Курсовая работа по теме "Реализация принципа преемственности как условие достижения предметных результатов изучения алгебраического материала а начальной школе

64

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ

(БФ ФГБОУ ВО «ВГУ»)

Психолого-педагогический факультет

Кафедра теории и методики начального образования

Реализация принципа преемственности как условие достижения
предметных результатов изучения алгебраического материала
в начальной школе

Выпускная квалификационная работа

44.03.01 Педагогическое образование (уровень бакалавриата)

Начальное образование

Допущено к защите в ГЭК __.__.2017

Зав. кафедрой канд. пед. наук, доцент И. И. Пятибратова

Обучающийся Г. В. Баранцева

Руководитель канд. пед. наук, доцент И. И. Пятибратова

Борисоглебск 2017

Содержание

Введение 3

Глава 1. Теоретические основы реализации преемственности в процессе изучения математики 6

1.1. Характеристика понятия «преемственность». Виды преемственности в обучении 6

1.2. Педагогические условия реализации преемственности в математическом образовании 12

1.3. Анализ содержания и предметные результаты освоения начального курса математики 19

Выводы по 1 главе 37

Глава 2. Реализация преемственности в изучении алгебраического и арифметического материала в начальной школе 39

2.1. Методика изучения арифметического и алгебраического материала в начальной школе 39

2.2. Содержательная преемственность в изучении арифметического и алгебраического материала в начальной школе 53

2.3. Методическое обеспечение процесса изучения алгебраического материала во 2 классе на основе реализации принципа преемственности 59

Выводы по 2 главе 61

Заключение 63

Список использованных источников информации 67

Приложения 71

Введение

Образование является основным фактором развития человека и общества. Оно характеризуется сохранением важного прежнего и зарождением нового содержания. В настоящее время значение образования претерпевает изменения. Сегодня оно должно способствовать формированию ценностных ориентаций подрастающего поколения, а не просто дать набор знаний, умений и навыков, как это было прежде. Современные тенденции обновления образования характеризуются необходимостью непрерывности образования, построения диалоговых отношений в образовательном процессе. Возникает проблема построения единого образовательного пространства. Проблема преемственности отдельных ступеней системы образования не нова, но при этом она сохраняет свою актуальность и при современном совершенствовании образования. Более того, в связи с ростом вариативности форм и методов обучения, с появлением различных моделей обучения, наблюдается ослабление преемственности обучения на различных ступенях общего образования.

В широком смысле слова преемственность означает всеобщую связь в развитии природы, общества и человеческого мышления. Без преемственности невозможно продвижение вперед во всех областях человеческой деятельности, т.к. последующая стадия в развитии зависит от предшествующей, которую она отрицает и вместе с тем сохраняет [22].

В обучении проблема преемственности затрагивает все звенья существующей образовательной системы: дошкольное образовательное учреждение – начальная школа – основная школа – средняя школа – высшее учебное заведение. Наиболее остро она стоит в двух ключевых точках: в момент поступления детей в школу и при переходе учащихся из начальной школы в основную [22].

В образовательных стандартах второго поколения говорится о необходимости создания прочного фундамента для последующего обучения, что возможно осуществить лишь при наличии преемственности между различными ступенями образовательной системы. Не учитывая ее, нельзя придать обучению перспективный характер, при котором отдельные темы рассматриваются не изолированно друг от друга, а в той взаимосвязи, которая позволяет изучение каждой текущей темы строить не только с опорой на предыдущую, но и с ориентировкой на последующие темы. Главная цель образования заключается не в том, чтобы просто обеспечить ученика определенным набором знаний, а в том, чтобы он умел применять эти знания для решения практических задач. Существенное влияние на развитие практических способностей человека, а также на формирование логико-языковой культуры и духовно-нравственное становление личности оказывает изучение математики, занимающей одно из центральных мест в отечественной системе образования. Весьма актуальным является вопрос преемственности в обучении математике на всех этапах образования. Но особую остроту вызывает осуществление преемственности между начальным и средним звеньями обучения, и, в частности, пропедевтическим и систематическим курсами изучения элементов алгебры.

Проблемы реализации преемственности в математическом образовании в той или иной мере были рассмотрены в работах А.В. Батаршева, С.К. Востриковой, Н.Б. Истоминой, А. В. Белошистой, М.М. Куракиной и др.

Объект исследования: процесс обучения математике в начальной школе.

Предмет исследования: преемственность в изучении алгебраического и арифметического материала в начальной школе.

Цель исследования: определить вид и педагогические условия реализации преемственности в изучении арифметического и алгебраического материала в начальном курсе математики и разработать методическое обеспечение процесса изучения алгебраического материала во 2 классе на основе реализации принципа преемственности.

Для реализации обозначенной цели определены задачи исследования:

1. Охарактеризовать понятие «преемственность» и виды преемственности в обучении.

2. Определить педагогические условия реализации преемственности в математическом образовании.

3. Проанализировать содержание начального курса математики.

4. Раскрыть методику изучения арифметического и алгебраического материала в начальной школе.

5. Охарактеризовать преемственность в изучении арифметического и алгебраического материала в начальной школе.

6. Разработать методическое обеспечение изучения алгебраического материала во 2 классе на основе реализации принципа преемственности.

Методы исследования: теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы, наблюдение, практическая работа: проектирование технологических карт уроков и апробирование в образовательном процессе начального общего образования.

База исследования: МКОУ Шубинская СОШ Острогожского района Воронежской области, 2 класс (ОС «Школа России»).

Практическая значимость исследования заключается в том, что в нем систематизированы теоретические материалы, раскрывающие суть дидактического принципа преемственности, а также разработана система технологических карт уроков математики по введению алгебраических понятий, построенных на основе системно-деятельностного подхода и содержательной преемственности в изучении арифметического и алгебраического материала. Материалы работы могут быть использованы учителями начальных классов для методического обеспечения процесса изучения алгебраического материала во 2 классе (ОС «Школа России»).

Глава 1. Теоретические основы реализации преемственности в процессе изучения математики 1.1. Характеристика понятия «преемственность».
Виды преемственности в обучении

По мнению М.И. Волошкиной, общенаучная категория «преемственность» имеет объективный и всеобщий характер, проявляясь в природе, обществе и познании. Современное состояние преемственности в обучении характеризуется разносторонностью охвата многих вопросов и неоднозначностью толкования отдельных понятий в данной области. М.И. Волошкина утверждает, что существует два подхода к рассмотрению этой проблемы: в конкретном применении к сложнейшим педагогическим явлениям преемственность выступает как инструмент, позволяющий проникнуть в суть методических проблем, исследовать и управлять процессом обучения и воспитания, и в то же время сама является предметом целенаправленных и разнообразных исследований [3].

Преемственность – объективная необходимая связь между новым и старым в процессе развития, одна из наиболее существенных черт закона отрицания. В отличие от метафизики, материалистическая диалектика переносит центр тяжести на изучение процессов поступательного развития в природе, обществе и мышлении. Уже генезис форм движения материи показывает, что каждая более высокая форма движения, будучи преемственно связана с низшими, не отменяет их, а включает и подчиняет себе, поднимая развитие на качественно новую ступень. Диалектически понятое отрицание предполагает не только ликвидацию старого, но сохранение и дальнейшее развитие того прогрессивного, рационального, что было достигнуто на предыдущих ступенях, без чего невозможно движение вперед ни в бытии, ни в познании. Правильное понимание процессов преемственности имеет особое значение для анализа закономерностей общественного развития, прогресса науки, искусства, для борьбы как с некритическим отношением к достижениям прошлого, так и с нигилистическим отрицанием культурного наследия [1].

По словам А.В. Батаршева, под преемственностью понимается последовательный переход от одной ступени образования к другой, выражающийся в сохранении и постепенном изменении содержания, форм, методов, технологий обучения и воспитания [1].

Школа и детский сад – два смежных звена в системе образования. Сформировавшиеся в детском саду многочисленные привычки, навыки, знания составляют необходимый фундамент, на основе которого строится все дальнейшее обучение и воспитание в школе. Они помогают ребенку включиться в новые условия.

Преемственность в общем смысле означает обеспечение направленности воспитания и обучения на решение задач не только данного, но и ближайшего периода жизни ребенка.

Преемственность ученые рассматривают с позиции детского сада и с позиции школы.

Преемственность с позиции школы – это опора на те знания, умения и навыки, которые имеются у ребенка, при изменении осмысления пройденного на более высоком уровне. Построение работы в школе должно идти с учетом дошкольного понятийного и операционного уровня развития ребенка.

Преемственность с точки зрения детского сада – это ориентация на требования школы, формирование тех знаний, умений и навыков, которые необходимы для дальнейшего обучения в школе.

Сущность преемственности состоит в обеспечении постепенного развития и углубления знаний, в усложнении требований к умственной деятельности, в формировании личного и общественного поведения будущего школьника.

Рассматривая процесс усвоения знаний, О.М. Демиденко считает, что усвоение должно проходить на основе постепенности, последовательности и преемственности. С данной точки зрения, процесс усвоения знаний представляется как процесс установления связи между вновь приобретенными и старыми знаниями, между которыми имеются внутренние связи, совершенно независимо от того, на каком предмете и когда они были приобретены [7].

Вслед за Б.Г. Ананьевым, Е.А. Комарова отмечает, что в педагогической науке проблема преемственности возникает при составлении и пересмотре программ для смежных ступеней обучения и при разрешении основных проблем содержания обучения. Преемственность в содержании реализуется при составлении учебных программ и методических руководств учителю. При этом указывается на важность обеспечения взаимосвязи знаний в содержании и методах обучения, а также на взаимосвязь учебной работы учителей на смежных годах обучения. При решении первой задачи необходимо обеспечить преподаванием систему знаний, умений и навыков учащихся по предмету, проследить формирование системы знаний по годам обучения, учесть многообразие сочетания методов преподавания и руководства самостоятельной работой учащихся при установлении связи нового материала с уже усвоенной учащимися системой знаний [14].

По нашему мнению, следует придавать большое значение опоре нового материала на имеющиеся знания, на систему сложившихся связей. Когда при прохождении нового материала привлекаются имеющиеся знания, то они оживляются, становятся более мобильными и более совершенными, а новый материал, включаясь в уже сформировавшуюся систему знаний, лучше усваивается. Знания видоизменяются, совершенствуются, когда применяются в новых условиях.

По мнению Р.Б. Полякова, двухсторонний характер процесса обучения приводит к необходимости подойти к вопросу о преемственности также с позиции учащегося, с точки зрения развития знаний, умений, навыков в его сознании, установления их системы и внутренней взаимосвязи [26].

Н.Б. Истомина утверждает, что: «Преемственность обучения есть не только одно из важнейших условий этого развития, она, вместе с тем, включает преемственность в учении, то есть внутреннюю взаимосвязь в сознании учащихся усваиваемых знаний, их систематизацию и применение в разнообразных условиях обучения и жизни» [11].

В.О. Кулибенко также отмечает как важную сторону проблемы преемственности вопрос о внутренней взаимосвязи в сознании учащихся усваиваемых знаний, умений и навыков, об осмысливании пройденного на новом, более высоком уровне, вопрос о результативности работы учителя с точки зрения качества усвоения учащимися преподносимого им учебного материала, о развитии целостной личности учащегося [15].

Следовательно, правильное установление преемственности в обучении и воспитании обеспечивает и предполагает также учет качественных изменений в личности ребенка, в росте его умственных и физических способностей, в его жизненном опыте и поведении.

Таким образом, в педагогике преемственность рассматривается как общедидактический принцип и как проявление принципа систематичности и последовательности. При этом отмечается двусторонний характер преемственности новых знаний и старого опыта, который проявляется в опоре нового материала на старые знания, на систему сложившихся связей, в развитии старых знаний под влиянием новых, в осмыслении пройденного на новом, более высоком уровне.

Методические аспекты проблемы преемственности, по мнению О.И. Мамедова, формируются в результате установления взаимосвязи системы преемственности с компонентами методической системы (методики). Преемственность рассматривается как «связь между явлениями в процессе развития, когда новое, снимая старое, сохраняет в себе некоторые его элементы» [19].

Таким образом, взаимосвязь системы преемственности с методической системой позволяет выделить наиболее широкий спектр преемственных связей как внутри каждого компонента, так и между компонентами системы. Вместе с тем, такой подход не исключает рассмотрение преемственности в становлении личности ученика, ибо процессуальная и содержательная стороны обучения строятся с учетом логики учебно-познавательной деятельности, возрастных и психолого-физиологических особенностей школьников.

По мнению Г.А. Пентеговой, линейно-концентрическое построение школьного курса математики позволяет выделить два направления реализации преемственности в обучении предмету [24]:

1) преемственность между смежными ступенями обучения;

2) преемственность внутри каждой ступени обучения:

Н.Б. Истомина, рассматривая проблемы преемственности, выделяет подходы к ее осуществлению между пропедевтическими и систематическими курсами или компоненты пропедевтики математического образования, тесно связанной с преемственностью в изучении основ наук с 1 по 11 класс, к которым можно отнести [11]:

- наличие единой концепции в смежных курсах, то есть должно иметь место относительное единообразие в трактовке понятий, в терминологии, в используемом языке, а также в методических подходах к изучению материала;

- развитие методов мышления, имеющих особое значение в математике (индукция и дедукция, анализ и синтез, обобщение и абстрагирование), постепенное повышение уровня абстракции при развитии понятий на последующих этапах обучения и постепенное повышение уровня дедуктивных рассуждений;

- организацию работы по повторению, обеспечивающей закрепление и развитие умений и навыков, необходимых для успешного усвоения последующего материала.

Выявленные компоненты преемственности, обозначенные зако­номерности усвоения знаний, позволяют по-новому оценить значимость преемственности в обучении математике внутри каждого курса, между пропедевтическими и систематическими курсами.

В педагогике выделяют виды и критерии, характеризующие наличие преемственности в обучении математике. Виды преемственности были обоснованы с учетом уже имеющихся психолого-педагогических и методических позиций, согласно которым преемственность образовательного процесса может осуществляться в различных видах: целевая, содержательная, психологическая, административная, технологическая, на уровне создания новых методик, технологий и средств обучения, на уровне взаимодействия, применяемых на разных ступенях образовательной лестницы средств, форм, методов обучения.

Е.Н. Сафронов в понятии «преемственность» выделяет производные понятия: вертикальный и горизонтальный аспекты преемственности. Они характеризуют нормы, регулирующие взаимодействие преподавания и учения, предопределяют структуру содержания, методов, форм организации обучения [32].

На основании этого представилось возможным дифференцировать следующие виды преемственности:

- по вертикали – обеспечение «сквозных» линий в содержании, повторении, пропедевтики, разработки единых курсов изучения отдельных программ; создание на каждом этапе базы для последующего изучения учебного материала на более высоком уровне за счет расширения и углубления тематики, путем обеспечения «сквозных» линий;

- по горизонтали – создание условий для влияния на формирование у учащихся учебной мотивации, развития учебных действий, на качество их математической подготовки.

Мендыгалиевой А. К. на основании результатов анализа работ по методике обучения математике разработаны критерии, характеризующие наличие преемственности в обучении математики.

- опора на уровень освоения математики, достигнутый на начальной ступени обучения;

- перспективность, нацеленность учебных заданий в начальной школе на подготовку к обучению в 5 классе;

- генетическая связь между этапами формирования учебной деятельности;

- коммуникативность, воздействие школьников друг на друга в учебном процессе;

- мотивация изучения математики;

- качество математической подготовки;

- сформированность учебных действий [23].

Именно такая стратегия, учитывающая многолетний позитивный опыт отечественной школы в области педагогики, реализована в новом Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования.

1.2. Педагогические условия реализации преемственности
в математическом образовании

Центральным фактором развития человека и общества является образование, которое характеризуется сохранением целесообразного прежнего и зарождением нового содержания. Социокультурные изменения, происходящие в мире, акцентируют внимание на проблеме построения единого образовательного пространства вообще и математического образования в частности. В этом аспекте российская система обучения соответствует международным стандартам TIMSS (Оценка качества математического и естественнонаучного образования в начальной, основной и средней школе в 4, 8 и 11 классах). Однако остается актуальной оптимизация условий успешного обучения математике в начальной и основной школе не только в плане предметного содержания, но и в аспекте организации учебной деятельности школьников.

Понимание преемственности как философской категории представлено, начиная с древнегреческой философии и до наших дней. В середине прошлого века рассматривались самые различные аспекты проблемы преемственности: закон отрицания отрицания (И.Д. Андреев, Г.М. Елфимов, И.К. Исаев, Б.М. Кедров, А.П. Шептулин и др.), проблемы социальной диалектики (Э.А. Баллер, А.С. Бушмин, В.В. Гринин, З.А. Мукашев, Ю.А. Харин и др.), динамика социальных систем и анализ традиций (В.Ф. Асмус, Э.С. Маркарян, А.И. Першиц, В.В. Соколов и др.), методологическая роль преемственности в научном познании (А.Н. Антонов, В.А. Лекторский, Е.А. Мамчур, М.Г. Ярошевский и др.).

Философами преемственность трактуется как включение в новое тех элементов содержания прошедшего, которые не утратили своей жизненности в новых условиях и в состоянии способствовать развитию, отдельных форм старого, которые в состоянии уместить в себе иное содержание и обеспечить его развитие.

Исторической формой преемственности является традиция, существованием которой обусловлена устойчивость и стабильность настоящего. Традиция включает в себя то, что должно быть передано и то, что может быть передано. В контексте традиции преемственность выступает как процесс сохранения и передачи педагогического знания и опыта, характерного для определенного исторического периода (А.И. Зеленков).

Философская трактовка преемственности является методологической основой организации системы непрерывного образования, что позволяет определить ее как процесс, обеспечивающий развитие субъекта образования посредством изменения пропорций и содержания формируемого, развиваемого и отрицаемого компонентов непрерывного образования при переходе от одного уровня непрерывного образования к другому.

Педагогический процесс начальной и основной школы развивается диалектически. Для педагогической науки это означает целостность педагогической системы на уровне целей, задач, планируемых результатов, содержания и педагогических технологий. Достигнутые существенные результаты одного уровня развиваются на качественно новых уровнях, что обеспечивает непрерывность образования.

Процесс преемственности в психическом развитии представляет собой сложное взаимодействие внешних, побуждающих причин, мотивов и оснований, и внутренних условий, жизненных сил человека. Сохранение ранних образований поддерживает преемственность развития. Новые структуры личности не только надстраиваются над предыдущими, но в значительной мере вытесняют их (А.К.Маркова). Это значит, что каждый более поздний уровень не только вбирает и объединяет одни структуры, но отбирает, вытесняет и замедляет другие, предыдущие структуры. Для младшего школьного возраста ведущей деятельностью является учеба.

Требования учебной деятельности ведут учеников к формированию произвольности как характеристики всех их психических процессов. Рассматривая процесс перехода детей из начальной школы в основную, психологи отмечают следующие особенности подросткового возраста, оказывающие влияние на процесс обучения: ведущая деятельность – общение со сверстниками, освоение новых норм поведения и отношений с людьми; формирование самооценки, характера; развитие логического мышления, способности к теоретическим рассуждениям и самоанализу, к оперированию абстрактными понятиями. «... этот возрастной интервал – воистину «ничья земля» в периодизациях психического развития, на которую одинаково безосновательно претендуют специалисты и по младшему школьному, и по подростковому возрасту. Кстати, ни те, ни другие не в состоянии содержательно освоить эту возрастную территорию, ибо она качественно отлична и от 8 – 9 - летнего возраста – сердцевины школьного детства, и от 13 – 15-летнего возраста – сердцевины отрочества» [39].

От учета специфики психологических особенностей учащихся в переходные периоды их жизнедеятельности зависит успешность учебно-воспитательной работы в современной школе. Решающее значение в усвоении школьной программы имеет уровень развития познавательных процессов. Для любого проявления интеллекта необходим опыт, предварительное накопление знаний и умений, без чего невозможно дальнейшее продвижение вперед. Л.С. Выготским было обосновано положение о ведущей роли обучения в развитии психики: обучение должно идти впереди развития. В его учении были раскрыты идеи преемственности, основывающиеся на положении о «зоне ближайшего развития», той области «не созревших, но созревающих процессов» [5], сфере деятельности, которую ребенок может осуществить в сотрудничестве со взрослым, но которая еще ему не доступна в ходе самостоятельной работы. Зона ближайшего развития отражает основной принцип человеческого развития: оно происходит в процессе сотрудничества.

Преемственность в учебно-воспитательной работе с детьми на разных ступенях обучения В.В. Давыдов, А.В. Батаршев, Л.О. Филатова и др. определяют как объективную необходимость, способствующую постепенному и поступательному совершенствованию знаний, умений и навыков.

Таким образом, преемственность необходимо осуществлять с учетом ее дидактических аспектов (приоритетная позиция ученика в образовательном процессе, установление перспектив в содержании образования, опора на ведущий вид деятельности и др.).

Правильное понимание преемственности может принести пользу при организации всего процесса обучения в школе и его отдельных этапов (К.И. Нешков). Необходимость комплексного системного подхода для характеристики преемственности обучения, учитывающего все компоненты методической системы (цели, содержание, методы, средства, формы обучения), подчеркивал А.М. Пышкало. Он сформулировал его принципы: целенаправленности, взаимосвязи, полноты и др.

«Каждый из принципов должен учитываться при любом подходе к изучению интерпретаций и модификаций проблемы преемственности» [30].

Проблема преемственности связывается с проблемой отбора содержания образования. По мнению Г.В. Дорофеева, исходная совокупность знаний должна определяться с учетом современных тенденций развития российского и зарубежного математического образования. Он понимает преемственность как продолжение того, что было сделано ранее. Анализируя ситуацию создания учебников, утверждает, что «учебник для той или иной конкретной ступени школы может быть создан только на основе курса математики предыдущей ступени» [8].

Анализ работ по проблеме преемственности в обучении математике показывает, что, как правило, она трактуется в русле знаниевого подхода. Некоторые аспекты данной проблемы рассматриваются как «связь между этапами работы по развитию личности ученика, достигаемую тем, что в процессе обучения учитывается – не игнорируется, а используется – достигнутый учеником уровень развития, образования, воспитания в целях дальнейшего непрерывного совершенствования» [38]; с позиции перспективности и ретроспективности: взаимодействие перспективных и ретроспективных связей в учебной деятельности школьников (наличие системы в знаниях младшего школьника, ознакомление учащихся начальных классов с идеями учебного материала последующих классов) (Н.Л. Гребенникова); с позиции интеллектуального развития школьников (М.Н. Сизова); совершенствование требований к ЗУНам учащихся в начальном и среднем звене (Л.В. Воронина); формирование тех или иных понятий у учащихся начальной и основной школы (Н.И. Ларина, Л.А. Сафонова, Ш.Д. Камилова, Т.Б. Быкова) и т.д.

Новый взгляд на математическое образование обусловил появление других аспектов исследования преемственности обучения. Рассмотрение проблемы преемственности в русле развивающего обучения отражено в работах Н.Б. Истоминой: «Решение задач преемственности начальных и средних классов нужно искать не столько на пути простого переноса тех или иных тем из старших классов в начальную школу, сколько на пути улучшения качества обучения и его развивающих функций» [13]. Установление преемственных связей в развивающем обучении математике В.М. Туркина (2002) видит в создании «поля преемственных связей» в различных математических умениях (проводить рассуждение, искать доказательства, доказывать утверждения). Обозначены пути обеспечения содержательной преемственности в обучении и развитии учащихся при переходе из начальной школы в основную в работах О.Э. Городниченко («Методика изучения уравнений на основе преемственности между начальной и средней школой»), Г.В. Воителевой (1999) («Методика изучения натуральных чисел и дробей в русле концепции, направленной на развитие мышления учащихся») Е.В. Смыкаловой (2004) («Задачи с развивающими функциями как средство обеспечения преемственности в обучении математике между начальной и основной школой»).

Таким образом, в изученных методических работах рассматривают преемственность в момент перехода школьников от одной ступени обучения к другой, ее отражение в содержании изучения отдельных тем, в формировании приемов умственных действий. Однако для осуществления данного процесса в рамках новой парадигмы математического образования как процесса становления личности человека посредством овладения им основами математических знаний и умений математической деятельности необходим методический подход, в котором находят отражение: логика построения основных содержательно-методических линий курса, учитывающая взаимосвязь и развитие изучаемых школьниками понятий, развитие мышления учащихся и психологические основы формирования учебной деятельности.

Таким образом, анализ педагогической теории и школьной практики позволяет констатировать, что процесс организации учебной деятельности в основной школе должен опираться на опыт детей предыдущей возрастной группы, на приобретенные в начальной школе знания. Последовательное осуществление преемственности придает обучению перспективный характер, при котором отдельные темы рассматриваются не изолированно друг от друга, а в такой взаимосвязи, которая позволяет строить его с широкой ориентировкой на последующее обучение.

В процессе изучения психолого-педагогической литературы нами были выделены педагогические условия реализации преемственности в обучении математике:

1. Системно-деятельностный подход. Системно-деятельностный подход наиболее полно описывает основные условия и механизмы процесса учения, структуру учебной деятельности учащихся, адекватную современным приоритетам российского модернизирующегося образования. Следование этой теории при формировании содержания математического образования предполагает, в частности, анализ видов ведущей деятельности, выделение универсальных учебных действий, порождающих компетенции, знания, умения и навыки.

2. Принципы преемственности в построении учебных заданий. Учебное задание является основным средством организации учебной деятельности, оно обусловливает характер учебных действий школьника. Поэтому содержание, формулировка и система учебных заданий должны отвечать следующим принципам:

- принцип эвристической основы учебных заданий,

- принцип использования моделирования при выполнении заданий,

- принцип вариативности формулировки учебных заданий,

- принцип диалогической направленности в выполнении учебных заданий,

- принцип практической направленности в выполнении учебных заданий.

3. Соблюдение логики построения курса математики, как в содержательном, так и в процессуальном плане, на основе целей образования на начальной и основной ступени обучения.

В целях обеспечения преемственности должны быть согласованы все компоненты методической системы (цели, задачи, содержание, методы, средства и формы организации). Курс обучения математике должен отличаться системностью учебных заданий, их адекватностью концепции математического образования и ФГОС. Он должен быть нацелен на осознание школьниками учебных задач, на овладение способами их решения и на формирование у них предметных, метапредметных, личностных умений.

1.3. Анализ содержания и предметные результаты освоения
начального курса математики

Начальный курс математики является курсом интегрированным. В нем выделяют следующие разделы: «Числа и величины», «Арифметические действия», «Текстовые задачи», «Пространственные отношения. Геометрические фигуры», «Геометрические величины», «Работа с информацией».

Основа арифметического содержания – представления о натуральном числе и нуле, арифметических действиях (сложение, вычитание, умножение и деление). На уроках математики у младших школьников формируются представления о числе как результате счета, о принципах образования, записи и сравнения целых неотрицательных чисел. Учащиеся учатся выполнять устно и письменно арифметические действия с целыми неотрицательными числами, узнают, как связаны между собой компоненты и результаты арифметических действий; учатся находить неизвестный компонент арифметического действия по известному компоненту и результату действия; усваивают связи между сложением и вычитанием, умножением и делением; изучают различные приемы проверки выполненных вычислений [33].

Заметим, что алгебраический материал не выделяется в отдельный раздел. Это связано с тем, что элементы алгебры в начальной школе носят пропедевтический характер.

В примерной основной образовательной программе начального общего образования, составленной в соответствии с ФГОС НОО, представлен перечень предметных результатов, которые должны быть достигнуты при изучении каждого из перечисленных выше разделов. При этом предметные результаты сформулированы в терминах «выпускник научится…», что является группой обязательных требований, и «выпускник получит возможность научиться …», не достижение этих требований выпускником не может служить препятствием для перевода его на следующую ступень образования. Поскольку методически считается, что основная роль элементов алгебры в курсе математики начальных классов состоит в том, чтобы способствовать формированию обобщенных представлений детей о понятии «количество» и смысле арифметических действий, то более подробно рассмотрим планируемые предметные результаты в рамках изучения арифметических действий, а также чисел и величин.

Числа и величины

Выпускник научится:

– читать, записывать, сравнивать, упорядочивать числа от нуля до миллиона;

– устанавливать закономерность – правило, по которому составлена числовая последовательность, и составлять последовательность по заданному или самостоятельно выбранному правилу (увеличение/уменьшение числа на несколько единиц, увеличение/уменьшение числа в несколько раз);

– группировать числа по заданному или самостоятельно установленному признаку;

– читать, записывать и сравнивать величины (массу, время, длину, площадь, скорость), используя основные единицы измерения величин и соотношения между ними (килограмм – грамм; час – минута, минута – секунда; километр – метр, метр – дециметр, дециметр – сантиметр, метр – сантиметр, сантиметр – миллиметр).

Выпускник получит возможность научиться:

– классифицировать числа по одному или нескольким основаниям, объяснять свои действия;

– выбирать единицу для измерения данной величины (длины, массы, площади, времени), объяснять свои действия.

Арифметические действия

Выпускник научится:

– выполнять письменно действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000) с использованием таблиц сложения и умножения чисел, алгоритмов письменных арифметических действий (в том числе деления с остатком);

– выполнять устно сложение, вычитание, умножение и деление однозначных, двузначных и трехзначных чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100 (в том числе с нулем и числом 1);

– выделять неизвестный компонент арифметического действия и находить его значение;

– вычислять значение числового выражения (содержащего 2 – 3 арифметических действия, со скобками и без скобок).

Выпускник получит возможность научиться:

– выполнять действия с величинами;

– использовать свойства арифметических действий для удобства вычислений;

– проводить проверку правильности вычислений (с помощью обратного действия, прикидки и оценки результата действия и др.) [27].

Все действующие образовательные программы, разработанные в соответствии с ФГОС НОО, должны быть направлены на достижение всех групп результатов обучения.

УМК «Школа России» в полной мере реализует требования ФГОС по реализации результатов обучения. Предметные результаты, как и в примерной основной образовательной программе начального общего образования, разделены по содержательным линиям. Перечислим планируемые предметные результаты в рамках изучения арифметических действий, а также чисел и величин по классам.

1 класс.

Числа и величины.

Учащийся научится:

- считать различные объекты (предметы, группы предметов, звуки, движения, слоги, слова и т. п.) и устанавливать порядковый номер того или иного предмета при указанном порядке счета;

- читать, записывать, сравнивать (используя знаки сравнения «», «равенство и неравенство) и упорядочивать числа в пределах 20;

- объяснять, как образуются числа в числовом ряду, знать место числа 0; объяснять, как образуются числа второго десятка из одного десятка и нескольких единиц и что обозначает каждая цифра в их записи;

- выполнять действия нумерационного характера: 15 + 1, 18 − 1, 10 + 6, 12 − 10, 14 − 4;

- распознавать последовательность чисел, составленную по заданному правилу, устанавливать правило, по которому составлена заданная последовательность чисел (увеличение или уменьшение числа на несколько единиц в пределах 20), и продолжать ее;

- выполнять классификацию чисел по заданному или самостоятельно установленному признаку;

- читать и записывать значения величины длины, используя изученные единицы измерения этой величины (сантиметр, дециметр) и соотношение между ними: 1 дм = 10 см.

Учащийся получит возможность научиться:

- вести счет десятками;

- обобщать и распространять свойства натурального ряда чисел на числа, большие 20.

Арифметические действия. Сложение и вычитание.

Учащийся научится:

- понимать смысл арифметических действий сложение и вычитание, отражать это на схемах и в математических записях с использованием знаков действий и знака равенства;

- выполнять сложение и вычитание, используя общий прием прибавления (вычитания) по частям; выполнять сложение с применением переместительного свойства сложения;

- выполнять вычитание с использованием знания состава чисел из двух слагаемых и взаимосвязи между сложением и вычитанием (в пределах 10);

- объяснять прием сложения (вычитания) с переходом через разряд в пределах 20.

Учащийся получит возможность научиться:

- выполнять сложение и вычитание с переходом через десяток в пределах 20;

- называть числа и результат при сложении и вычитании, находить в записи сложения и вычитания значение неизвестного компонента;

- проверять и исправлять выполненные действия.

2 класс.

Числа и величины.

Учащийся научится:

- образовывать, называть, читать, записывать числа от 0 до 100;

- сравнивать числа и записывать результат сравнения;

- упорядочивать заданные числа;

- заменять двузначное число суммой разрядных слагаемых;

- выполнять сложение и вычитание вида 30 + 5, 35 – 5, 35 – 30;

- устанавливать закономерность – правило, по которому составлена числовая последовательность (увеличение/уменьшение числа на несколько единиц); продолжать ее или восстанавливать пропущенные в ней числа;

- группировать числа по заданному или самостоятельно установленному признаку;

- читать и записывать значения величины длины, используя изученные единицы измерения этой величины (сантиметр, дециметр, метр) и соотношения между ними: 1м = 100 см; 1 м = 10 дм; 1 дм = 10 см;

- читать и записывать значение величины время, используя изученные единицы измерения этой величины (час, минута) и соотношение между ними: 1 ч = 60 мин; определять по часам время с точностью до минуты;

- записывать и использовать соотношение между рублем и копейкой: 1 р. = 100 к.

Учащийся получит возможность научиться:

- группировать объекты по разным признакам;

- самостоятельно выбирать единицу для измерения таких величин, как длина, время, в конкретных условиях и объяснять свой выбор.

Арифметические действия.

Учащийся научится:

- воспроизводить по памяти таблицу сложения чисел в пределах 20 и использовать ее при выполнении действий сложения и вычитания;

- выполнять сложение и вычитание в пределах 100: в более легких случаях устно, в более сложных – письменно (столбиком);

- выполнять проверку правильности выполнения сложения и вычитания;

- называть и обозначать действия умножения и деления;

- использовать термины: уравнение, буквенное выражение;

- заменять сумму одинаковых слагаемых произведением и произведение – суммой одинаковых слагаемых;

- умножать 1 и 0 на число; умножать и делить на 10;

- читать и записывать числовые выражения в 2 действия;

- находить значения числовых выражений в 2 действия, содержащих сложение и вычитание (со скобками и без скобок);

- применять переместительное и сочетательное свойства сложения при вычислениях.

Учащийся получит возможность научиться:

- вычислять значение буквенного выражения, содержащего одну букву при заданном ее значении;

- решать простые уравнения подбором неизвестного числа;

- моделировать действия «умножение» и «деление» с использованием предметов, схематических рисунков и схематических чертежей;

- раскрывать конкретный смысл действий «умножение» и «деление»;

- применять переместительное свойство умножения при вычислениях;

- называть компоненты и результаты действий умножения и деления;

- устанавливать взаимосвязи между компонентами и результатом умножения;

- выполнять умножение и деление с числами 2 и 3.

3 класс.

Числа и величины.

Учащийся научится:

- образовывать, называть, читать, записывать числа от 0 до 1 000;

- сравнивать трехзначные числа и записывать результат сравнения упорядочивать заданные числа заменять трехзначное число суммой разрядных слагаемых уметь заменять мелкие единицы счета крупными и наоборот;

- устанавливать закономерность – правило, по которому составлена числовая последовательность (увеличение/уменьшение числа на несколько единиц, увеличение/уменьшение числа в несколько раз); продолжать ее или восстанавливать пропущенные в ней числа;

- группировать числа по заданному или самостоятельно установленному одному или нескольким признакам;

- читать, записывать и сравнивать значения величины площади, используя изученные единицы измерения этой величины (квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр), и соотношения между ними: 1 дм² = 100 см², 1 м² = 100 дм²; переводить одни единицы площади в другие;

- читать, записывать и сравнивать значения величины массы, используя изученные единицы измерения этой величины (килограмм, грамм) и соотношение между ними: 1 кг = 1000 г; переводить мелкие единицы массы в более крупные, сравнивать и упорядочивать объекты по массе.

Учащийся получит возможность научиться:

- классифицировать числа по нескольким основаниям (в более сложных случаях) и объяснять свои действия;

- самостоятельно выбирать единицу для измерения таких величин как площадь, масса в конкретных условиях и объяснять свой выбор.

Арифметические действия.

Учащийся научится:

- выполнять табличное умножение и деление чисел; выполнять умножение на 1 и на 0, выполнять деление вида: а : а, 0 : а;

- выполнять внетабличное умножение и деление, в том числе деление с остатком; выполнять проверку арифметических действий умножение и деление;

- выполнять письменно действия сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное число в пределах 1000;

- вычислять значение числового выражения, содержащего 2 – 3 действия (со скобками и без скобок).

Учащийся получит возможность научиться:

- использовать свойства арифметических действий для удобства вычислений;

- вычислять значение буквенного выражения при заданных значениях входящих в него букв;

- решать уравнения на основе связи между компонентами и результатами умножения и деления.

4 класс.

Числа и величины.

Учащийся научится:

- образовывать, называть, читать, записывать, сравнивать, упорядочивать числа от 0 до 1 000 000;

- заменять мелкие единицы счета крупными и наоборот;

- устанавливать закономерность – правило, по которому составлена числовая последовательность (увеличение/уменьшение числа на несколько единиц, увеличение/ уменьшение числа в несколько раз); продолжать ее или восстанавливать пропущенные в ней числа;

- группировать числа по заданному или самостоятельно установленному одному или нескольким признакам;

- читать, записывать и сравнивать величины (длину, площадь, массу, время, скорость), используя основные единицы измерения величин (километр, метр, дециметр, сантиметр, миллиметр; квадратный километр, квадратный метр, квадратный дециметр, квадратный сантиметр, квадратный миллиметр; тонна, центнер, килограмм, грамм; сутки, час, минута, секунда; километров в час, метров в минуту и др.), и соотношения между ними.

Учащийся получит возможность научиться:

- классифицировать числа по нескольким основаниям (в более сложных случаях) и объяснять свои действия;

- самостоятельно выбирать единицу для измерения таких величин, как площадь, масса, в конкретных условиях и объяснять свой выбор.

Арифметические действия.

Учащийся научится:

- выполнять письменно действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное число в пределах 10 000), с использованием сложения и умножения чисел, алгоритмов письменных арифметических действий (в том числе деления с остатком);

- выполнять устно сложение, вычитание, умножение и деление однозначных, двузначных и трехзначных чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100 (в том числе с 0 и числом 1);

- выделять неизвестный компонент арифметического действия и находить его значение;

- вычислять значение числового выражения, содержащего 2 – 3 арифметических действия (со скобками и без скобок).

Учащийся получит возможность научиться:

- выполнять действия с величинами;

- выполнять проверку правильности вычислений разными способами (с помощью обратного действия, прикидки и оценки результата действия, на основе зависимости между компонентами и результатом действия);

- использовать свойства арифметических действий для удобства вычислений;

- решать уравнения на основе связи между компонентами и результатами действий сложения и вычитания, умножения и деления;

- находить значение буквенного выражения при заданных значениях входящих в него букв [21].

Таким образом, алгебраический материал в программе М.И. Моро представлен введением таких понятий, как выражение (числовое выражение, выражение с переменной, значение числового выражения), уравнение, равенство и неравенство (верное и неверное). Алгебраический материал распределен на 4 года, начиная с первого класса.

Другой подход к изучению алгебраического материала в начальной школе наблюдается в программе, разработанной Н.Б. Истоминой (УМК «Гармония»). В курсе выделяется 8 разделов: 1) Признаки предметов. Пространственные отношения; 2) Числа и величины; 3) Арифметические действия; 4) Текстовые задачи; 5) Геометрические фигуры; 6) Геометрические величины; 7) Работа с информацией; 8) Уравнения и буквенные выражения.

Перечислим предметные результаты освоения программы по математике Н.Б. Истомной по каждому году обучения, которые относятся к изучению чисел и величин, арифметических действий, а также уравнений и буквенных выражений.

1 класс.

Большинство учащихся научатся:

- читать, записывать, сравнивать и упорядочивать числа в пределах 100;

- выполнять устно сложение и соответствующие случаи вычитания: однозначных чисел, когда результат сложения не превышает числа 10 (на уровне навыка); круглых десятков, когда результат сложения – двузначное число; двузначных и однозначных чисел без перехода в другой разряд; двузначных чисел и круглых десятков;

- читать, записывать, складывать и вычитать величины (длины и массы), используя единицы величин (сантиметр, дециметр, миллиметр, грамм) и соотношение между ними (1 дм = 10 см, 1 см = 10 мм и т. д.);

- понимать и правильно использовать математическую терминологию: сложение, вычитание, увеличить на…, уменьшить на…, на сколько больше (меньше) равенство, неравенство, числовое выражение.

Ученикам будет предоставлена возможность научиться:

- правильно использовать в речи названия компонентов и результатов сложения и вычитания;

- устанавливать правило, по которому составлен ряд предметов или чисел;

- составлять последовательность предметов или чисел по заданному или самостоятельно выбранному правилу;

- классифицировать предметы или числа по одному или нескольким основаниям и объяснять свои действия;

- использовать переместительное свойство сложения для удобства вычислений.

2 класс.

Большинство учеников научатся:

- устно складывать и вычитать: однозначные числа с переходом в другой разряд; двузначные и однозначные числа с переходом в другой разряд; двузначные числа с переходом в другой разряд в пределах 100;

- читать, записывать и сравнивать и упорядочивать трехзначные числа; записывать их в виде суммы разрядных слагаемых; увеличивать и уменьшать трехзначные числа на несколько единиц, или десятков, или сотен без перехода в другой разряд;

- заменять сложение одинаковых слагаемых умножением; заменять умножение сложением одинаковых слагаемых; умножать на 0 и на 1 любое натуральное число;

- выявлять признак разбиения двузначных и трехзначных чисел на группы;

- выявлять правило (закономерность) в записи чисел ряда и продолжать ряд по тому же правилу;

- измерять и сравнивать величины (длина, масса), используя соотношение единиц длины (метр, дециметр, сантиметр, миллиметр) и массы (килограмм).

Ученикам будет предоставлена возможность научиться:

- комментировать свои действия, пользуясь математической терминологией (названия компонентов и результатов действ ий, названия свойств арифметических действий и т. д.);

- применять переместительное и сочетательное свойства сложения для сравнения выражений и для вычисления их значений;

- составлять последовательность величин по заданному или самостоятельно выбранному правилу;

- устанавливать правило, по которому составлен ряд величин.

3 класс.

Большинство учащихся научатся:

- сравнивать площади фигур с помощью различных мерок и единиц площади (квадратный метр, квадратный дециметр, квадратный сантиметр, квадратный миллиметр);

- использовать соотношение единиц площади для вычисления площади прямоугольника и единиц длины для вычисления периметра прямоугольника;

- использовать табличное умножение для вычислений значений произведений;

- использовать предметный смысл деления при анализе практических ситуаций;

- понимать символическую модель деления, взаимосвязь умножения и деления (взаимосвязь компонентов и результата умножения, взаимосвязь компонентов и результата деления);

- пользоваться отношением «меньше в …» и понимать его связь с предметным смыслом деления, сравнивать его с отношениями «больше в …», «меньше на …», «больше на …»;

- отвечать на вопросы: «Во сколько раз больше?», «Во сколько раз меньше?»;

- устно умножать двузначное число на однозначное; делить двузначное число на однозначное; делить двузначное число на двузначное;

- читать, записывать, сравнивать и упорядочивать многозначные числа; записывать их в виде суммы разрядных слагаемых; увеличивать и уменьшать многозначные числа на несколько единиц, или десятков, или сотен без перехода в другой разряд;

- выявлять признак разбиения многозначных чисел на группы;

- выявлять правило (закономерность) в записи чисел ряда и продолжать ряд по тому же правилу;

- вычислять значения числовых выражений, пользуясь правилами порядка выполнения действий в выражениях;

- пользоваться алгоритмами письменного сложения и вычитания.

Ученикам будет предоставлена возможность научиться:

- комментировать свои действия, пользуясь математической терминологией (названия компонентов и результатов арифметических действий, названия свойств арифметических действий и т. д.);

- классифицировать числовые выражения, используя правила порядка выполнения действий в выражениях;

- применять свойства арифметических действий для сравнения выражений и для вычисления их значений.

4 класс.

Числа и величины

Большинство выпускников научатся:

- читать, записывать, сравнивать, упорядочивать числа от нуля до миллиона;

- устанавливать закономерность – правило, по которому составлена числовая последовательность, и составлять последовательность по заданному или самостоятельно выбранному правилу (увеличение/уменьшение числа на несколько единиц, увеличение/уменьшение числа в несколько раз);

- группировать числа по заданному или самостоятельно установленному признаку;

- читать и записывать величины (массу, время, длину, площадь, скорость), используя основные единицы величин и соотношения между ними (килограмм – грамм; год – месяц – неделя – сутки – час – минута, минута – секунда; километр – метр, метр – дециметр, дециметр – сантиметр, метр – сантиметр, сантиметр – миллиметр), сравнивать названные величины, выполнять арифметические действия с этими величинами.

Все выпускники получат возможность научиться:

- классифицировать числа по одному или нескольким основаниям, объяснять свои действия;

- выбирать единицу для измерения данной величины (длины, массы, площади, времени), объяснять свои действия.

Арифметические действия

Большинство учеников научатся:

- выполнять письменно действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 1 000 000) с использованием таблиц сложения и умножения чисел, алгоритмов письменных арифметических действий, в том числе деления с остатком;

- выполнять устно сложение, вычитание, умножение и деление однозначных, двузначных и трехзначных чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100 (в том числе с нулем и числом 1);

- выделять неизвестный компонент арифметического действия и находить его значение;

- вычислять значение числового выражения (содержащего 2–3 арифметических действия, со скобками и без скобок).

Все выпускники получат возможность научиться:

- выполнять действия с величинами;

- использовать свойства арифметических действий для удобства вычислений;

- проводить проверку правильности вычислений (с помощью обратного действия, прикидки и оценки результата действия).

Уравнения. Буквенные выражения

Все выпускники получат возможность научиться:

- решать простые и усложненные уравнения на основе правил о взаимосвязи компонентов и результатов арифметических действий;

- находить значения простейших буквенных выражений при данных числовых значениях входящих в них букв [28].

Изучение равенств, неравенств, числовых выражений предусмотрено в 1 классе. Однако знакомство с уравнениями и буквенными выражениями происходит лишь в конце изучения курса математики начальных классов. Данный материал не включен в другие разделы.

Таким образом, мы видим, что авторы образовательных программ по-разному подходят к вопросу изучения алгебраического материала в начальной школе. Наблюдаются два абсолютно противоположных мнения об определении объема содержания алгебраического материала в курсе математики начальной школы. Одни авторы (например, М.И. Моро) выступают за раннюю алгебраизацию курса математики начальных классов, с насыщением его алгебраическим материалом уже с первого класса; другие (Н.Б. Истомина) – предлагают вводить алгебраический материала в курсе математики для начальной школы на его завершающем этапе, в конце 4 класса.

Более подробно остановимся на вопросе изучения арифметического и алгебраического материала во 2 классе в рамках УМК «Школа России» (данная программа является наиболее распространенной).

Анализируя содержание программы и учебников 2 класса, можно заметить следующую последовательность ведения арифметического материала, способствующую формированию представлений, обучающихся о числовом выражении:

1) простейшие числовые выражения (содержащие только знаки сложения и вычитания);

2) собственные названия числовых выражений (сумма, разность, произведение частное), компонентов и результатов арифметических действий;

3) выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) без скобок;

4) выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) и скобки;

5) выражения, содержащие действия второй ступени (умножение и деление на 2, 3) без скобок [31].

Арифметическая линия во 2 классе представлена следующими материалами:

- свойства сложения (5 + 3) + 2 = 5 + (3 + 2);

- использование свойства сложения для выполнения вычислений удобным способом 7 + 20 + 3 + 70 = (20 + 70) + (7 + 3) =;

- приемы устных вычислений 36 + 2; 36 + 20; 36 – 2; 36 – 20; 26 + 4; 30 – 7; 60 – 24; 26 + 7; 35 – 7;

- проверка сложения на основе взаимосвязи компонентов и результата действия сложения: 4 + 5 = 9 Проверка: 1) 9 – 4 = 5; 2) 9 – 5 = 4;

- проверка вычитания на основе взаимосвязи компонентов и результата действия вычитания: 10 – 7 = 3 Проверка: 1) 7 + 3 = 10, 2) 10 – 3 = 7;

- письменные вычисления в пределах 100: 45 + 23; 57 – 26; 37 + 48; 37 + 53; 87 + 13; 32 + 8, 40 – 32; 50 – 24; 52 – 24;

- конкретный смысл умножения: (5 + 5 + 5 + 5 = 5 ∙ 4) и названия компонентов при умножении;

- переместительное свойство умножения: 6 ∙ 2 = 2 ∙ 6;

- деление и название компонентов при делении;

- взаимосвязь множителей с произведением: 4 ∙ 2 = 8, 8 ː 2 = 4, 8 ː 4 = 2;

- табличное умножение и деление на 2, на 3, 4.

Содержание алгебраической линии во 2 классе включает:

- буквенные выражения: с – 5, а + 6;

- уравнение, решение уравнений (путем подбора значения неизвестного);

- сравнение равенств, неравенств.

Анализируя, содержание арифметической и алгебраической линии начального курса математики (на примере 2 класса) видно, что арифметические действия занимают центральное место в начальном курсе математики. Этот раздел включает раскрытие конкретного смысла арифметических действий, свойств действий, связей и зависимостей между компонентами и результатами действий, а также формирование вычислительных умений и навыков. В связи с изучением арифметического материала вводятся элементы алгебры: на конкретной основе раскрываются понятия равенства, неравенства, уравнения, переменной.

Сравнивая неоднократно специально подобранные выражения и числа, например, 17+0 и 17, 19-0 и 19, 7-1 и 7, 0: 5 и 0, с+1 и с, с: 1 и с и т.п., учащиеся накапливают наблюдения об особых случаях действий, глубже осознают конкретный смысл действий. Упражнения на сравнение выражений и числа закрепляют умения читать выражения и способствуют выработке вычислительных навыков. При изучении действий в других концентрах упражнения на сравнение выражений усложняются: более сложными становятся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства или неравенства; проверить, верные ли равенства (неравенства) даны, неверные исправить, изменив знак отношения или число в одном из выражений; составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства. Сами выражения подбираются таким образом, чтобы, сравнивая выражения, учащиеся наблюдали свойства и зависимости между компонентами и результатами действий. Например, после того как установили с помощью вычислений, что сумма 60 + 40 больше суммы 60 + 30, учитель предлагает сравнивать соответствующие слагаемые этих сумм, и дети отмечают, что первые слагаемые в этих суммах одинаковые, а второе слагаемое в первой сумме больше, чем во второй. Много раз, подмечая эту зависимость, учащиеся приходят к обобщению, и затем свои знания используют при сравнении выражений.

Таким образом, при изучении всех концентров упражнения на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерации и арифметических действиях, а также выработке вычислительных навыков.

Так упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению арифметических знаний. Например, подставляя различные числовые значения компонентов, дети накапливают наблюдения об изменении результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Здесь уточняются знания детей о конкретном смысле каждого действия (так, подставляя значения вычитаемого, дети убеждаются в том, что вычитаемое не больше уменьшаемого и т.п.). Подбирая значения буквы в неравенствах и равенствах вида: 5 + х = 5, 5 – х = 5; 10 ∙ х = 10, 10 ∙ х 16 : 8; 2 ∙ 9 – 2 ∙ 4 = 2 ∙ 5; 60 – 8 60 – 10, формируют не только вычислительные навыки, но и закрепляют порядок действий. Это еще раз указывает на взаимосвязь алгебраического и арифметического материала.

Понятия о простейших выражениях формируются в связи с изучением арифметических действий, затем вводятся сложные выражения и выражения с переменной. Младшие школьники учатся вычислять значения сложных числовых выражений, используя правила порядка действий. Они учатся также находить значения выражений с переменной при заданных значениях букв. Введение элементов алгебры позволяет:

1) положительно влиять на развитие логического мышления (анализ, синтез, абстрагирование, обобщение, конкретизация, систематизация, индукция, дедукция);

2) создавать условия для формирования теоретического мышления (другими словами мышления, которое ориентировано на обобщение, абстрагирование, на открытие законов и зависимостей);

3) обобщить и классифицировать знания, полученные при изучении нумерации и арифметических действий (a+b=b+a, a∙b=b∙a и т.п.);

4) создавать условия для обучения простым дедуктивным рассуждениям;

5) усиливать преемственность в обучении математике на различных ступенях школьного образования [34].

Таким образом, алгебраический материал выполняет вспомогательную функцию при изучении арифметического материала, способствует формированию обобщенных представлений детей о понятии «количество» и смысле арифметических действий.

Выводы по 1 главе

В первой главе работы охарактеризована сущность понятия «преемственность». По словам А.В. Батаршева, под преемственностью понимается последовательный переход от одной ступени образования к другой, выражающийся в сохранении и постепенном изменении содержания, форм, методов, технологий обучения и воспитания [1].

Преемственность с позиции школы – это опора на те знания, умения и навыки, которые имеются у ребенка, меняется осмысление пройденного на более высоком уровне. О.М. Демиденко считает, что процесс усвоения знаний представляется как процесс установления связи между вновь приобретенными и старыми знаниями, между которыми имеются внутренние связи, совершенно независимо от того, на каком предмете и когда они были приобретены [7].

Е.Н. Сафронов в понятии «преемственность» выделяет производные понятия: вертикальный и горизонтальный аспекты преемственности:

- по вертикали – обеспечение «сквозных» линий в содержании, повторении, пропедевтики, разработки единых курсов изучения отдельных программ; создание на каждом этапе базы для последующего изучения учебного материала на более высоком уровне за счет расширения и углубления тематики, путем обеспечения «сквозных» линий;

- по горизонтали – создание условий для влияния на формирование у учащихся учебной мотивации, развития учебных действий, на качество их математической подготовки.

В процессе изучения психолого-педагогической литературы выделены педагогические условия реализации преемственности в обучении математике:

1. Системно-деятельностный подход.

2. Принципы преемственности в построении учебных заданий:

- принцип эвристической основы учебных заданий,

- принцип использования моделирования при выполнении заданий,

- принцип вариативности формулировки учебных заданий,

- принцип диалогической направленности в выполнении учебных заданий,

- принцип практической направленности в выполнении учебных заданий.

3. Соблюдение логики построения курса математики, как в содержательном, так и в процессуальном плане, на основе целей образования на начальной и основной ступени обучения.

Изучение содержания начального курса математики показало, что арифметические действия занимают центральное место в начальном курсе математики. Элементы алгебры вводятся в связи с изучением арифметического материала и имеют пропедевтический характер.

Глава 2. Реализация преемственности в изучении алгебраического
и арифметического материала в начальной школе 2.1. Методика изучения арифметического и алгебраического
материала в начальной школе

Программой по математике в 1-4 классах предусматривается научить детей читать и записывать математические выражения: ознакомить с правилами порядка выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях, ознакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.

По мнению Н.Б. Истоминой, при формировании у детей понятия математического выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами, имеет двоякий смысл: с одной стороны, он обозначает действие, которое надо выполнить над числами (например, 6 + 4 – к 6 прибавить 4); с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6   4 – это сумма чисел 6 и 4) [11].

Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5 + 1, 6 – 2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть». Это находит отражение в чтении (к 5 прибавить 1 равно 6, из 6 вычесть 2 равно 4). Затем дети узнают названия знаков действий: «Плюс», «минус» и читают примеры, называя знаки действий (4 + 2 = 6, 7 – 3 = 4).

Ознакомившись с названиями компонентов и результатом действия сложения, учащиеся используют термин «сумма» для обозначения числа, являющегося результатом сложения.

Чтобы дети усвоили новое значение термина «сумма» как название выражения, даются такие упражнения: «Запишите сумму чисел 7 и 2: вычислите, чему равна сумма чисел 3 и 4; прочитайте запись (6 + 3), скажите, чему равна сумма; замените число суммой чисел (9 = ? + ?); сравните суммы чисел (6 + 3 и 6 + 2), скажи те, какая из них больше, запишите со знаком «больше» и прочитайте запись». В процессе таких упражнений учащиеся постепенно осознают двоякий смысл термина «сумма»: чтобы записать сумму чисел, надо их соединить знаком «плюс»; чтобы найти значение суммы, надо сложить заданные числа.

Как считает Н.Б. Истомина, примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью, произведением и частным двух чисел. Однако теперь каждый из этих терминов вводится сразу и как название выражения, и как название результата действия. Умение читать и записывать выражения, находить их значение с помощью соответствующего действия вырабатывается в процессе многократных упражнений, аналогичных упражнениям с суммой [11].

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3 + 1 + 1, 4 – 1 – 1, 2 + 2 + 2.

Вычисляя значения этих выражений, дети в выра­жениях овладевают правилом о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат преобразовывать выражения в процессе вычислений, например, 10 – 7 + 5 = 3 + 5 = 8. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10 + (6 – 2), (7 + 4) + 5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10 + (6 – 2), (5 + 3) – 1 может быть различной. Можно сразу учить читать готовые выражения по аналогии с образцом и вычислять значения выражений, поясняя последовательность действий.

Во втором классе вводятся термины «математическое выражение» и «значение выражения» (без определения). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются математическими выражениями.

В.О. Кулибенко утверждает, что в сложных выражениях знаки действий, соединяющие простейшие выражения, также имеют двоякий смысл, что постепенно раскрывается учащимися. Например, в выражении 20 + (34 – 8) знак «+» обозначает действие, которое надо выполнить над числом 20 и разностью чисел 34 и 8 (к 20 прибавить разность чисел 34 и 8). Кроме того, знак «плюс» служит для обозначения суммы - это выражение есть сумма, в которой первое слагаемое 20, а второе слагаемое выражено разностью чисел 34 и 8 [15].

В дальнейшем, в процессе многократных упражнений в чтении, составлении и записи выражений, учащиеся постепенно овладевают умением устанавливать вид сложного выражения (в 2-3 действия). По мнению О.И. Мамедова, значительно облегчает детям работу схема, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

1. установить, какое действие выполняется последним;

1. вспомнить, как называются числа при выполнении этого действия;

1. прочитать, чем выражены эти числа.

Как считает О.Н. Пшикова, упражнения в чтении и записи сложных действий, заданные простейшими выражениями, помогают детям усвоить правила порядка действий [29].

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно: 6 + 1 + 1, 6 + 2 + 1, 6 + 2 + 2. Аналогично: 6 – 1 – 1, 6 – 2 – 1, 6 – 2 – 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

Чтобы учащиеся усвоили различные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

20 + 30 : 5 = 10 42 – 12 : 6 = 40

6 – 5 + 40 : 2 = 50 20 + 30 : 5 = 26

42 – 12 : 6 = 5 6 – 5 + 40 : 2 = 35

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20 + 30) : 5 = 10.

По мнению О.Н. Пшиковой, особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36 : 6 + 3 ∙ 2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении [29]:

36 : 6 + 3 ∙ 2 36 : (6 + 3 ∙ 2)

36 : (6 + 3) ∙ 2 (36 : 6 + 3) ∙ 2

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72 – 24 : 6 + 2 = 66 72 – 24 : 6 + 2 = 6

72 – 24 : 6 + 2 = 10 72 – 24 : 6 + 2 = 69

Также интересными являются упражнения следующего вида:

1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:

1 + 7 : 4 = 2; 8 – 6 – 4 = 6; 24 : 8 – 2 = 4.

1. Поставьте вместо звездочек знаки «+» или «-» так, чтобы получились верные равенства:

38*3*7=34 38*3*7=28

38*3*7=42 38*3*7=48

1. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:

12*6*2=4 12*6*2=70 12*6*2=24

12*6*2=9 12*6*2=0

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

90 ∙ 8 – (240 + 170) + 190,

469148 – 148 ∙ 9 + (30100 – 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

Таким образом, можно сделать вывод, что, начиная с 1 класса, дети знакомятся с преобразованиями числовых выражений, выполняемое на основе применения изученных элементов арифметической теории (нумерации, смысла действий и другое). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с выражением многих вычислительных приемов. По мнению Пятибратовой И.И., изучение правил порядка выполнения арифметических действий выполняется обучающимися в следующей последовательности:

1) простейшие числовые выражения (содержащие только знаки сложения и вычитания);

2) собственные названия числовых выражений (сумма, разность, произведение, частное), компонентов и результатов арифметических действий;

3) выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) без скобок;

4) выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) и скобки;

5) выражения, содержащие действия второй ступени (умножение и деление) без скобок;

6) выражения, содержащие действия второй ступени (умножение и деление) и скобки;

7) выражения, содержащие действия двух ступеней без скобок (сложение, вычитание, умножение и деление);

8) выражения, содержащие действия двух ступеней со скобками.

Правила порядка выполнения арифметических действий в сложных выражениях вводится в 3 классе, но фактически некоторые из них дети использовали раньше в системе упражнений вычислительного характера. К моменту изучения данной темы в 3 классе, дети умеют находить значение числовых выражений в несколько действий без скобок. Цель уроков на данном этапе – обобщить имеющиеся умения учащихся в системе упражнений и подвести их к выводу о порядке выполнения арифметических действий в выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание, или умножение и деление.

При знакомстве учащихся с правилом выполнения арифметических действий в выражениях со скобками необходимо обратить их внимание на то, что иногда в выражениях арифметические действия выполняют не в том порядке, в котором они записаны. Чтобы показать другой порядок их выполнения и используются скобки. Действие, записанное в скобках, выполняется первым. С правилом выполнения арифметических действий в выражениях без скобок, содержащих действия двух ступеней, учащиеся знакомятся по учебнику или из объяснения учителя и пользуются данным правилом как алгоритмом вычисления значения числового выражения [31].

Как утверждает В.В. Исаенко, алгебраический материал изучается, начиная с 1 класса в тесной связи с арифметическим материалом и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах [10].

Изучение числовых выражений, равенств и неравенств, а также уравнений начинается еще с первого класса, в период изучения нумерации в пределах 10.

Так знакомство с равенствами и неравенствами начинается уже с девятой страницы. Дети учатся сначала сравнивать числа, затем выражения с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно», учатся записывать результаты с помощью знаков , = и читать полученные равенства и неравенства [11].

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел:

□ □ □ □ □ □ □ 7 7 5 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

◊ ◊ ◊ 3 3 = 3 ○ ○ ○ 3

В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опираются на знание их места в натуральном ряду: девять меньше, чем десять, потому что при счете число девять называют перед числом десять. Установленные отношения записываются с помощью знаков , =, учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств, но сами термины вводятся только во втором классе [11].

Переход к сравнению двух выражений осуществляется постепенно. Сначала дети знакомятся с самими выражениями.

При формировании понятия числового выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами, имеет двоякий смысл: с одной стороны, он обозначает действия, которое надо выполнить над числами; с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6 + 4 – это сумма чисел 6 и 4).

Понятия о выражениях формируется в тесной связи с понятиями об арифметических действиях и способствует лучшему их усвоению. В первом классе формируется представление о простейших выражениях (сумма и разность). Знакомство осуществляется при помощи метода изложения [11].

На доске записан пример на сложение: 5 + 2.

Назвать и подписать: это сумма.

Найти, чему равна сумма: 7.

Записать и подписать – это тоже сумма.

Каждое из чисел имеет свое название (имя): 5 – первое слагаемое, 2 – второе слагаемое. Наш пример можно прочитать так: сумма чисел 2 и 5 равна 7; первое слагаемое 5, второе – 2, сумма – 7.

Так же знакомятся и с разностью. И только после этого дети сравнивают выражение с числом, а далее выражение с выражением.

На первом уроке можно дать упражнение на сравнение с опорой на рисунки, например, в двух рядах рисуются по 6 квадратов (6 = 6), затем в первом ряду дорисовывают два квадрата или зачеркивают два квадрата. И дается запись:

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 6 = 6

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 6 + 2 6 8 6

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 6 – 2

Дети говорят: «Сверху было 6 и внизу 6. Внизу так и осталось 6, а сверху прибавили (отняли) 2. Там стало больше (меньше)». Для проверки выполняются вычисления и сравниваются полученные числа.

Затем переходят к сравнению двух выражений. Сравнить два выражения – значит, сравнить их значения. Например, надо сравнить суммы 6 + 4 и 6 + 3. Рассуждение: первая сумма равна 10, вторая – 9, 10 больше, чем 9, значит сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3.

6 + 4 6 + 3

10 9

Также в первом классе осуществляется знакомство с записью и чтением выражений со скобками и некоторыми случаями, в которых нужно установить порядок действий. Например, 70 – 26 + 10, 42 + 18 – 19 и т. д. Выполняют тождественные преобразования, опираясь на свойства арифметических действий (прибавление числа к сумме и суммы к числу).

Например, продолжи запись: 76 – (20 + 4) = 26 – 20…

Кроме этого, в первом классе проводится подготовительная работа к ознакомлению с уравнениями.

Неизвестно число появляется впервые уже в связи с решением примеров вида 1 + 1 = 2, которые решаются при изучении нумерации в пределах десяти. В этом примере два известных числа 1 и 1, а третье число, которое получится, надо найти. Число, которое требуется найти, называют неизвестным [11].

Постепенно задания усложняются. Так, детям предлагается, пользуясь рисунком, имеющимся в учебнике, составить пример, в котором надо прибавить 1: □ + 1 = □.

В рассмотренных примерах неизвестным числом являлся результат действия. В дальнейшем дети встречаются и с такими случаями, когда неизвестным оказывается один из компонентов действия. Например, спишите пример, заполняя пропуск: 3 + □ = 5. Далее, изучение выражений с переменными, равенств и неравенств, уравнений продолжается во втором классе. 

Здесь дети знакомятся с терминами «равенство» и «неравенство». Учащимся предлагается проверить, верны ли записи (даны два столбика равенств и неравенств). Учитель поясняет, что, если между выражениями стоит знак равно, - это равенство, а если знак больше или меньше это неравенство. Равенства и неравенства бывают верными и неверными. Учащиеся выбирают верные равенства и верные неравенства из предложенных. Затем решают большое количество заданий такого типа на закрепление.

Так же во втором классе дети знакомятся с темой «Порядок действий» в сложных выражениях. Формулируют правило: если в выражении без скобок есть только сложение и вычитание или умножение и деление, то они выполняются по порядку слева направо. Учитель обращает внимание детей на то, что при несоблюдении этих правил получатся неверное равенство.

Затем изучается порядок действий в выражении без скобок, в которых есть умножение и деление, сложение и вычитание: в выражениях без скобок умножение и деления выполняются раньше, чем сложение и вычитание. После этого изучается правило порядка действий в выражениях со скобками, причем в скобках одно действие. Знакомятся с такими тождественными преобразованиями как умножение и деление суммы на число.

Вводится новое понятие, выражение с переменной. В подготовительной работе нужно повторить название чисел в математических выражениях: «сумма чисел», «разность чисел», «произведение чисел», а также зависимость между компонентами и результатом действий.

Хорошим упражнением для подготовки к введению буквенной символики являются задачи с пропущенными числами.

В начале вводятся выражения с одно переменной. Для этого можно использовать пособие – прямоугольник с вырезанным «окошком» и продвижной лентой. На ленте записаны числа, например, 2, 6, 8, 15, а на картоне за «окошком» записано + 8. Учитель передвигает ленту, а дети называют и записывают соответствующие выражения: 2 + 8, 6 + 8 и т. д. Учитель сообщает, что в математике вместо «окошка» записывают латинские буквы. Учитель объясняет: «Запишем вместо «окошка», например, букву с, тогда получим выражение с + 8, которое читают так: «сумма чисел с и 8». Найдем значение этой суммы, подставляя значения, записанные на этой ленте (учитель передвигает ленту, а дети записывают на доске и в тетрадях выражение: с + 8, с = 2, 2 + 8 = 10; с = 6, 6 + 8 = 14 и т. д.» [13].

Числа 2, 6, 8, 15 – это обозначения буквы с, а числа 10, 14 … - это значение выражения с + 8 при данных значениях буквы.

Можно ли букве с придать другие значения? Назовите их. Дети называют несколько значений, записывают числовые выражения и находят их значения. Учитель замечает, что букве с можно придать очень много различных значений.

Для ознакомления с выражениями с двумя переменными можно использовать специальное пособие прямоугольник с двумя «окошечками» и провести работу, аналогичную той, что при введении выражения с одной. Начать можно и с рассмотрения простой задачи, например, такой:

«На одной полке 3 книги, а на другой – 5 книг. Сколько всего книг на этих полках?»

Дети знают, что такие задачи решаются сложением.

На доске запись (Таблица 1):

Таблица 1. Краткая запись задачи на нахождение суммы

На 1 полке	3 кн.	6 кн.	a кн.	a кн.
На 2 полке	5 кн.	4 кн.	5 кн.	b кн.
Всего	3 + 5	6 + 4	a + 5	a + b

Затем в задаче меняются числовые данные: «На одной полке 6 книг, а на другой - 4». Вопрос тот же, запись данных и решение проводится по той же таблице.

С целью закрепления знаний, приобретенных при первом знакомстве с буквенными выражениями, выполняются упражнения, связанные с вычислением значений данного выражения при заданных значениях букв. Полезны и упражнения на заполнение таблиц, где компоненты действий обозначены буквами.

Во втором классе дети знакомятся с уравнением.

Изучение уравнений начинается с подготовительного этапа уже в 1 классе, когда дети, действуя с предметами, решают такие «задачи»:

Затем учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в «окошке», например:

□ + 2 = 7 5 + □ = 7

7 - □ = 2 □ – 5 = 2

Дети находят число либо подбором, либо на основе знаний состава числа. На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:

- Сколько надо вычесть из 3, чтобы получилось 2?

- Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?

На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения». На протяжении нескольких уроков дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Названия компонентов арифметических действий были введены в речевую практику учащихся и использовались для чтения равенств и выражений, пока правило нахождения неизвестного компонента в уравнениях не заучивается. Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты, соответствующие целому (сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, уменьшаемое, разность). При решении уравнений детям нужно будет вспомнить лишь два известных правила:

- Целое равно сумме частей.

- Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

1. Выполни проверку и найди ошибку.

х + 8 = 16

х= 16 + 8

х = 24

Дети решают: 24 + 8 = 16

32 ≠ 16

2. Составить уравнения с числами х, 4, 10 и реши их.

Дети решают:

х + 4 = 10; 10 – х = 4; х – 10 = 4 и т.п.

3. Из данных уравнений реши те, где х находится сложением.

х +16 = 20; х -18 = 30;29 – х = 19.

4. Рассмотри решение уравнения и вставь соответствующий знак.

х ? 12 = 23

х = 23 – 12

К концу изучения темы дети учатся комментировать уравнения через компоненты действий. Работа строится следующим образом:

1) читаю уравнение;

2) нахожу известные и неизвестные компоненты (части и целое);

3) применяю правило (по нахождению части или целого);

4) нахожу, чему равен х;

5) комментирую через компоненты действий.

Следующий этап – решение уравнений с действиями умножения и деления используются правила зависимости компонентов умножения и деления.

Например, 96 : х = 24

Нужно найти неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное. Значит:

96 : х = 24

х = 96 : 24

х = 4

Проверим решение: 24 ∙ 4=96 [2].

Для формирования навыков решения уравнений можно использовать задания данного вида.

1. Выполни проверку и найди ошибку.

х : 2 = 4

х = 4 : 2

х = 2

Дети решают: 2 : 2 = 4

1 ≠ 4

2. Проанализируй решение уравнения и найди ошибку.

х ∙ 3 = 9

х = 3 ∙ 9

х = 27

3. Составь уравнения с числами 3, х, 12 и реши их.

Дети составляют: 12 : х = 3; 3 ∙ х = 12 и т.п.

4. Из данных уравнений реши те, которые решаются делением.

х ∙ 2 = 6; х : 4 = 16; 12 : х = 4.

5. Рассмотри решение уравнений и вставь соответствующий знак в запись уравнения.

х ? 6 = 24

х = 24 : 6

6. Составь и реши уравнение:

- Какое число надо умножить на пять, чтобы получилось 25?

7. Реши:

х ∙ 3 = 15; х : 4 = 5; 16 : х = 2.

- Какое уравнение лишнее? Объясни свой выбор.

Дети объясняют:

- первое уравнение – х равен нечетному числу;

- второе уравнение – х находим умножением;

- третье уравнение – неизвестен второй компонент и т.п.

Последний этап при работе с уравнениями в начальной школе – знакомство учащихся с составными уравнениями. Решение таких уравнений строится на качественном анализе выражения, стоящего в левой части уравнения: какие действия указаны в выражении, какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т.п. К этому времени учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями:

- решение простых уравнений,

- анализ решений уравнений по компонентам действий,

- чтение записи выражений в два – три действия,

- порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без них.

На данном этапе дети должны понимать, что в записи уравнений в качестве неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита, например: k+4 = 3; p – 3 = 8; z : 7 = 6 и т.п. [2].

Запись решения уравнений сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Для выработки правильной математической речи и навыков решения первых уравнений данного вида необходимо использовать таблицы с образцами решений. Но так как дети уже с 1-го класса знакомы с записью различных алгоритмов, то можно использовать только алгоритм решения уравнений, по которому дети и анализируют уравнения.

Памятка «Как решить уравнение»

1. Прочитай уравнение.

2. Определи, какой компонент арифметического действия неизвестен.

3. Вспомни, правило нахождения данного компонента.

4. Примени правило нахождения неизвестного компонента арифметического действия для решения уравнения.

5. Выполни проверку [31].

2.2. Содержательная преемственность в изучении арифметического
и алгебраического материала в начальной школе

В начальной школе дети знакомятся с правилами взаимосвязи компонентов сложения и вычитания, умножения и деления, которые являются обобщением представлений ребенка о способах проверки сложения и вычитания, умножения и деления.

Эти правила являются основой для подготовки к решению уравнений, которые в начальной школе решаются с опорой на правило нахождения соответствующего неизвестного компонента равенства [2].

Таблица 2. Взаимосвязь арифметического и алгебраического материала

Арифметический материал	Алгебраический материал
Название компонентов и результата арифметических действий	Способ чтения, определение вида числовых и буквенных выражений
Вычислительные умения и навыки (табличные и внетабличные вычисления), освоение вычислительных приемов	Вычисление значения числового / буквенного выражения; порядок арифметических действий в числовых выражениях; сравнение выражений
Конкретный смысл арифметических действий	Тождественное преобразование выражений
Свойства арифметических действий
Взаимосвязь между компонентами и результатом арифметических действий	Способ решения уравнений
Уменьшаемое 24, разность 10. Чему равно вычитаемое? 24 - □ = 10	24 – х = 10
Вставь нужное число, чтобы равенство стало верным. □ -15 = 20	х – 15= 20
Сумма чисел равна 40. Первое слагаемое 35. Чему равно второе слагаемое? 35 + □ =40	35 + х = 40
Произведение чисел равно 45. Второй множитель 5. Чему равен первый множитель. □ ∙ 5 =45	х ∙ 5 = 45
Частное 7, делитель 9. Чему равно делимое? □: 9 =7	х : 9 = 7
Чему равен делитель, если делимое 24, а частное равно 6? 24: □ =6	24 : х = 6
Оформление арифметических правил буквенными выражениями
Если к числу прибавить нуль, то получится это же число.	а + 0 = а
Если из числа вычесть нуль, то получится это же число.	а – 0 =а
При умножении любого числа на 1 и 1 на число получается то число, которое умножали.	а ∙ 1 = а 1 ∙ а = а
При умножении любого числа на нуль и нуля на число получается нуль.	а ∙ 0 = 0 0 ∙ а = 0
При делении числа на это же число получится 1.	а : а = 1
При делении числа на 1 получается это же число.	а : 1 = 1
При делении нуля на любое другое число получится нуль.	0 : а = 0
На нуль делить нельзя,	а : 0 НЕЛЬЗЯ!
Решение задач способом составления уравнений
Простые задачи на нахождение неизвестных компонентов арифметических действий: В вазе лежат шоколадные конфеты и 3 карамельки. Всего 8 конфет. Сколько шоколадных конфет в вазе. В вазе лежали конфеты. Когда 3 конфеты взяли, осталось 5 конфет. Сколько конфет было в вазе сначала? В вазе лежали 8 конфет. Несколько конфет взяли. Осталось 5 конфет. Сколько конфет взяли из вазы?	х + 3 = 8 х – 3 = 5 3) 8 – х = 5
Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные щуки. Сколько щук поймал рыбак? 10 – (3+4) = 3 (щ.)	3 + 4 + х = 10 7 + х = 10 х = 10 – 7 х = 3 (щ.)
Подбирая значения букв в неравенствах и равенствах, закрепляют знания особых случаев вычислений.	5 + а = 5, 10 ∙ а ≤10, 10 : а = 10
Для решения уравнения данного вида надо применить знания порядка действий и правила нахождения компонентов действий: вычитание, умножение.	₁ ₂ ₃ (у - 3) ∙5 - 875 = 210

Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использованием буквенной символики, решением элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применением их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию понятия числа и арифметических действий.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опорой на предметы.

При изучении арифметических действий включаются упражнения на сравнения выражений, их делят на 3 группы.

1. Упражнение, направленное на уточнение знаний учащихся об арифметических действиях и на их применение. При ознакомлении учащихся с арифметическими действиями сравниваются выражение вида 5 + 3 и 5 - 3; 8 ∙ 2 и 8 : 2. Сначала выражения сравниваются путем нахождения значений каждого и сравнения полученных чисел. В дальнейшем задание выполняется ни основе того, что сумма двух чисел больше их разности, а произведение - больше их частного; вычисление используется только для проверки результата. Сравнение выражений вида 7 + 7 + 7 и 7 ∙ 3 проводится для закрепления знаний учащихся о связи сложения и умножения.

В процессе сравнения учащиеся знакомятся с порядком выполнения арифметических действий. Сначала рассматриваются выражения, содержание скобки, вида 16 – (1 + 6).

2. После этого рассматривается порядок действий в выражениях без скобок содержащих действия одной и двух степеней. Эти значения учащиеся усваивают в процессе выполнения примеров. Сначала рассматриваются порядок действий в выражениях, содержащих действия одной ступени, например: 23 + 7 – 4, 70 : 7 ∙ 3. При этом дети должны усвоить, что если выражений есть только сложение и вычитания или только умножение и деление, то они выполняются в том порядке, в каком записаны. Затем вводятся выражения, содержащие действия обеих ступеней. Учащимся сообщается, что в таких выражениях надо сначала выполнить по порядку действия умножения и деления, а затем сложение и вычитание, например: 21 : 3 + 4 ∙ 2 = 7 + 8 = 15; 16 + 5 ∙ 4 = 16 + 20 = 36. Чтобы убедить учащихся в необходимости соблюдения порядка действий, полезно выполнить их в одном и тоже выражении в другой последовательности и сравнить полученные результаты.

3. Упражнения, при выполнении которых учащиеся усваивают и закрепляют знания по соотношению между компонентами и результатами арифметических действий. Они включаются уже при изучении чисел десятка.

В этой группе упражнений учащиеся знакомятся со случаями изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Сравниваются выражения, в которых изменяется одно из слагаемых (6 + 3 и 6 + 4) или уменьшаемое 8 – 2 и 9 – 2 и т.д. Подобные задания включаются также при изучении табличного умножения и деления и выполняются с помощью вычислений (5 ∙ 3 и 6 ∙ 3, 16 : 2 и 18 : 2) и т.д. В дальнейшем можно сравнивать эти выражения без опоры на вычисления.

Рассмотренные упражнения тесно связаны с программным материалом и способствует его усвоению. Наряду с этим в процессе сравнения чисел и выражений учащиеся получают первые представления о равенстве и неравенстве.

Так, в 1 классе, где еще термины «равенство» и «неравенство» не используются, учитель может при проверке правильности выполненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме: «Коля прибавил к шести восемь и получил 15. Верное это решение или неверное?», или предлагать детям упражнения, в которых требуется проверить решение данных примеров, найти верные записи и т.д. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств вида 5  4 и более сложных учитель может задавать вопрос в такой форме: «Верны ли эти записи?», а после введения неравенства – «Верны ли эти неравенства?».

Начиная с 1 класса, дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемыми на основе применения изученных элементов арифметической теории (нумерации, смысла действий и свойств арифметических действий). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с изучением многих вычислительных приемов.

В связи с подобными преобразованиями уже в 1 классе дети встречаются с «цепочкой» равенств.

Упражнения с алгебраическим материалом закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению арифметических знаний. Например, подставляя различные числовые значения компонентов, дети накапливают наблюдения об изменении результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Здесь уточняются знания детей о конкретном смысле каждого действия (так, подставляя значения вычитаемого, дети убеждаются в том, что вычитаемое не больше уменьшаемого и т.п.). Работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе [10].

2.3. Методическое обеспечение процесса изучения алгебраического материала во 2 классе на основе реализации принципа преемственности

Программа «Математика» М.И. Моро и др. (ОС «Школа России») предусматривает введение элементов алгебры уже с 1 класса. Данная содержательная линия способствует обобщению понятий об арифметических действиях, математических отношениях, числе, а также служит пропедевтикой дальнейшего изучения алгебраического материала в среднем и старшем звеньях школы. При этом алгебраический материал изучается в тесной связи с арифметическим.

Методическое обеспечение процесса изучения алгебраического материала представлено системой технологических карт уроков для 2 класса (ОС «Школа России) по темам, связанным с введением алгебраических понятий (Приложения 1 – 4).

При проектировании уроков соблюдены педагогические условия реализации принципа преемственности в изучении алгебраических понятий на основе использования знаний, полученных при изучении арифметического материала:

1. Системно-деятельностный подход, выражающийся в использовании технологии деятельностного метода обучения при проектировании уроков и введении алгебраических понятий.

2. Принципы преемственности в построении учебных заданий. Учебное задание является основным средством организации учебной деятельности, оно обусловливает характер учебных действий школьника. Поэтому содержание, формулировка и система учебных заданий должны отвечать следующим принципам:

- принцип эвристической основы учебных заданий,

- принцип использования моделирования при выполнении заданий,

- принцип вариативности формулировки учебных заданий,

- принцип диалогической направленности в выполнении учебных заданий,

- принцип практической направленности в выполнении учебных заданий.

3. Соблюдение логики построения курса математики, как в содержательном, так и в процессуальном плане, на основе целей образования на начальной и основной ступени обучения.

Во 2 классе учащиеся знакомятся с правилами порядка выполнения арифметических действий в выражениях со скобками. Знакомство учащихся с выражениями вида 10 – (6 + 3), 9 + (8 – 5) и т.п. подготавливает детей к изучению правил вычитания суммы из числа и числа из суммы, прибавления суммы к числу и числа к сумме, помогает более глубокому усвоению понятия «числовое выражение».

Технологическая карта урока на тему Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками (программа «Математика» М.И. Моро и др.). представлена в приложении 1.

Во 2 классе обучающиеся знакомятся с числовыми выражениями. При этом следует учитывать двоякий смысл знака действия, стоящего между числами: во-первых, он показывает, какое действие надо выполнить с числами (знак «+» - прибавить), а во-вторых, он служит для обозначения выражения (знак «+» – это сумма). Введению понятия «числовое выражение» предшествует знакомство с действиями сложения и вычитания в 1 классе. Таким образом, сначала дети выполняют операции над множествами, усваивая конкретный смысл действий, воспринимая знаки действий как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть»; далее, изучив названия компонентов и результата арифметического действия, термины «сумма» и «разность» используют для названия результата действия; затем, на основе знаний о названиях чисел при сложении и вычитании, дети выясняют, что запись двух чисел, соединенных знаком «+» («–»), – это тоже «сумма» («разность»).

Технологическая карта урока по изучению данной темы по программе М.И. Моро и др. представлена в приложении 2.

Программой М.И. Моро предусмотрено знакомство с буквенными выражениями. Использование буквы в качестве символа, обозначающего переменную, позволяет на начальном этапе обучения начинать работу над формированием такого понятия, как «переменная», а также приобщать учащихся к математическому языку символов. Буквенная символика в качестве инструмента обобщения используется на основе знаний об арифметических действиях и тех знаний, которые формируются на их базе. То есть применение буквенной символики повышает уровень обобщения знаний, которые осваивают младшие школьники, а также подготавливает их к изучению алгебры в дальнейшем.

Технологическая карта урока ознакомления с буквенными выражениями представлена в приложении 3.

Уравнения в начальном курсе математики рассматриваются как верные равенства, содержащие неизвестное число. Решить уравнение – значит найти то значение буквы, при котором выражение имеет указанное значение. Сначала учащиеся находят неизвестное число способом подбора, позже поиск осуществляется на основе применения знания взаимосвязи между результатом и компонентами арифметических действий.

Технологическая карта урока по освоению понятия «уравнение» (первое знакомство) представлена в приложении 4.

В разработанных технологических картах задания этапа урока актуализация знаний относятся к арифметическому материалу, повторение которого служит содержательной основой реализации принципа преемственности в изучении элементов алгебры, что в свою очередь является пропедевтикой изучения систематического курса алгебры в последующих классах школы.

В процессе апробации разработанной системы уроков в практике работы МКОУ Шубинская СОШ (2 класс) выявлено, что заданные условия реализации преемственности между арифметическим и алгебраическим материалом способствуют достижению предметных результатов изучения элементов алгебры в начальной школе.

Выводы по 2 главе

Во второй главе работы раскрыты методические аспекты изучения арифметического и алгебраического материала в начальной школе.

Начиная с 1 класса, дети знакомятся с преобразованиями числовых выражений, выполняемыми на основе применения изученных элементов арифметической теории (нумерации, смысла арифметических действий, свойств арифметических действий.).

Изучение элементов алгебры в начальном курсе математики дает возможность с начала обучения организовывать работу по формированию у детей таких основных математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Знакомство с возможностью использования буквы в качестве символа, обозначающего любое число из известной детям области чисел, помогает обобщению многих вопросов арифметической теории, служит хорошей подготовкой для дальнейшего знакомства с переменной функций. Решения задач алгебраическим способом позволяет совершенствовать всю систему обучения решению разнообразных текстовых задач.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опорой на предметы.

Охарактеризованы примеры содержательной преемственности в изучении арифметического и алгебраического материала.

Разработано методическое обеспечение процесса изучения алгебраического материала, которое представлено системой технологических карт уроков для 2 класса (ОС «Школа России) по темам, связанным с введением алгебраических понятий.

При проектировании уроков соблюдены педагогические условия реализации принципа преемственности в изучении алгебраических понятий на основе использования знаний, полученных при изучении арифметического материала:

1. Системно-деятельностный подход, выражающийся в использовании технологии деятельностного метода обучения при проектировании уроков и введении алгебраических понятий.

2. Принципы преемственности в построении учебных заданий.

3. Соблюдение логики построения курса математики, как в содержательном, так и в процессуальном плане, на основе целей образования на начальной и основной ступени обучения.

В разработанных технологических картах задания этапа урока актуализация знаний относятся к арифметическому материалу, повторение которого служит содержательной основой реализации принципа преемственности в изучении элементов алгебры, что в свою очередь является пропедевтикой изучения систематического курса алгебры в последующих классах школы.

Заключение

Формально проблема преемственности в обучении математике решается через учебники, учебные, дидактические и методические пособия и нормативные документы, а также через контакты учителей, работающих на смежных ступенях обучения. Однако необходима разработка специальной методики преподавания, ориентированной на реализацию преемственности в обучении математике между пропедевтическими и систематическими курсами, в основу которой могут быть положены следующие пути и средства обеспечения преемственности:

- создание системы повторения;

- проведение повторительно-обобщающих уроков;

- применение обобщенных алгоритмов и приемов математической деятельности;

- широкое использование средств символической наглядности.

В процессе работы по теме исследования «Реализация принципа преемственности как условие достижения предметных результатов изучения алгебраического материала в начальной школе» решены поставленные задачи.

Охарактеризована сущность понятия «преемственность». Выявлено, что А.В. Батаршев, под преемственностью понимает последовательный переход от одной ступени образования к другой, выражающийся в сохранении и постепенном изменении содержания, форм, методов, технологий обучения и воспитания. Преемственность с позиции школы – это опора на те знания, умения и навыки, которые имеются у ребенка, меняется осмысление пройденного на более высоком уровне. О.М. Демиденко считает, что процесс усвоения знаний представляется как процесс установления связи между вновь приобретенными и старыми знаниями, между которыми имеются внутренние связи, совершенно независимо от того, на каком предмете и когда они были приобретены.

Е.Н. Сафронов в понятии «преемственность» выделяет производные понятия: вертикальный и горизонтальный аспекты преемственности:

- по вертикали – обеспечение «сквозных» линий в содержании, повторении, пропедевтики, разработки единых курсов изучения отдельных программ; создание на каждом этапе базы для последующего изучения учебного материала на более высоком уровне за счет расширения и углубления тематики, путем обеспечения «сквозных» линий;

- по горизонтали – создание условий для влияния на формирование у учащихся учебной мотивации, развития учебных действий, на качество их математической подготовки.

В процессе изучения психолого-педагогической литературы выделены педагогические условия реализации преемственности в обучении математике:

Изучение содержания начального курса математики показало, что арифметические действия занимают центральное место в начальном курсе математики. Элементы алгебры вводятся в связи с изучением арифметического материала и имеют пропедевтический характер.

Раскрыты методические аспекты изучения арифметического и алгебраического материала в начальной школе.

Начиная с 1 класса, дети знакомятся с преобразованиями числовых выражений, выполняемыми на основе применения изученных элементов арифметической теории (нумерации, смысла арифметических действий, свойств арифметических действий.).

Изучение элементов алгебры в начальном курсе математики дает возможность с начала обучения организовывать работу по формированию у детей таких основных математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Знакомство с возможностью использования буквы в качестве символа, обозначающего любое число из известной детям области чисел, помогает обобщению многих вопросов арифметической теории, служит хорошей подготовкой для дальнейшего знакомства с переменной функций. Решения задач алгебраическим способом позволяет совершенствовать всю систему обучения решению разнообразных текстовых задач.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опорой на предметы.

Охарактеризованы примеры содержательной преемственности в изучении арифметического и алгебраического материала.

Разработано методическое обеспечение процесса изучения алгебраического материала, которое представлено системой технологических карт уроков для 2 класса (ОС «Школа России) по темам, связанным с введением алгебраических понятий.

При проектировании уроков соблюдены педагогические условия реализации принципа преемственности в изучении алгебраических понятий на основе использования знаний, полученных при изучении арифметического материала.

В разработанных технологических картах задания этапа урока актуализация знаний относятся к арифметическому материалу, повторение которого служит содержательной основой реализации принципа преемственности в изучении элементов алгебры, что в свою очередь является пропедевтикой изучения систематического курса алгебры в последующих классах школы.

Решение задач привело к достижению основной цели исследования:

1) в изучении арифметического и алгебраического материала в начальном курсе математики имеет место содержательная горизонтальная преемственность;

2) условиями реализации преемственности в изучении арифметического и алгебраического материала в начальном курсе математики являются: системно-деятельностный подход, принципы преемственности в построении учебных заданий (принцип эвристической основы учебных заданий, принцип использования моделирования при выполнении заданий, принцип вариативности формулировки учебных заданий, принцип диалогической направленности в выполнении учебных заданий, принцип практической направленности в выполнении учебных заданий); соблюдение логики построения курса математики, как в содержательном, так и в процессуальном плане, на основе целей образования на начальной и основной ступени обучения.

3) разработано методическое обеспечение процесса изучения алгебраического материала во 2 классе на основе реализации принципа преемственности.

В процессе апробации разработанной системы уроков в практике работы МКОУ Шубинская СОШ Острогожского района Воронежской области (2 класс) выявлено, что заданные условия реализации преемственности между арифметическим и алгебраическим материалом способствуют достижению предметных результатов изучения элементов алгебры в начальной школе.

Список использованных источников информации

1. Батаршев А.В. Педагогическая система преемственности обучения в общеобразовательной и профессиональной школе / А.В. Батаршев. – СПб.: Питер, 2010. – 90 с.

2. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций / А.В.Белошистая. – М.,2007

3. Волошкина М.И. Активизация познавательной деятельности младших школьников на уроке математики // Начальная школа. – 2012. – №10. – С. 24-29.

4. Вострикова С.К. Методика преподавания математики в начальных классах / С.К. Вострикова. – М.: Педагогика, 2014. – 382 с.

5. Выготский Л.С. Мышление и речь // Собр. соч.: В 6 т. - М.: Педагогика, 1982. Т.2. С.5 - 361.

6. Гришина Г.Н. Реализация принципа преемственности дошкольного и начального общего образования в условиях современного образовательного пространства // Начальная школа. – 2014. - №1. - С. 25-26

7. Демиденко О.М. Психическое развитие в младшем школьном возрасте / О.М. Демиденко. – М.: Педагогика, 2013. – 412 с.

8. Дорофеев Г.В. Непрерывный курс математики в школе и проблема преемственности: [V-X кл.]/ Г.В. Дорофеев // Математика в школе. – 1998. – №5. С. 70-76.

9. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников / А.З. Зак. – М.: Дрофа, 2010. – 298 с.

10. Исаенко В.В. Некоторые вопросы методики обучения арифметике и алгебре в средней школе / В.В. Исаенко. – М.: Элиста, 2011. – 62 с.

11. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах / Н.Б. Истомина. – М.: Академия, 2008. – 421 с.

12. Истомина Н.Б. Преемственность при изучении чисел в начальной и основной школе / Н.Б. Истомина. – М.: Московский психолого-социальный институт, 2012. – 144 с.

13. Истомина Н.Б. Развивающее обучение. // Начальная школа. – 1996. – №12. С.30-34.

14. Комарова Е.А. Преемственность в обучении математике: Методическое пособие. – Вологда: Издательский центр ВИРО, 2007. – 108 с.

15. Кулибенко В.О. О свойствах математических понятий / В.О. Кулибенко. – М.: Наука, 2014. – 306 с.

16. Куракина М.М. О профессии математика / М.М. Куракина. – М.: Педагогика, 2009. – 246 с.

17. Лукьянчеко С.В. Простое изучение математики / С.В. Лукьянчеко. – СПб.: Питер, 2013. – 180 с.

18. Макаренко В.С. Методика обучения математике в начальной школе / В.С. Макаренко. – М.: Педагогика, 2010. – 375 с.

19. Мамедов О.И. Прелюдия к математике / О.И. Мамедов. – М.: Просвещение, 2012. – 213 с.

20. Математика. 2 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. /[М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

21. Математика. Рабочие программы. Предметная линия учебников системы «Школа России». 1 – 4 классы: пособие для учителей общеобразоват. организаций / [М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова и др.]. – М.: Просвещение, 2014.

22. Мендыгалиева А.К. Обеспечение преемственности в обучении математике учащихся начальной и основной школы. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.docme.ru/doc/1192682/660.obespechenie-preemstvennosti-v-obuchenii-matematike-ucha... (дата обращения: 21. 11.2016).

23. Мендыгалиева А.К. Осуществление преемственности в обучении математике в начальной и основной школе как актуальная педагогическая проблема // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 10-9. – С. 264-267;

24. Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. – 2010. – №11. – С. 14-18.

25. Петерсон Л.Г. Математика 1-4 классы. Методические рекомендации для учителя / Л.Г. Петерсон. – М.: Баллас, 2005. – 288 с.

26. Поляков Р.Б. Получение знаний как условие радостного обучения // Начальная школа. – 2014. – №11. – С. 4-7.

27. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа / [сост. Е.С. Савинов]. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2010. – 204 с.

28. Программы общеобразовательных учреждений. Математика: программа 1–4 классы. Поурочно-тематическое планирование: 1–4 классы / Н.Б. Истомина. – Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2013. – 160 с.

29. Пшикова О.Н. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / О.Н. Пшикова. – М.: Педагогика, 2009. – 426 с.

30. Пышкало А.М. Методические аспекты проблемы в преподавании математики // Преемственность в обучении математике: Пособие для учителей: Сб. ст. / Сост. А.М. Пышкало. - М.: Просвещение, 1978. С. 3 - 12.

31. Пятибратова И.И. Методика преподавания математики. Учебно-методическое пособие для подготовки к итоговому государственному экзамену. Часть II / И.И. Пятибратова; - Борисоглебский государственный педагогический институт – Борисоглебск: ФГБОУ ВПО «БГПИ», 2012. – 127 с.

32. Сафронов Е.Н. Методика обучения математике в средней школе / Е.Н. Сафронов. – М.: Просвещение, 2009. – 224 с.

33. Сборник рабочих программ «Школа России» 1-4 классы [Cост. С.В. Анащенкова, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С. И. Волкова]. М. Просвещение, 2011г. – 420 с.

34. Умнов П.И. Преемственность арифметического и алгебраического материала на уроках математики: автореф. дис .канд. пед. наук – Москва,2002. – 22 с.

35. Усанова Е.К. Преемственность дошкольного и начального общего образования. Социальная сеть работников образования [Электронный ресурс]. - Режим доступа: htt://nsportal.ru /mtvtv/2008/09/04/1221.html (дата обращения:15. 02.2016).

36. Ушакова Н.О. Изучение математики в начальной школе / Н.О. Ушакова. – М.: Академия, 2009. – 240 с.

37. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2010.

38. Цирулик Н.А. Дидактические условия успешного осуществления преемственности в бучении между начальными и средними классами: Дисс. на соис. уч. ст. канд. пед. наук (13.00.01). -М., 1981. – 183с.

39. Цукерман Г.А. Переход из начальной школы в среднюю как психологическая проблема / Г.А. Цукерман // Вопросы психологии. – 2001. – №5. – С. 25.

Приложения

Приложение 1

Технологическая карта урока 1

Тема: Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Цели: познакомиться с порядком выполнения арифметических действий при вычислениях; научиться находить значения числовых выражений со скобками.

Планируемые результаты:

Предметные: обучающиеся научатся соблюдать порядок действий при вычислениях; находить значение выражений, содержащих скобки; использовать графические модели при решении задач.

Личностные: оценивать себя и товарищей; умение обсуждать и анализировать работу одноклассников с позиции задач данной темы.

Метапредметные:

Регулятивные УУД: определять и формулировать цель деятельности на уроке с помощью учителя; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; проговаривать последовательность действий на уроке.

Познавательные УУД: положительная мотивация учебной деятельности и стремление к познанию нового материала; определять уровень усвоения учебного материала; использовать общие приемы в решении задач.

Коммуникативные УУД: слушать и понимать речь других; высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий; уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	Формируемые УУД
I.Организационный момент
Настраивает учащихся на работу. Проверяет готовность к уроку.	Демонстрируют готовность к уроку, слушают учителя.	Л. Мотивация к познанию.
II. Актуализация знаний
1.Сравнить и поставить знак , =. 12 – 6 * 14 – 5 12 + 10 * 10 + 12 13 – 9 * 15 – 9 16 – 8 * 11 – 3 2.Вычисли удобным способом: 7 + 2 + 8 + 3 18 + 11 + 2 + 9 6 + 2 + 8 + 4 17 + 5 + 5 + 3 3.Прочитай и вычисли. Из 17 вычесть разность чисел 10 и 3. Из 10 вычесть сумму чисел 3 и 6. К 9 прибавить сумму чисел 2 и 8. К 16 прибавить разность чисел 7 и 3.	Выполняют задания учителя, осуществляют действия контроля и самоконтроля.	Р. Организация своей деятельности, контроль и самоконтроль, принятие учебной задачи. П. Навыки устного счета
III. Самоопределение к деятельности
(На доске записаны примеры.) 20 – 9 + 8 = 19 20 – 9 + 8 = 3 -Рассмотрите примеры. Сравните. Чем они похожи? Чем отличаются? -Какое равенство верно? -Как выполняли действия? -В каком порядке нужно выполнить действия во втором равенстве, чтобы оно стало верным? -Какая тема урока?	Анализируют и сравнивают предложенные равенства. Отвечают на вопросы учителя. Формулируют тему урока.	П. Действия анализа, сравнения. К. Умение отвечать на вопросы, четко формулировать свои мысли. Р. Целеполагание.
IV. Открытие новых знаний
-Посмотрите, чем отличаются столбики примеров? 8 – 3 + 4 = 9 8 – (3 + 4) = 1 18 – 8 + 9 = 19 18 – (8 + 9) = 1 20 – 5 + 3 = 18 20 – (5 + 3) = 12 - Зачем же они нужны? Как выполняли действия в первом столбике? -Как будем выполнять действия во втором столбике, чтобы получить эти значения выражений? -Сравните порядок выполнения действий в первом и во втором столбиках. Что вы можете сказать -Что нам поможет указать на порядок выполнения действий? -Сформулируйте правило, как правильно выполнять действия в выражениях со скобками.	-В первом столбике нет скобок, а во втором есть. -По порядку. -Сначала выполним действие в скобках. В первом столбике мы выполняли действия по порядку, а во втором сначала в скобках. Скобки. Сначала выполняются действия в скобках, а потом по порядку.	П. Действия анализа, сравнения, обобщения; умение делать выводы. К. Умение участвовать в беседе. Л. Интерес к изучению предмета.
V. Первичное закрепление
-Сравните сделанные вами выводы с материалом в учебнике. Прочитайте вслух правило, выделенное в рамочку. с.38, №1.	Читают учебный материал. Коллективно выполняют с комментированием.	П. Работа с книгой. Р. Действия контроля и самоконтроля.
Физкультминутка
VI. Включение в систему знаний и повторений
1.Работа по учебнику с.38, №2. Организует работу над заданием. 2.Самостоятельное выполнение с последующей проверкой с.38, №3. 3. Решение задачи с.39, №5	Анализируют предложенные равенства, расставляют скобки, доказывают правильность своего решения. Один ученик выполняет на доске с комментированием, остальные – в тетрадях.	П. Моделирование, использование знаково-симво-лических средств. Р. Действия контроля и самоконтроля. Л. Самостоятельность.
VII. Рефлексия учебной деятельности. Домашнее задание
Проводит обобщающую беседу, выясняет, какие трудности вызвал учебный материал. Предлагает выполнить задание для самопроверки с. 39. Выдает домашнее задание, проводит инструктаж. с.39, №6.	Отвечают на вопросы. Устно вычисляют значение выражений.	Р. Анализ и оценивание своей деятельности, выявление причин успеха и неуспеха.

Приложение 2

Технологическая карта урока 2

Тема: Числовые выражения.

Цели: познакомиться с понятием «числовое выражение»; научиться читать и записывать числовое выражение в два действия, находить значения выражений со скобками и без них, записывать решение составной задачи выражением; научиться использовать в речи термины «числовое выражение», «значение выражения».

Планируемые результаты:

Предметные: обучающиеся научатся читать и записывать числовые выражения в два действия; находить значения выражений со скобками и без них; устанавливать порядок выполнения действий в числовых выражениях со скобками и без скобок; использовать в речи термины «числовое выражение», «значение выражения.

Личностные: элементарные умения в проведении самоконтроля и самооценки результатов своей учебной деятельности; элементарные умения самостоятельного выполнения работы и осознание личной ответственности за проделанную работу; элементарные правила общения (знание правил общения и их применение).

Метапредметные:

Познавательные УУД: обучающиеся научатся сравнивать числовые выражения со скобками и без них; собирать материал по заданной теме; применять знания и способы действий в измененных условиях.

Регулятивные УУД: обучающиеся научатся понимать, принимать и сохранять учебную задачу и решать ее в сотрудничестве с учителем в коллективной деятельности; контролировать и оценивать свою работу, ее результат, делать выводы; в сотрудничестве с учителем находить несколько способов решения учебной задачи, выбирать наиболее рациональный.

Коммуникативные УУД: строить речевое высказывание в устной форме, использовать математическую терминологию; уважительно вести диалог с товарищами, стремиться к тому, чтобы учитывать разные мнения.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	Формируемые УУД
I. Организационный момент
Настраивает учащихся на работу. Проверяет готовность к уроку.	Демонстрируют готовность к уроку, слушают учителя.	Л. Мотивация к познанию.
II. Актуализация знаний
1.Решите примеры, используя правило порядка действий. (25 – 5) – 6 20 + (43 – 40) 18 – (69 – 60) 77 + (13 – 10) 2.Расставь знаки действий так, чтобы получились верные равенства: 35 * 15 * 15 = 5 29 * 10 * 9 = 30 70 * 30 * 20 = 80 3. Запиши: - сумму чисел 5 и 10, - разность чисел 12 и 8, - разность чисел 80 и 50, - сумму чисел 38 и 2, - разность чисел 90 и 86, - сумму чисел 63 и 7.	По цепочке подходят к доске, читают пример, называя числа при сложении и вычитании. Коллективная проверка. Показывают карточки «+», «–».	Р. Действия контроля и самоконтроля, принятие учебной задачи. П. Навыки устного счета, действия анализа.
III. Самоопределение к деятельности
Запишите с помощью цифр и знаков. 17 больше 9. 11 увеличить на 5. К 36 прибавить 20 получится 56. Из суммы чисел 13 и 8 вычесть 6. 12 равно 12. Сумма чисел 35 и 7 меньше 45. К 22 прибавить разность чисел 16 и 8. Из 9 вычесть 7 – получиться 2. -На какие группы можно разделить эти записи? -Назовите равенства.	Один ученик работает у доски, другие – в тетрадях -Равенства. Неравенства.	П. Использование знаково-символических средств, действия анализа, сравнения, обобщения. К. Умение вести диалог, отвечать на вопросы, слушать других участников образовательного процесса. Р. Целеполага-
-Назовите неравенства. -Все ли записи удалось отнести к той или иной группе? -Почему? -А кто-нибудь может сказать, как называются такие записи?	-Нет. Высказывают предположения.	ние. Л. Мотивация к учению.
IV. Открытие новых знаний
Работа по учебнику с.40, №1. -Рассмотрите записи. Как можно их назвать? -Прочитайте эти выражения, используя математическую терминологию при сложении и вычитании. -Прочитайте правило, приведенное ниже. -Как вы поняли, что такое выражение? -Что значит «найти значение выражения?» -Найдите значение выражений.	-Числовые выражения. Читают числовые выражения по цепочке. Числа, соединенные знаками «+» или «–». Сосчитать, вычислить, решить.	П. Умение работать с книгой. Р. Действия контроля. Л. Проявление активности. К. Составление речевых высказываний на основе прочитанного.
Физкультминутка
V. Первичное закрепление
1.Запишите выражения и найдите их значение. Из числа 21 вычесть разность чисел 7 и 3. К числу 13 прибавить разность чисел 9 и 2. Из 37 вычесть разность чисел 18 и 8. К 30 прибавить сумму чисел 49 и 1. 2. №3, с.40. Организует работу учащихся, наблюдает за правильностью выполнения. 3. №4, с.40. -Прочитайте задачу. Рассмотрите выражения. Какое из них подходит к данной задаче? Почему вы так думаете? -Как нужно изменить условие задачи, чтобы для ее решения подходили остальные выражения?	Записывают с комментированием выражения, находят их значения. Самостоятельно выполняют задание. Осуществляют проверку. Анализируют условие задачи и данные выражения. Выбирают правильное решение, обосновывая выбор. Изменяют условие задачи в соответствии с выражением.	П. Использование знаково-символи-ческих средств, моделирование, действия анализа и синтеза, составление плана решения учебной задачи и следование ему. Р. Действия контроля и самоконтроля, при не-обходимости коррекция действий. К. Умение вести беседу, высказывать свое мнение, уважение чужого мнения. Л. Самостоятельность
VI. Включение в систему знаний и повторений
Самостоятельная работа. Тест. 1.Какая из записей не является числовым выражением? А) 51 + (12 – 7) Б) a + b В) 68 + 10 Г) 36 – 0 2.Значение какого числового выражения равняется 9? А) 14 – (3 + 9) Б) 44 + (5 – 4) В) 21 + 0 – 20 Г) 60 – (55 – 4) 3.Какое числовое выражение подходит к следующей записи: «Из суммы чисел 27 и 16 вычесть 7»? А) (27 – 16) + 7 Б) (27 + 16) + 7 В) (27 + 16) – 7 Г) (27 – 7) + 16 4.Как правильно прочитать данное выражение: (41 – 7) + 6? А) Из суммы чисел 41 и 7 вычесть 6. Б) К сумме чисел 41 и 7 прибавить 6. В) Из разности чисел 41 и 7 вычесть 6. Г) К разности чисел 41 и 7 прибавить 6. 5.Какое числовое выражение является решением данной задачи: «В коробке было 16 конфет. Аня взяла 4 конфеты, а Саша 3 конфеты. Сколько конфет осталось в коробке?» А) 16 – 4 + 3 Б) 16 – 4 – 3 В) 16 + 4 + 3 Г) 16 + 4 – 3 6.Вставь пропущенные знаки «+» и «–», чтобы равенство стало верным: 7 * 3 * 2 = 6. А) 7 + 3 – 2 = 6 Б) 7 – 3 – 2 = 6 В) 7 + 3 + 2 = 6 Г) 7 – 3 + 2 = 6 7.Найдите верное неравенство. А) 12 + 5 В) 40 – 5 34 Г) 26	Обучающиеся выполняют тест и проводят самопроверку, используя ответы на доске: 1Б, 2Г, 3В, 4Г, 5Б, 6Г, 7В.	П. Умение работать с тестом, действия анализа, синтеза, сравнения. Р. Принятие и сохранение учебной задачи, самоконтроль, коррекция учебной деятельности. Л. Самостоятельность
VII. Рефлексия учебной деятельности. Домашнее задание
-Что нового узнали на уроке? Что было трудно? -Как вы оцените свою работу на уроке? Выдает домашнее задание, проводит инструктаж. с.40, №5	Отвечают на вопросы. Анализируют свою деятельность на уроке	Р. Анализ и оценивание своей деятельности, выявление причин успеха и неуспеха.

Приложение 3

Технологическая карта урока 3

Тема урока: Буквенные выражения.

Цели: познакомиться с новым понятием «буквенные выражения»; научиться вычислять значение буквенных выражений, совершенствовать вычислительные навыки.

Планируемые результаты:

Предметные: читать и записывать буквенные выражения, находить их значения; получат возможность совершенствовать вычислительные навыки; использовать математическую терминологию при составлении и чтении математических равенств; развивать внимание, логическое мышление.

Личностные: проявлять доброжелательность, внимание, помощь, в ходе учебной деятельности.

Метапредметные:

Регулятивные УУД: определять и формулировать цель деятельности на уроке с помощью учителя; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; проговаривать последовательность действий на уроке.

Познавательные УУД: осуществлять поиск необходимой информации на страницах учебника; уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; преобразовывать информацию из текстовой формы в схематическую.

Коммуникативные УУД: уметь оформлять свои мысли в устной форме; учить работать в паре, группе, выполнять роли контролера и исполнителя; слушать и понимать речь других.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	Формируемые УУД
I. Организационный момент
Настраивает учащихся на работу. Проверяет готовность к уроку.	Демонстрируют готовность к уроку, слушают учителя.	Л. Мотивация к познанию.
II. Актуализация знаний
1.Логическая задача. Три первых урока были: математика, русский язык, чтение. Математика не первый, чтение - не первый и не третий. Какой порядок уроков? 2.Устный счет. 6 увеличить на 7. 32 – 30. 28 уменьшить на 7. Из 17 вычесть 9. К 9 прибавить 2. 63 – 60. 9 увеличить на 9. 59 – 58. К 5 прибавить 9. 3.Выпишите только двузначные числа в порядке возрастания. Если задание выполнено верно, получится слово. 11 13 14 18 21 б у К в а -Что вы знаете про букву? -Где можем найти нужную букву? Какие алфавиты знаете? -Все эти знания пригодятся нам сегодня на уроке. 4.Найти значение выражений, подставляя вместо окошек числа 5 и 8. □ + 20 60 + □ 52 + □ 48 – □ 70 – □ □ – 3 81 + □ 30 – □ -Как называются полученные выражения? -Как вы думаете, в математике есть только числовые выражения, или еще есть другие? -Готовы ли вы узнать, какие еще есть выражения?	Обсуждают решение в парах. Слушают учителя; выполняют устно арифметические действия сложения и вычитания, записывают значения выражений в тетрадь. Один ребенок у доски выбирает карточки с числами. -Читают выражение и его значение по цепочке, используя математическую терминологию. Отвечают на вопросы учителя.	П. Действия анализа, построение логической цепочки рассуждений, навыки устного счета. Р. Действия контроля и самоконтроля, принятие учебной задачи. К. Умения вести диалог с учителем, обоснованно высказывать свое мнение, слушать чужое мнение и уважительно к нему относиться. Л. Личная заинтересованность в изучении математики.
III. Самоопределение к деятельности
На доске записаны выражения с пропусками: 16 – □ = 10 12 + □ = 20 15 + □ = 35 11 + а -Найдите значений этих выражений. -Почему не получилось найти значение последнего выражения? -Предположите, о чем пойдет речь сегодня на уроке? Что мы узнаем? Чему научимся?	Вычисляют пропущенные числа. Вступают в диалог с учителем и одноклассниками. Выделяют и осознают то, что предстоит усвоить.	П. Действия анализа, сравнения, обобщения. К. Умение вести диалог, отвечать на вопросы, слушать. Р. Целеполагание. Л. Мотивация к учению.
IV. Открытие новых знаний
-Проверьте свои предположения. Прочитайте тему и задачи урока на с. 76 учебника. -Рассмотрите рисунок на с. 76. Какое выражение стоит на пеньке? -Подставьте в окошко число, которое держит ежик. Прочитайте выражение и вычислите его значение. -Какое выражение получится, если подставим число, которое держит зайчик?	Читают учебный материал. Подставляют числа и вычисляют значения выражений.	П. Умение работать с книгой, использование знаково-симво-лических средств, действия анализа, обобщение, умение делать выводы и обосновывать их.
-Лиса? -Белочка? -Что можно сказать о выражении с окошком?	Делают вывод.
Физкультминутка
V. Первичное закрепление знаний
1.Работа с учебником с. 76, №1. -Почему в последнее выражение нельзя подставить числа 7, 8, 9? -Прочитайте текст рядом с красной чертой. -Чем в математике заполняют окошки? Знакомит детей с некоторыми буквами латинского алфавита. (Показ на экране). a – «а», b – «бэ», с – «цэ», d – «дэ», k – «ка», x – «икс», y – «игрек». -Прочитай выражения k + 7 и k – 7 и найди их значения, если k =10, k = 7. -Как выполнить решение данных выражений? 2.Презентация. -Замените в примерах окошки на буквы и прочитайте выражения. -Выражения, состоящие из чисел, называются числовыми. -Как называются выражения, в записи которых есть буквы? Работа в парах. На экране выражения: 8 + d 7 + 9 12 – 6 c – 5 4 – 5 k + 2 7 – x 18 + 2 -Прочитайте друг другу в парах эти выражения. Разделите все выражения на 2 группы и запишите их в тетрадь в два столбика. -Какие два столбика у вас получатся? -А сейчас внимательно посмотрите на экран. Сравните свои результаты с результатом на экране. 3.Работа по индивидуальным карточкам Карточка №1 1.Подчеркни буквенное выражение: 25 + 8 46 – а 44 – 20 2.Найди значение выражения 20 – а, если, а = 10, а = 7. Карточка №2. 1.Подчеркни буквенное выражение: 3 + c 7 + 6 12 – 5 2.Найди значение выражения 36 + b, если b = 3, b = 10. 3.При а = 17 разность а – 8 равна: А) 5, Б) 9, В) 6, Г) 8? Карточка №3. 1.Подчеркни буквенное выражение: 15 + 7 29 – а 36 + 3 2.Найди значение выражения а – 8, если, а= 17, а = 28. 3.Сколько всего ответов может иметь выражение 2 – b? А) одно, Б) два, В) три, Г) сколько угодно. 4.При а = 8 сумма а + 22 равна: А) 30, Б) 40, В) 16, Г) 14.	Выполняют необходимые действия, логически рассуждают, отвечают на вопросы учителя. Выполняют задание, отвечают на вопросы. Работают в парах; осуществляют проверку выполненного задания путем сличения с образцом на экране. 2 ученика выполняют задание у доски, остальные в тетрадях. Самостоятельно работают по карточкам.	П. Действия анализа, сравнения, обобщения и систематизации, совершенствование вычислительных навыков. Р. Действия контроля и самоконтроля, самопроверки. Л. Умение работать в паре и самостоятельно. К. Уважение к мнению напарника, устная коммуникация, направленная на достижение результата.
VI. Рефлексия учебной деятельности. Домашнее задание
Подводит итог урока. Выясняет, что нового узнали учащиеся на уроке, что вызвало затруднения, что понравилось на уроке. Выдает домашнее задание, проводит инструктаж. с.77 №4, №5.	Отвечают на вопросы, обобщают, делают выводы.	Р. Анализ и оценивание своей деятельности, выявление причин успеха и неуспеха.

Приложение 4

Технологическая карта урока 4

Тема: Решение уравнений методом подбора.

Цели: познакомиться с понятием «уравнение», научиться читать, записывать и решать уравнения способом подбора; совершенствовать вычислительные навыки, умения составлять верные равенства, решать текстовые задачи.

Планируемые результаты:

Предметные: обучающиеся познакомятся с понятием «уравнение»; обучающиеся научиатся читать, записывать и решать уравнения способом подбора.

Личностные: уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности; проявлять доброжелательность, внимание, помощь, в ходе учебной деятельности.

Метапредметные:

Регулятивные УУД: определять и формулировать цель деятельности на уроке с помощью учителя; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; проговаривать последовательность действий на уроке.

Познавательные УУД: осуществлять поиск необходимой информации на страницах учебника; уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; преобразовывать информацию из текстовой формы в схематическую.

Коммуникативные УУД: уметь оформлять свои мысли в устной форме; учить работать в паре, выполнять роли контролера и исполнителя; слушать и понимать речь других.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	Формируемые УУД
I. Организационный момент
Настраивает учащихся на работу. Проверяет готовность к уроку.	Демонстрируют готовность к уроку, слушают учителя.	Л. Мотивация к познанию.
II. Актуализация знаний
1.Составьте верные равенства, используя следующие выражения: (с.80, №2) 18 + 2; 34 – 14; 56 – 50; 70 – 50; 13 – 7. 2.Решите буквенные выражения. 67 – а, если, а = 3, 8, 30, 40, 7. с + 8, если с = 5, 9, 60, 42, 54. 3. Заполни окошки:  + 6 = 13  + 4 = 11 14 –  = 8 13 –  = 8  – 5 = 12  – 9 = 9 16 –  = 8 17 –  = 9  + 9 = 14  + 3 = 12  – 7 = 16  – 5= 6	Выполняют задания устно. Класс контролирует правильность решения, в случае необходимости исправляет ошибки.	П. Совершенствование вычислительных навыков. Л. Проявление активности, самостоятельности. Р. Действия контроля, коррекции.
III. Самоопределение к деятельности
-Решите равенства, записанные на доске. 16 – 9 = 8+  = 11 х + 5 =11 -Как называется запись? -Вы сегодня исследователи и на уроке вы узнаете, что это за равенство. На доске 3 карточки Числовое выражение Выражение с «окошком» Уравнение -Соедините стрелками соответствующие карточки. - Как называется эта запись? -Решите уравнение. -Сформулируйте тему урока.	Отмечают, что не знают, как решить 3-е равенство. Соединяют записанные равенства с карточками. Отмечают, что решать уравнения они не умеют. Формулируют тему урока.	П. Действия анализа, сравнения, обобщения. К. Умение вести диалог, отвечать на вопросы, слушать. Р. Целеполагание. Л. Мотивация к учению.
IV. Открытие новых знаний
-Мы начинаем наши исследования. Организует беседу таким образом, чтобы привести детей к выводу о том, что уравнения похожи на выражения с окошками, что решить его можно таким же способом. Подводит детей к формулировке определения «уравнение». Предлагает сравнить сделанные выводы с материалом в учебнике (с. 80). -Вам удалось выяснить, что такое уравнение? -Что такое уравнение?	Включаются в беседу с учителем, в ходе которой выясняют, что такое уравнение, что значит «решить уравнение» и как это сделать. Читают сведения об уравнении на с.80 в учебнике.	К. Умение вступать в беседу с учителем, слушать и уважать собеседников. П. Умение делать несложные выводы, действия сравнения, обобщения.
Физкультминутка
V. Первичное закрепление
Работа с учебником с.80, №1. 1, 2 столбики выполняются с записью на доске. 3, 4 столбики выполняются самостоятельно, с последующей взаимопроверкой в парах.	Индивидуальная работа у доски с комментированием. Самостоятельная работа. Взаимопроверка в парах.	Л. Самостоятельность. Р. Действия контроля.
VI. Включение в систему знаний и повторений
1.Работа с учебником с.81, №6. -Прочитайте условие. -О ком говорится в задаче? -Что говорится о каждом? -Запишите условие кратко и решите самостоятельно. 2.Задание для самопроверки с. 81.	Анализируют задачу, составляют план решения. Самостоятельно решают задачу. Осуществляют самопроверку. Выполняют (устно).	П. Умение работать с книгой, моделирование. Р. Действия самоконтроля, составление плана решения учебной задачи и следование ему. Л. Самостоятельность.
VII. Рефлексия учебной деятельности. Домашнее задание
-Достигли ли мы цели, которую ставили в начале урока? -Что такое уравнение? -Что значит решить уравнение? Выдает домашнее задание, проводит инструктаж. с.81, №5, №7.	Отвечают на вопросы учителя.	Р. Анализ и оценивание своей деятельности, выявление причин успеха и неуспеха.