Лекции множества

Множества.

Действия над множествами.

В повседневной жизни различные совокупности предметов называют одним словом: совокупность документов – архивом, собрание книг – библиотекой и т. д.

Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения.

Определение. Предметы, объекты, из которых состоит данное множество, называются его элементами.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, …

Элементы множества обозначаются малыми буквами латинского алфавита: a, b, c, …

Запись: – элемент a принадлежит множеству B,

– элемент х не принадлежит множеству C.

Определение. Конечными называются множества, состоящие из конечного числа элементов.

ПРИМЕР. Множество студентов в аудитории – конечное множество.

Определение. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

ПРИМЕР. Множество звёзд на небе – бесконечное множество.

Определение. Множества, не имеющие ни одного элемента, называются пустыми, обозначаются символом .

Способы задания множеств:

1) Перечисляются все элементы множества, при этом элементы множества записываются в фигурных скобках: Этот способ применяется только для конечных множеств.

2) Указывается характеристическое свойство множества – свойство, которым обладают все элементы данного множества. Например, – множество A состоит из тех элементов, которые являются корнями указанного квадратного уравнения. Этот способ задания применим и к конечным, и к бесконечным множествам.

Определение. Множества А и В называются равными, если они содержат одни и те же элементы.

ПРИМЕР. Множества и равны, так как содержат одинаковые элементы: .

Определение. Говорят, что множество B является подмножеством множества A, если каждый элемент из множества B является элементом и множества A:

ПРИМЕРЫ.

1) Пусть А – множество канцелярских товаров в аудитории, В – множество шариковых ручек в аудитории, тогда

2) Перечислим все подмножества множества :

, , , .

Замечания.

1) Если , то , .

2) Пустое множество является подмножеством любого множества: .

3) Знак можно ставить только между множествами: , .

4) Знак можно ставить только между элементом множества и самим множеством: .

Пусть все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества, которое назовём универсальным и обозначим буквой U. Для геометрической иллюстрации операций над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а остальные множества – в виде овалов, в частности кругов.

Операции над множествами:

1) Пересечение множеств A и B – это множество элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В:

.

ПРИМЕРЫ. 1) ;

2)

2) Объединение множеств A и B – это множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В:

.

ПРИМЕРЫ. 1) ;

2) .

3) Разность двух множеств A и В – это множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В:

.

ПРИМЕР.

4) Определение. Если множество B является подмножеством множества А, то разность называют дополнением множества В до множества А и обозначают

ПРИМЕР.

В случае числовых множеств запись означает дополнение множества А до множества R действительных чисел (или всей числовой прямой).

ПРИМЕР. Даны числовые множества , . Найти , , , , , .

=(–2;7), =[0;4],

=(–2;0), =(4;7),

=(–∞;–2] (4;+ ∞), =(–∞;0) [7;+ ∞).

ЗАДАЧА. Самостоятельно выполнить операции над множествами.

а) Для множеств , найти , , , , , .

б) Для множеств найти , , , .

5) Декартовое произведение множеств – это множество , состоящее из всех упорядоченных наборов (кортежей) вида , где , .

ПРИМЕР. Для множеств имеем

,

.

Видим, что в общем случае .

Замечания.

1) Если одно из множеств пусто, то и их декартово произведение считается пустым.

2) Множество координат точек координатной плоскости является декартовым произведением , где R – множество действительных чисел – координаты точек по оси Ox, Oy соответственно.

, .

Пример решения задач

В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

Решение:

Обозначим:

U – множество всех туристов (универсальное множество);

А – множество туристов, знающих английский язык;

В – множество туристов, знающих французский язык.

Проиллюстрируем графически:

Необходимо найти количество туристов, не знающих ни одного языка, т.е. количество элементов множества D = U \ (AU B) (на рисунке отмечено серым).

Дано:

m(U) = 100 (всего туристов);

m(A) = 70 (знают английский);

m(B) = 45 (знают французский);

m(AIB) = 23 (знают оба языка).

Найти:

m(D) = m(U) -m(AUB)

Количество туристов, знающих хотя бы один язык:

m(AU B) = m(A) = m(B) - m(AI B) = 70 + 45 - 23 = 92;

Количество туристов, не знающих ни одного языка:

m(D) = m(U) - m(AU B) = 100 - 92 = 8

Ответ: 8 человек.

Домашнее задание

Ответить на вопросы письменно в тетради

1. Определение множества

2. Перечислите виды множеств

3. Перечислите операции над множествами

Решить задачу и записать в тетрадь

Четырнадцать спортсменов участвовали в кроссе, 16 – в соревнованиях по плаванию, 10 – в велосипедных гонках. Восемь участников участвовали в кроссе и заплыве, 4 – в кроссе и велосипедных гонках, 9 – в плавании и велосипедных гонках. Во всех трех соревнованиях участвовали три человека. Сколько всего было спортсменов?

8