Квадратный корень. Историческая справка

Квадратный корень

Древний Вавилон

• Понятие квадратных корней числа возникло около IV тысяч лет назад в Вавилоне.
• Были составлены таблицы квадратов чисел и величины квадратных корней из числа. Но вычисления были приближенными

Вавилонская табличка

(около 1800—1600 г. до н. э.)

с вычислением

Древняя Греция

Герон Александрийский – древнегреческий ученый, подробно описавший методы извлечения квадратных корней (в I веке до н.э.)

Пример 1 метода:

Найти . 1360 не имеет рационального корня.

Решение:

1. Возьмем корень с малой погрешностью , имеющее корень 37.

2. 1360 : 37 =

3. 37 +  =

• : 2 = .

Получено число с погрешностью.

Повторив операции еще раз, погрешность можно уменьшить

Пример 2 метода:

Исходное число представляется как  ,

где а 2  – ближайший точный квадрат, и считают по формуле: 

Например,  

Обозначение корня:

• Латинским словом Radix, затем сокращенно R (в эпоху Возрождения)
• Точкой перед выражением или числом. В скорописи точки заменились черточками, позднее символом (XV век)
• После введения знака V (К. Рудольфом) корень обозначали так:

V 2 или V 3 (С. Стевин)

• (1626 год, А. Жирар)
• Некоторое время корень обозначали . Позднее горизонтальная черта с галочкой были соединены (1637 год, Р. Декарт)
• Запись корня, полностью совпавшая с сегодняшней, (1690 год, в книге Ролля)

Древний Китай

Трактат «Математика в девяти книгах» (X—II веках до н. э.).

В 4 книге «Шао-гуан» (метод извлечения квадратных и кубических корней) излагаются правила извлечения квадратных и кубических корней.

Правила сформулированы специально для счетной доски

Средневековая Индия

• Извлечение квадратного корня в Индии, основано на разложении квадрата двучлена, но при этом не применялся метод Горнера. 
• Квадратный корень обозначался слогом «му» - от слова «мула»

Индийский математик Бхаскара (XII в.) отмечал, что положительное число имеет два квадратных корня – положительный и отрицательный , и нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа

С помощью правил:

и

производил преобразования квадратичных числовых иррациональностей и упрощал довольно сложные выражения

Пример 1:

.

= =

=

Пример 2: .

Бхаскара доказал следующие тождества:

1)

2) - аналогично первому случаю

Задача Магавира: «Определенное количество кабанов- учетверенный квадратный корень из числа кабанов в стаде – находится в лесу; часть – удвоенный квадратный корень из остатка, умноженный на 4, движется к холму, другая часть – 9, умноженное на квадратный корень из половины остатка, идет по берегу реки и еще 56 кабанов осталось. Сколько всего кабанов?»

Решение: x - общее число кабанов:

Пусть , тогда

Приняв , получим .

Получаем х = 200.

Ответ: 200.

Средняя Азия

Извлечение квадратного корня (например, при решении квадратных уравнений) встречается и в сочинении среднеазиатского математика аль-Хорезми

Теорема Пифагора

Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа.

Площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна , а в другом –  . Значит,

Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками М (х1; у1) и N (x2; y2) координатной плоскости (рис. 2) выражается формулой MN=  

y N

y 2

y 2 -y 1

у1

M х 2 - х 1

О х 1 х 2 x

Пример 1 .  Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени – 16 м.

Решение. По теореме Пифагора имеем:

Т.к. , то , т.е. расстояние

Пример 2. Найдем расстояние между точками М (3;1) и N (8;-11)

координатной плоскости.

Решение:

12 (х 1 ;у 1 )

16 (х 2 ;у 2 )

равно 20.