходящимися?

Задания для самостоятельной работы

[1], с. 425-436; [2], №№ 8.33(1-19), 8.34(1-15), 8.35.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 425-436

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.171-176.

Практическое занятие 15. Числовые ряды

Практическое занятие в интерактивной форме (2^*)

Занятие проводится в форме тестирования с последующим обсуждением и работой малыми группами.

В начале занятия студенты под руководством преподавателя обсуждают вопросы, вызвавшие затруднения при выполнении домашнего задания (15-20 мин.)

Затем начинается обсуждение студентами вопросов по теме занятия, для этого преподавателем назначаются «докладчик» и несколько «оппонентов», которые в процессе обсуждения могут меняться ролями. В роли оппонентов могут выступать все студенты группы. Обсуждение сопровождается демонстрацией типовых примеров по теме занятия (20 мин.).

Примерные вопросы для обсуждения

1. Понятие числового ряда.

2. Понятие сходимости и суммы ряда.

3. Свойства сходящихся числовых рядов.

4. Необходимый признак сходимости.

5. Числовые ряды с положительными членами. Признак сравнения сходимости числовых рядов с положительными членами.

6.Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: интегральный признак сходимости Коши, признак Даламбера, радикальный признак сходимости Коши.

7. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница,

8. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов.

Все активные участники обсуждения получают затем оценки .

В оставшееся время студенты разбиваются на малые группы по 4-5 человек, каждая группа решает примеры по теме занятия. Затем студенты обсуждают наиболее сложные примеры, представитель от малой группы демонстрирует ход решения на доске, а остальные группы либо соглашаются, либо оспаривают его решение, предлагая свой метод решения.

В конце практического занятия преподаватель дает задания на дом с необходимыми пояснениями к решению задач.

Практические задания

[1], с. 479-480, №№ 9, 10, 17(1,10, 2-15), [2], №№ 9.1, 9.2, 9.4(1-5, 9, 15),

№№ 9.3(1-12), 9.5(1-6), 9.6, 9.7(1-10).

Контрольные вопросы

1. Дайте определение числового ряда.

2. Какой ряд называется сходящимся; расходящимся? Дайте определение частичной суммы, суммы ряда.

3. В чем отличие конечного суммирования от бесконечного?

1. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

2. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если общий член ряда стремится к нулю при n→∞? Приведите пример.

3. Можно ли утверждать, что ряд расходится, если предел общего члена ряда не равен нулю при n→∞? Приведите пример.

4. Сформулируйте достаточный признак расходимости ряда.

5. Перечислите свойства сходящихся рядов.

6. Какие достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Вы знаете? Сформулируйте их.

7. Какой ряд называется знакочередующимся? Каким признаком пользуются для выяснения сходимости таких рядов? Сформулируйте его.

8. Дайте понятие абсолютной и условной сходимости числовых рядов?

9. Перечислите свойства абсолютно сходящихся рядов.

Задания для самостоятельной работы

[1], с. 439-479; [2], №№ 9.8, 9.9, 9.10(1-4, 10, 13, 16), №№ 9.10(5-39).

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 439-480.

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.177-183.

Практическое занятие 6. Функциональные ряды

Вопросы для обсуждения

1. Понятие функционального ряда.

2. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда.

3. Теорема Абеля.

4. Нахождение интервала и радиуса сходимости степенного ряда.

5. Свойства сходящихся степенных рядов.

Практические задания

[1], с. 522, №№1; [2], №№ 9.11(1-5), 9.12, 9.16(1-10).

Лекция № 5 Контрольные вопросы

1. Какой ряд называется функциональным? Что называется областью сходимости функционального ряда. Приведите примеры.

2. Какой ряд называется степенным?

3. Что называется интервалом сходимости степенного ряда? Приведите примеры.

4. Можно ли утверждать, что область сходимости степенного ряда совпадает с интервалом сходимости?

5. Сформулируйте теорему Абеля. Что называется радиусом сходимости степенного ряда?

6. Как проводится дифференцирование и интегрирование степенных рядов?

Задания для самостоятельной работы

1. Свойства сходящихся степенных рядов.

[1], с. 483-499; [2], №№ 9.14(1-3), 9.15(1-7), 9.17(1-14).

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.- с. 483-499

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.186-188.

Практическое занятие 17. Дифференциальные уравнения

Вопросы для обсуждения

1. Основные понятия и определения.

2. Понятие общего и частного решений, геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения.

3. Теорема существования и единственности частного решения.

4. Понятие особого решения.

5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Практические задания

[2], с. 194-198; №№ 10.1(1-6), 10.2(2, 3, 5, 7), 10.3(107), 10.4(1, 3, 4, 6), 10.5, 10.6.

Лекция № 8 Контрольные вопросы

1. Какие уравнения называются дифференциальными?

2. Дайте определение и геометрическую интерпретацию общего и частного решений дифференциального уравнения.

3. Какое решение дифференциального уравнения называется особым?

4. Сформулируйте задачу Коши, теорему Коши о существовании и единственности частного решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

5. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Задания для самостоятельной работы

[1], с. 388-394; [2], №№ 10.7(2-5), 10.8(1-5), 10.9(1-6), 10.10, 10.11.

Рекомендуемая литература

1. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. - с. 388-394.

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.194-201.

Практическое занятие 7. Дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка

Вопросы для обсуждения

1. Однородные диффе­ренциальные уравнения.

2. Линейные диффе­ренциальные уравнения.

3. Уравнения Бернулли.

4.Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

5. Приложение диффе­ренциальных уравнений 1-го порядка в экономике.

Практические задания

[2], с. 200-203, 210; №№ 10.12(1-5, 7-12), 10.13(4-6), 10.16(2-8), 10.17(1-7), 10.18(1-3, 5-9), 10.21-10.23, 10.34(1-3), 10.35(1-2, 9-11, 15-18).

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется однородной функцией k-го порядка; 0-го порядка?

2. Дайте определение однородного диффе­ренциального уравнения.

3. К какому виду можно преобразовать однородные диффе­ренциальные уравнения?

4. Какая подстановка позволяет преобразовать однородное диффе­ренциальное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными?

5. Какие уравнения называются линейными диффе­ренциальными уравнениями; уравнениями Бернулли?

6. Каким методом решаются линейные диффе­ренциальные уравнения и

уравнения Бернулли?

7. Какие диффе­ренциальные уравнения 2-го порядка допускают понижение порядка?

8. Приведите примеры приложений диффе­ренциальных уравнений в экономике.

Задания для самостоятельной работы

[1], с. 393-402; [2], №№ 10.14(1-6, 8-11), 10.15(1-7), 10.24(2-10), 10.25(2-6), 10.26(1-5), 10.27(1-5), 10.29, 10.36(1-3), 10.37(1, 3-4, 11-14, 21-24).

Рекомендуемая литература

1. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. - с. 393-402.

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р. А. Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.- Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – с.201-212.