Лекция по теме: "Понятие производной. Дифференцирование сложной функции"

Законспектировать и разобрать примеры!

Тема: Понятие производной. Дифференцирование сложной функции

Цель работы: научиться дифференцировать.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.

знать:

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

Понятие производной функции

Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Производной функции ƒ (x) в точке x₀ называется отношение приращения функции ∆ƒ (x₀) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается ƒ’(x₀).

(1)

Производную функции y = ƒ (x), x є ( a;b ) в точке x обозначают ƒ’(x), y’(x), , , причём все эти обозначения равноправны. Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция, имеющая производную в точке x₀, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную ƒ’(x) можно рассматривать как функцию на (a ;b).

Таблица производных элементарных функций

Правила дифференцирования

На практике применяют следующие правила дифференцирования

1.

2. ,

3. , ;

4. ,

где u и υ обозначают дифференцируемые функции переменной x, C - константа.

Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть дана сложная функция , где . Если функция дифференцируема в некоторой точке х₀, а функция определена на множестве значений функции и дифференцируема в точке , то сложная функция в данной точке х₀ имеет производную, которая находится по формуле

или

Примеры:

Пример 1. Вычислить , если .

Решение:

Пример 2. Вычислить , если

Решение:

Пример 3. Вычислить , если

Решение:

1) ;

2) данная функция является суперпозицией трех функций, поэтому имеем