Гармонические колебания

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

1. Понятие гармонического колебания

Гармонические колебания – колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному, косинусоидальному) закону.

Уравнение гармонического колебания имеет вид:

или , где

– отклонение колеблющейся величины в текущий момент времени t от среднего за период значения (например, в кинематике – смещение, отклонение колеблющейся точки от положения равновесия);

– амплитуда колебания (максимальное отклонение);

– циклическая частота, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с (радиан/с или градус/с);

– полная фаза колебания;

– начальная фаза колебаний.

2. Сложение гармонических колебаний.

Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Например, движение шарика, брошенного под углом к горизонту – два независимых взаимно-перпендикулярных движения: равномерное по горизонтали и равнопеременное по вертикали, то есть одно и то же тело может участвовать в двух и более движениях колебательного типа. Под сложением гармонических колебаний понимают определение закона результирующего колебания.

Рассмотрим два гармонических колебания:

и

Вопрос: как сложить эти два гармонических колебания?

Так как комплексные числа геометрически представляются векторами на плоскости, то все векторные физические величины могут быть охарактеризованы при помощи комплексных чисел. При этом комплексные числа могут быть взяты в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, в зависимости от конкретного случая. Для ответа на наш вопрос, рассмотрим комплексное число, записанное в показательной форме, а именно: . Замечая, что , будем иметь: , где – комплекс.

Пусть и

Представив числа в алгебраической форме, можно найти сложение этих чисел: , а затем перевести в показательную форму.

3. Сложение гармонических колебаний графически.

Рассмотрим две функции: и

Построим графики функций, используя Excel:

4. Пример: два генератора, которые дают (при стандартной частоте) соответственно напряжения:

соединены последовательно. Определить напряжение на зажимах цепи, то есть суммарное напряжение. Рассчитать комплекс сопротивления цепи переменного тока, если

Решение: для нахождения суммарного напряжения , вычислим сумму соответствующих комплексных чисел – комплексов напряжений:

Переведем полученное число в показательную форму:

Так как 1-й четверти, то

• Суммарное напряжение

.

Особенно широкое применение комплексные числа получили в электротехнике при расчете электрических цепей.