Красота в математике. Ерофеева Анастасия

Красота в математике

Выполнила ученица 11 класса МБОУ СШ №75 города Ульяновска Ерофеева Анастасия

Учитель: Малкова Елена Михайловна

Цели работы

• Рассмотреть математическую науку с эстетической точки зрения.
• Доказать, что в математике так же много прекрасного, как и в искусстве.
• Изучить различные проявления красоты в математике.

«Математика, при правильном на нее взгляде, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и суровой, подобно скульптуре, не обращенной ни к какой стороне нашей слабой натуры, лишенной украшений живописи и музыки, и тем не менее утонченно чистой и способной к строгому совершенству, свойственному лишь величайшему искусству. Истинный дух восторга, блаженства, чувства что ты больше, чем Человек, каковое есть критерий высшего совершенства, присутствует в математике так же несомненно, как и в поэзии».

Бертран Рассел.

О чем речь?

• Красота математики — восприятие математики, как объекта эстетического наслаждения , схожего с музыкой и поэзией.

Красота метода

Математики часто называют элегантным метод доказательства, обладающий одним или несколькими из следующих свойств:

• Возможность обобщения для решения схожих проблем
• Минимум исходных постулатов или предыдущих результатов.
• Предельная лаконичность.
• Использование новых, оригинальных идей.
• Необычность построения (например, с помощью теорем из другой области математики).

Красота решения

• Красота решения обычно связана с получением результативных и – одновременно (!) - незатратных решений.

М.В. Волькенштейном была предложена формула, согласно которой эстетическая ценность решения научной задачи определяется отношением её сложности к минимальной исследовательской программе, то есть к наиболее универсальной закономерности, позволяющей нам преодолеть сложность первоначальных условий.

Красота в науке возникает при сочетании трёх условий:

• объективной правильности решения (качества, самого по себе не обладающего эстетической ценностью)
• его неожиданности для специалистов
• экономичности

Волькенштейн М.В., Красота науки,  журнал «Наука и жизнь», 1988 г., N 9, с. 15-19.

Фракталы

Фракталы являются одним из самых удивительных и впечатляющих явлений в математике.

Фракта́л  — математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

История

• Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского «fractus» и в переводе означает состоящий из фрагментов .
• Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.
• Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature' .

О применении фракталов

   Прежде всего фракталы - область удивительного математического искусства, позволяющего с помощью простейших формул и алгоритмов получать картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы.    

• Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Красота – в симметрии

Еще одним важнейшим понятием математической науки, которое наряду с понятием "гармонии" имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является " симметрия ".

Понятие симметрии

СИММЕТРИЯ  – свойство, отражающее структурную особенность объекта, остающегося неизменным при изменении порядка расположения в пространстве и/или времени равных между собой частей этого объекта.

Симметрия в математике

   Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях учёных прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала. Древние греки считали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии.

Античные гипотезы

    Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок.  

      Так, Пифагор (5 век до н.э.), считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. При этом он полагал, что Земля движется по сфере некоего «центрального огня». Вокруг того же «огня», согласно Пифагору, должны были обращаться известные в те времена шесть планет, а также Луна, Солнце, звезды.

Симметрия в русском языке

• В русском языке присутствуют не только симметричные буквы и слова, есть и целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): «Искать такси», «Леша на палке клапана шел», «А роза упала на лапу Азора».  Такие слова называются палиндромами .

Симметрия в архитектуре

   Архитектура - удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника и искусство.  Только соразмерное, гармоничное  единство этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры, неподвластным времени, подобно памятникам литературы, ваяния, музыки.

Композиция

Наиболее ясны и уравновешены здания с симметричной композицией.

Например, собор Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Это композиция из десяти различных храмов, каждый храм геометрически симметричен. Однако собор как целое не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией. Архитектурные формы собора как бы накладываются друг на друга, пересекаются, поднимаются, и завершаются центральным шатром. И все это настолько гармонично, что вызывает ощущение праздника.

Неотъемлемая часть

• Классицизм – то направление в архитектуре, в котором симметрия играет одну из важнейших ролей. Все здания, построенные в данном стиле имеют четкие прямолинейные формы и симметричные композиции. На фоне гладких стен выступают портики и колоннады, которые придают сооружениям торжественную монументальность и парадность. Декоративное убранство из барельефов и статуй оживляют облик зданий.

Симметрия в живописи

• Явление симметрии нашло свое отражение и в живописи. Взаимное расположение фигур, сочетание поз и жестов, выражения лиц, чередование цвета, комбинация тонов – все это тщательно обдумывается художником, заботящемся об определенном эмоциональном воздействии картины на зрителя. Используя асимметричные элементы, художник должен создать нечто, обладающее в целом скрытой симметрией. О своей работе над картинами
• В.И. Суриков писал так: «А какое время надо, чтобы картина утряслась так, чтобы переменить ничего нельзя было. Действительные размеры каждого предмета найти нужно. Важно найти замок, чтобы все части соединить. Это - математика».

Новое в известном

Для анализа симметрии изображения можно обратиться к хранящейся в Эрмитаже картине гениального итальянского художника и ученого Леонардо да Винчи «Мадонна Литта».

•         Можно обратить внимание: фигуры мадонны и ребенка вписываются в правильный треугольник, который вследствие своей симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности, усиливаемое за счет гармоничного сочетания голубого цвета с желтоватыми и красноватыми тонами.

  Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается

Заключение

Таким образом, можно прийти к выводу о том, что известные математические явления являются неотъемлемой частью различных направлений искусства. Кроме того, сама математика, если рассмотреть ее под определенным углом, является искусством.