"Квадратные уравнение"

Методическое пособие

по алгебре

8 класс

«Квадратные уравнения»

Материал может быть использован учителями математики при изучении нового материала и отработке практических навыков по основной теме курса алгебры 8 класса «Квадратные уравнения», а так же при закреплении в 9-11 классах. Данное пособие способствует интеграции информационных знаний с предметом «Математика», развитию личностных качеств, формирующих самооценку и самодостаточность учащихся, реализации деятельностного подхода в обучении.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Тема «Квадратные уравнения» - основная тема курса алгебры 8 – 11 классов. Навык решения квадратных уравнений необходим каждому ученику для итоговой аттестации за курс основной и старшей школы. Умение решать квадратные уравнения является одним из базовых умений для приобретения новых.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д). При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.

Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения, простейшие рациональные и иррациональные уравнения, применять рациональные уравнения к решению задач.

Основные результаты

1. правильно употреблять и понимать термины:

• квадратное уравнение
• корни уравнения
• решить уравнение
• старший коэффициент, второй коэффициент, свободный член
• полное квадратное уравнение
• неполное квадратное уравнение
• приведенное квадратное уравнение
• корень квадратного трехчлена
• дискриминант квадратного уравнения
• рациональное уравнение
• иррациональное уравнение
• биквадратное уравнение
• параметр, уравнение с параметром
• посторонний корень
• равносильные уравнения
• равносильные и неравносильные преобразования уравнений

2. знать и уметь применять на практике алгоритмы решения

• квадратных уравнений(полных, неполных, приведенных)
• рациональных уравнений
• иррациональных уравнений

3. понимать, что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач

4. в результате решать текстовые задачи с помощью составления уравнений

Тема «Квадратные уравнения» актуальна в современном мире; это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Также в последнее время в материалах итоговой аттестации, ЕГЭ по математике предлагаются уравнения и неравенства второй степени, другие виды уравнений, которые решаются именно с помощью формул квадратных уравнений или с помощью теоремы Виета.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»:

I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап – «Решение полных квадратных уравнений».

Решение квадратных уравнений

1. Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x² + 9x = 0;

2. x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;

2. Если же

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 7x = 0;

2. 5x² + 30 = 0;

3. 4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0 , где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;

2. Имеют ровно один корень;

3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Д искриминант

П усть дано квадратное уравнение Тогда дискриминант — это просто число.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D

2. Если D = 0, есть ровно один корень;

3. Если D 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x² − 8x + 12 = 0;

2. 5x² + 3x + 7 = 0;

3. x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a=1, b=−8, c=12;

D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;

D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;

D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;

2. 15 − 2x − x² = 0;

3. x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;

D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:

15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;

D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

Наконец, третье уравнение:

x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;

D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Решение биквадратного уравнения

Практическая часть

Карточки по вариантам

Ответы:

В-1. (В-17) 1)х_1,2 = ±5; 2) х_{1 =} 1; х₂ = 0,5; 3) х₁ =-1; х₂ = -3; 4) х_1,2 =± 3; х_3,4 = ± 1;

5) нет решений.

В-2. (В-18) 1)х₁ = 0; х₂=-5; 2) х_{1 =} -0,5; х₂ = -2; 3) х₁ =-2; х₂ = 5; 4) х_1,2 =± 2;

х_3,4 = ± 1; 5) х₁ = -2; х₂ = -9;

В-3. (В-19) 1)х₁ =0; х₂ = 3;2) х_{1 =} 3; х₂ = 0,5; 3) х₁ =1; х₂ = -5; 4) х_1,2 =± 3;

х_3,4 = ± 2; 5) х₁=2; х₂=-6;

В-4. (В-20) 1)х_1,2 = ± ; 2) х_{1 =} 2; х₂ = 0,75; 3) х₁ =-10; х₂ = 4; 4) х_1,2 =± 1;

5) х_1,2=±2;

В-5. (В-21) 1)х_1,2 = ±5; 2) х_{1 =} - ; х₂ = -3; 3) х₁ =-1; х₂ = 2; 4) х_1,2 =± ;

5) х₁=1; х₂=5;

В-6. (В-22) 1)х₁ = 0; х₂=7;2) х_{1 =} 4; х₂ = -0,5; 3) х₁ =-1; х₂ = 6; 4) х_1,2 =± 2;

5) нет решений.

В-7. (В-23) 1)х₁ = 0; х₂=5;2) х_{1 =} -1; х₂ = ; 3) х₁ =1; х₂ = -4; 4) х_1,2 =± 2; х_3,4 = ± ; 5) нет решений.

В-8. (В-24) 1)х_1,2 = ±6; 2) х_{1 =} -1; х₂ = -5; 3) х₁ =6; х₂ = 3; 4) х_1,2 =± 3; х_3,4 = ± ;

5) х₁=-5; х₂=2;

В-9. (В-25) 1)х_1,2 = ±3; 2) х_{1 =} -1; х₂ = -0,5; 3) х₁ =-1; х₂ = 5; 4) х_1,2 =± 2;

5) х₁=4; х₂=-3;

В-10. 1)х₁ = 0; х₂=-16; 2) х_{1 =} -3; х₂ = 0,5; 3) х₁ =-5; х₂ = 3; 4) х_1,2 =± 7; х_3,4 = ± 1;

5) х₁=9; х₂=3;

В-11. 1)х₁ = 0; х₂=-11; 2) х_{1 =} 1; х₂ =-1 ; 3) х₁ =-6; х₂ = 2; 4) х_1,2 =± ;

5) х₁=2; х₂=-0,6;

В-12. 1)х_1,2 = ±13; 2) х_{1 =} 1; х₂ = -0,5; 3) х₁ =8; х₂ = 2; 4) х_1,2 =± ; х_3,4 = ± ;

5) нет решений.

В-13. 1)х_1,2 = ±5; 2) х_{1 =} ; х₂ = -0,5; 3) х₁ =-2; х₂ = -3; 4) х_1,2 =± ;

х_3,4 = ± ; 5) х₁=-5; х₂=4;

В-14. 1)х₁ = 0; х₂=-4; 2) х_{1 =} ; 3) х₁ =-1; х₂ = -7; 4) х_1,2 =± ; 5) х₁=1;

х₂=-1,5;

В-15. 1)х₁ = 0; х₂=11;2) х_{1 =} 0,25; 3) х₁ =3; х₂ = 4; 4) х_1,2 =± ; 5) х₁=2; х₂=-1;

В-16. 1)х_1,2 = ±12; 2) х_{1 =} 1; х₂ = - ; 3) х₁ =5; х₂ = 3; 4) х_1,2 =± ; 5) х₁=7; х₂=3 ;

Заключение

Методическое пособие по разделу математики «Квадратные уравнения» можно использовать при подготовке к экзаменам, на дополнительных занятиях и при самостоятельном изучении.

В пособии даются краткие теоретические сведения, решение уравнений. Примеры подобраны с различной степенью трудности: от простых до достаточно сложных и требующих нетрадиционных методов их решения. В принципе это краткий математический справочник, который поможет ученику самостоятельно и глубоко изучить тему «Квадратные уравнения и способы их решения».

Данное пособие может не только помочь пополнить, систематизировать, углубить знания по алгебре, но и способствовать формированию умений применять приемы сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитию творческих способностей учащихся путем решения заданий более сложного уровня.

Таким образом, собранным материалом могут воспользоваться учащиеся 8-9 классов для изучения и закрепления решения квадратных уравнений.

Список литературы:

1. Макарычев Ю.Н.. Миндюк Н.Г., Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М.,

2. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики: 4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.

3. https://www.time4math.ru/?ysclid=lr7t9raemv766862969