Лекция по теме: Представление информации в компьютере

8

ТЕМА «Основы представления информации в компьютере»

Понятие о системах счисления.

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов.

Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д. Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев, завязывали узелки. Позднее люди вынуждены стали группировать, как вы это сейчас делаете, сотнями, десятками, единицами. И для того, чтобы правильно читать и записывать числа были придуманы СС

• Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

• Алфавит системы счисления – это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.

• Цифры – это любой символ (знак), входящий в алфавит данной системы счисления.

• Основание – количество цифр в позиционной системе счисления.

Системы счисления

Непозиционные

Позиционные

• Система счисления называется непозиционной – когда значения цифры не зависит от её положения в числе.

• Системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа называются позиционными системами счисления.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

• простота выполнения арифметических операций;

• ограниченное количество символов (цифр) для записи любых чисел.

Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число, не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и так далее).

Рис.1

Алгоритм перевода чисел в десятичную систему счисления

Для перевода числа из какой-либо системы счисления в десятичную необходимо:

1) пронумеровать разряды числа справа налево, начиная с нуля;

2) умножить каждую цифру числа на основание его системы счисления, возведенное в степень номера этого разряда;

3) сложить полученные числа.

(метод умножения)

Пример 1: Перевести двоичные числа 11101_2, 1011_2, 10000000₂в десятичные:

Решение:

1).

Разряды 4 3 2 1 0

1 1 1 0 1₂ = 1*2⁰+ 0*2¹+1*2²+1*2³+1*2⁴=

Теперь вычислим полученную сумму:

= 1 + 0 + 4 + 8 + 16 = 29₁₀

Итак, из исходного двоичного числа 11101 получили десятичное число 29.

2). из исходного двоичного числа 1011₂ – получим десятичное число 11₁₀

3 2 1 0

1 0 1 1₂ = 1*2 + 1*2 + 0*2 +1*2 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11₁₀

3). 1 0 0 0 0 0 0 0 = 1* 2 = 128₁₀

Пример 2: 3AF₁₆ = 3*16² + 10*16¹ +  15*16⁰= 768+160+15 = 943₁₀. 

Пример 3: 7764₈ = 7*8³ + 7*8² + 6*8¹ + 4*8⁰= 3584 + 448 + 48 + 4 = 4084₁₀.

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в любую систему счисления.

Для перевода десятичного числа в другую систему счисления необходимо:

1. делить нацело с остатком число на нужное основание системы счисления;

2. получившееся частное (целое) тоже делить нацело с остатком на это же основание;

3. продолжать деление до тех пор, пока частное не получится равное одному;

4. выписать остатки в порядке, обратном их получению.

(метод деления)

Пример 1: Число 22₁₀ перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

Ответ: 10110₂

Пример 2: Число 571₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение:

Ответ: 1073₈

Пример 3: Число 7467₁₀ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

Ответ:7467₁₀ =1D2B₁₆

Алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

1. Сгруппировать разряды группами по 3 числа, справа налево

2. Затем каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный эквивалент, если цифры обозначены двумя цифрами добавить нужное количество 0 впереди числа, в целой части и сзади, в десятичной части (см. таблицу соответствия).

3. Записать получившиеся цифры в том же порядке, в котором записаны группы разрядов.

(метод триад)

Пример 1:

Перевести 1011100110₂ в восьмеричную систему счисления:

Решение

Ответ: 1011100110₂=1346₈

Пример 2: Число 1001011₂ перевести в восьмеричную систему счисления.

Алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

1. разбить данное число (в целой части справа налево, и слева направо в десятичной части) на группы по 4 цифры в каждой (в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями);

2. рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

(метод тетрад)

Пример 1: Перевести 101110011000₂ в шестнадцатеричную системы счисления:

Решение

Ответ: 101110011000₂=В98₁₆

Пример 2. Число 1011100011₂ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Алгоритм перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления.

Для того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр двоичной системы счисления (см. таблицу соответствия).

Пример 1: Число 531₈ перевести в двоичную систему счисления.

Решение: 101 011 001₂

Пример 2: Число 532₁₆ перевести в двоичную систему счисления.

Решение: 0101 0011 0010₂

Пример 3: Число ЕЕ8₁₆ перевести в двоичную систему счисления.

Решение: 1110 1110 1000₂

Алгоритм перевода чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления.

Правило: При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

(метод посредника)

Пример 1. Число FEA₁₆ перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число 6635₈ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Дать определения системы счисления, основания системы счисления, алфавит.

2. Какие классы систем счисления принято выделять? Чем они отличаются?

3. Сформулировать правило перевода двоичных чисел в десятичные.

4. Сформулировать правило перевода десятичных чисел в двоичные.

5. Сформулировать правило перевода шестнадцатеричных чисел в десятичные.

6. Сформулировать правило перевода восьмеричных чисел в двоичные.

Приложение 1.

Справочный материал

Значения основания Х в степени n:

Степени числа 2:

2 =1 2 =2 2 =4 2 =8 2 =16 2 =32

2 =64 2 =128 2 =256 2 =512 2 =1024

Степени числа 8:

8 =1 8 =8 8 =64 8 =512 8 =4096 8 =32768

Степени числа 16:

16 =1 16 =16 16 =256 16 =4096 16 =65536

Таблица соответствия цифр в различных системах счисления