ОГЭ 2023 Февраль Математика Вариант 3

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

2. Тип 2 № 509419 

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен  Найти сторону основания пирамиды.

3. Тип 3 № 320189 

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

4. Тип 4 № 320210 

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

5. Тип 5 № 77369 

Решите уравнение 

6. Тип 6 № 504824 

Найдите значение выражения 

7. Тип 7 № 119972 

Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции  ax² + 2x + 3. Найдите a.

8. Тип 8 № 27958 

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна  где m − масса воды в килограммах,  скорость движения ведeрка в м/с, L − длина верeвки в метрах, g − ускорение свободного падения (считайте  м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

9. Тип 9 № 99600 

Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

10. Тип 10 № 509287 

На рисунке изображён график функции  Найдите a.

11. Тип 11 № 77500 

Найдите точку максимума функции 

12. Тип 12 № 520994 

а)  Решите уравнение: 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Тип 13 № 509363 

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E  =  6EA. Точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что  AD  =  12, AA₁  =  14.

а)  Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 4 : 3.

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.

14. Тип 14 № 514625 

Решите неравенство 

15. Тип 15 № 506959 

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Спёрбанке Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» и открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.

Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без денег.

А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

16. Тип 16 № 505568 

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а)  Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б)  Найдите площадь треугольника АСВ.

17. Тип 17 № 484632 

При каких значениях параметра a система  имеет решения?

18. Тип 18 № 501734 

а)  Чему равно число способов записать число 1292 в виде  где числа   — целые, 

б)  Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде  где числа   — целые,  ровно 130 способами?

в)  Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде  где числа   — целые,  ровно 130 способами?