"Координатный метод решения задач" план-конспект урока

3

КРАТКИЙ ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Предмет: математика Дата проведения: ___________

Тема занятия: Векторный и координатный методы решения задач

Цели занятия: отработка отдельных компонентов векторного и координатного методов и получение алгоритма применения методов в целом; формирование умений выполнять обобщение и конкретизацию, развитие качеств мышления; гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность с учётом индивидуальных особенностей; воспитание чувства взаимопомощи, умения вести диалог.

Тип занятия: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков.

Форма занятия: комбинированная

Организация работы на уроке: работа в группах.

Оборудование: таблицы, доска, набор геометрических тел, презентация.

Над доской высказывание: «Сущность геометрии в её методе, где строгость вывода соединяется с наглядными представлениями» Автор: А.Д. Александров

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент __________

Цель: нацелить студентов на урок; сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

Приветствие студентов; отметить отсутствующих. Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока

1. Актуализация опорных знаний __________

Цель: проверка овладения понятийным аппаратом, основными действиями).

1) Математический диктант

а)Координаты .

б)А(-3; 0; 0). Укажите, где расположена эта точка.

в) Запишите координаты вектора .

г). Укажите взаимное расположение и .

д) ={-1; 0; 1}. Разложите по базисам .

е)Сформулируйте определение скалярного произведения векторов и.

ж)М(х; у; z). Разложите вектор по базису .

з)Где находится точка К(5; 0; -3)?

и)Границы угла между векторами.

к)Координаты середины отрезка по координатам его концов.

2) Заполнение пропусков в таблице с теоретическими сведениями

(каждая группа заполняет свою часть таблицы и готовит вопросы для других групп).

1) а)+ = ,

= - ,

+ =;

↓↓.

б) и- коллинеарные, значит =

↓↑.

2.)а) если и- неколлинеарные, то , если ;

б) если и, - некомпланарные, то .

3)а) · =

;

б) если , то ;

если · 0, то ;

если угол ( ,) – тупой, то ; = = .

Подведение итогов.

Какие строчки заполнялись без затруднений?

Какой вопрос самый интересный?

Кто задал самый интересный вопрос?

1. Проверка домашнего задания _________

Цель: проверить качество выполнения домашнего задания, устранить ошибки.

(Домашнее задание содержит разные задачи, но общее у них – применение векторов и координат к их решению).

Для первой группы:

№7.064. Определите вид четырёхугольника АВСD, если А(-1; 2; -3), В(-5; 2; 1), С(-9; 6; 1), D(-9; 10; -3).

Для второй группы:

№7.070. Даны точки А(3; 1; 5) и В(-2; 2; 4). Найдите на оси аппликат все такие точки С, что треугольник АВС – равнобедренный.

Для третьей группы:

№7.071. Найдите четвёртую вершину правильного тетраэдра РАВС, если А(0; 0; 4), В(0; 4; 0), С(4; 0; 0).

4.Подготовительный этап _____________

Цель: проверка сформированности действий перевода информации с геометрического языка на векторный и обратно.

1.Нужно ли выбирать систему координат при решении задач векторным методом?

Что позволяет сделать при решении задачи удачный выбор системы координат?

Как выбирается система координат? Можно ли дать рекомендации по её выбору?

Нужно ли выбирать систему координат, если задача звучит так:

а) Найдите угол между векторами ={1; 2} и ={-3; 1}.

б) Четыре точки заданы своими координатами А(3; 1), В(1; 4), С(1; 0) и D(4; 5).

Найдите угол между прямыми АВ и СD.

(Каждая группа отвечает на вопросы по переводу информации на векторный и геометрический язык).

Дополнительные задания (на распечатках)

1. Какую фигуру задаёт система?

2.Дано: ABCD – трапеция с основаниями АС и ВD, АС ВD. Запишите это утверждение в векторной форме.

Каждой группе предлагается задача.

Не решая задачу, покажите, какая система координат наиболее целесообразна для поиска решения данной задачи. Для этого целесообразно использовать модели, можно выполнить чертежи на альбомных листках и сделать выставку. Решите задачу двумя методами.

Для 1-й группы: (6.066)

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, используя векторы.

Для 2-й группы: (6.067)

В тетраэдре РАВС рёбра АР и ВС, а также АВ и СР взаимно перпендикулярны. Докажите перпендикулярность рёбер АС и ВР, используя векторы.

Для 3 –й группы: (6.084)

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды РАВСD имеют длину, равную 1. Найдите угол между векторами , где точки М и К – середины рёбер соответственно ВС и СР.

(Представитель каждой группы объясняет выбор системы координат).

Как вы думаете, какова цель этого этапа?

После выступления групп составляется алгоритм действия по применению векторного и координатного методов решения задач ( затем раздать алгоритм в распечатках учащимся).

Основные компоненты векторного метода решения задач

1. Перевод условия задачи на язык векторов:

- выбор системы координат (если это необходимо);

-выбор базисных векторов;

-разложение всех введенных векторов по базисным.

2.Составление векторного равенства (или системы равенств).

3.Упрощение векторных равенств или замена их алгебраическими уравнениями (или системой уравнений) и их решение.

4.Объяснение геометрического смысла полученного результата.

Основные компоненты координатного метода решения задач

1.Выбрать систему координат.

2.Найти координаты нужных точек, векторов или составить уравнения

нужных фигур.

3.Сформулировать задачу с помощью координат, решить её и сделать

вывод без использования координат.

Если кто – то желает внести дополнения и изменения, можно

вычёркивать и вписывать то, что посчитаете нужным.

5.Практические приложения векторного метода

Цель: отработать практические умения и навыки применения координатного метода решения задач.

Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости векторным методом. (Запись на доске)

Дано:

ар, аq; р пересекает q в точке О; р и q лежат в плоскости α.

Доказать:

а α(то есть доказать, что аm, где m – произвольная прямая плоскости α).

Доказательство:

1. Перевод условия и заключения теоремы на векторный язык.

- направляющие векторы прямых.

Дано:

принадлежат α; принадлежит α.

Доказать:

.

Доказательство:

1) ↔=0.

2) ↔=0.

3) ↔→ аm→ а α, что и требовалось доказать.

6. Домашнее задание __________

Цель: разъяснить содержание домашнего задания.

1.Найти и решить задачи (2-3), где прослеживается применение векторного и координатного аппарата в физике, технике, химии, лингвистике.

2.Задача № 6.083

7. Рефлексивно – оценочный этап ____________

Цель: обобщить теоретические сведения, полученные на уроке; актуализировать опорные знания студентов; выставить отметки

1) оценка за урок у каждого ученика на листе с диктантом;

2) собственная оценка за работу на уроке.

1.Кто себе поставил «5»?

2.Какой момент наиболее интересен был на уроке?

Где пришлось более всего концентрироваться, вдумываться?