Координаты и вектора в трехмерном пространстве

Векторы в трехмерном пространстве

Выполнил: Сафонов Александр,

ГАУ КО ПОО КСТ

Введение

• В этой презентации мы рассмотрим одну из тем математики - координаты и вектора в трехмерном пространстве. Узнаем, что такое трехмерная координатная система и как она помогает нам описывать точки в пространстве. Также мы изучим понятие трехмерных векторов и их свойства.

№ 1 - Определение трехмерной координатной системы.

• Трехмерная координатная система - это система, которая позволяет описать положение точки в трехмерном пространстве. Она состоит из трех перпендикулярных осей, горизонтальной (ось X), вертикальной (ось Y) и оси, направленной вверх (ось Z). Место, где эти оси пересекаются, называется началом координат или точкой О.

z

x

ордината

аппликата

абсцисса

№ 2 - Координаты точек в трехмерной координатной системе.

y

• Каждая точка в трехмерной координатной системе имеет свои координаты, которые обозначают ее положение относительно начала координат. Горизонтальное расстояние от начала координат до точки называется абсцисс (x), вертикальное расстояние - ординатой (y), а расстояние вдоль оси Z - аппликатом (z).

* Пример: Точка A имеет координаты (2, 3, 1). Это значит, что она находится 2 единицы правее, 3 единицы выше и 1 единицу впереди начала координат.

№ 3 - Понятие трехмерных векторов.

• Геометрический трехмерный вектор характеризуется  двумя   упорядоченными трехмерными  точками   - начало вектора и конец вектора. Каждая точка характеризуется тремя числами (x, y, z).

• Вектор  в математике - концепция, обладающая направлением и величиной (амплитудой, длиной), но не обладающая никаким конкретным положением в пространстве.

№ 4 - Типы трехмерных векторов. Длина и направление векторов.

• Длина трехмерного вектора - это расстояние от точки начала вектора до точки конца вектора. Его обозначают через |V|.

• Нулевой вектор - это вектор, у которого длина равна нулю. Он не имеет направления и обозначается нулем.

• Направление трехмерного вектора - это углы между вектором и положительными направлениями осей X, Y и Z.

• Направленный вектор - это вектор, у которого длина больше нуля. Он имеет определенное направление.

а

b

№ 5 - Сложение векторов.

• Сложение трехмерных векторов - это операция, при которой два вектора объединяются, чтобы получить итоговый вектор.

• Пример: Пусть вектор : "A" имеет координаты (2, 1, 3), а вектор "B" - (3, -2, 1). Сложение этих векторов дает вектор "C" с координатами (5, -1, 4).

c = а + b

№ 6 - Умножение вектора на число.

• Умножение трехмерного вектора на число - это операция, при которой все координаты вектора умножаются на это число.

• Пример: Пусть вектор D имеет координаты (4, -3, 2). Если умножить его на 2, получится вектор E с координатами (8, -6, 4).

№ 7 - Скалярное произведение векторов.

• Скалярное произведение трехмерных векторов - это операция, результат которой является числом. Она определяется по формуле: A•B = |A|•|B|• cos α , где  α  - угол между векторами.

• Пример: Пусть вектор F имеет координаты (2, 3, 1), а вектор G - (4, -1, 2). Скалярное произведение F и G равно 24 + 3(-1) + 1