Использование элементов истории математики по теме « Степень с натуральным показателем»

Тема: Использование элементов истории математики по теме « Степень с натуральным показателем.»

Тематический план (в соответствии с темой проекта).

Учебный план изучения темы «Степень с натуральным показателем».

Утверждаю Согласовано Рассмотрено

Директор СОШ № __ Зам. директора по УВР на заседании ШМО

__________ Ф.И.О. ­­­­­­ _____________ Ф.И.О. протокол № ___ от ______

Руководитель ШМО__________Ф.И.О.

Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики

на 2012/2013 учебный год (фрагмент)

Класс: 7

Учитель: ФАМИЛИЯ ИМЯ ОТЧЕСТВО

Количество часов: на учебный год: 102 часа, в неделю: 3 часа

Плановых контрольных уроков: I ч. – 2; II ч. – 2; III ч. – 3; IV ч. – 3.

Планирование составлено на основе источников:

1. А.Г.Мордкович. Алгебра – 7. В двух частях. Учебник для учащихся общеобразовательных школ./15-е издание, Мнемозина,2011.

2. Алгебра,7класс. А.Г.Мордкович. Методическое пособие для учителя.- М.:Мнемозина,2008

3. Алгебра-7. Л.А.Александрова. Контрольные работы. /Под редакцией А.Г.Мордковича.

4. Алгебра-7. Л.А.Александрова. Самостоятельные работы./Под редакцией А.Г.Мордковича.

5. Алгебра-7. Е.Е.Тульчинская. Блиц опрос.

Тематическое планирование составила: _ФИО Дата 2012 Роспись _____________

Условные обозначения: ПУУД – познавательные УУД; ПЛ УУД - познавательные логические УУД; ПО УУД - познавательные общеучебные УУД; РУУД – регулятивные УУД; КсУУД – коммуникативные УУД сотрудничество; КрУУД – коммуникативные УУД для общения: развитие устной и письменной речи; Ц1 – Ц 5 – цель 1 – 5; ДЗ – домашнее задание; УПД – учебно-познавательная деятельность

Фрагменты тематического планирования (Содержание, цели, познавательные УУД)

темы «Степень с натуральным показателем».

Содержание, цели, познавательные УУД темы «Степень с натуральным показателем».

Тематика докладов для учащихся по вопросам истории математики по теме « Степень с натуральным показателем»

1)«Арифметика» Диофанта Александрийского (описывает первые натуральные степени чисел).

2) Книга Михель Штифель «Полная арифметика» (1544 г.) .
3)«Сумма знаний…» Луки Пачоли.

4) Никола Шюке (ввёл в свою сим­волику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени).

5) Раффаэле Бомбелли «Алгебра» XVI в.

6) Симон Стевин (1548—1620).

7)Рене Декарт «Геометрия» (1637).

8) Готфрид Вильгельм Лейбниц XVII в.

Материалы по истории математики – приложение к индивидуальному проекту.

История возникновения степени числа

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» (1544 г.) сыграла в этом значительную роль.

«Сумма знаний…» Луки Пачоли была одним из первых опубликованных сочинений. Но математики продолжали искать более простую систему обозначений так как его обозначения были не удобны.

Француз, бакалавр медицины Никола Шюке (? - около 1500 г.) смело ввёл в свою символику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента.

В XVI в. итальянец Раффаэле Бомбелли в своей «Алгебре» использовал ту же идею. Он обозначал неизве­стное специальным символом 1, а символами 2, 3,... - его степени. Обозначе­ния Бомбелли также оказали влияние и на символику нидерландского математика Симона Стевина (1548—1620). Он обозначал неиз­вестную величину кружком О, внутри которого указывал показатели степени. Стевин предложил называть степени по их показателям - четвёртой, пятой и т. Д. и отверг Диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб».

У Рене Декарта в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а²,а³,... Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а² и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей. Немецкий ученый Лейбниц считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей и применял знак а².

1. Диофа́нт Александри́йский (др.-греч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; лат. Diophantus) — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э.

Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Лист из Арифметики (рукопись XIV века). В верхней строке записано уравнение: .

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ἀριθμός) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной — символом (сокращение от δύναμις — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ (сокращение от ἴσος — «равный»). Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики, выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант.

1. Михаэль Штифель (нем. Michael Stifel, около 1487, Эсслинген-на-Неккаре — 19 апреля 1567, Йена) — немецкий математик, один из изобретателей логарифмов, активный деятель протестантской Реформации.

Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени» (лат. exponens), причём подробно анализировал и целые, и дробные показатели. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени. Штифель переработал (фактически написал заново) книгу алгебраиста (коссиста) Кристофа Рудольфа, и использованные там современные обозначения арифметических операций с этого момента укоренились в математике (1553).

В этой же книге он впервые высказал идею, которая позже легла в основу теории логарифмов, и поэтому считается одним из их изобретателей: сопоставить геометрическую и арифметическую прогрессии, благодаря чему трудоёмкое умножение на второй шкале можно заменить простым сложением на первой. Штифель, однако, не опубликовал никаких расчётных таблиц для реализации своей идеи, и слава первооткрывателя логарифмов досталась Неперу.

1. Фра Лука Бартоломео де Пачоли или Пачоло (итал. Fra Luca Bartolomeo de Pacioli), (Борго Сан Сеполькро, 1445 — Борго Сан Сеполькро, 19 июня 1517) — итальянский математик, один из основоположников современных принципов бухгалтерии.

Пачоли родился около 1445 в небольшом городке Борго Сан-Сеполькро на границе Тосканы и Умбрии. Подростком он был отдан на обучение в мастерскую знаменитого художника Пьеро делла Франческа. Здесь его заметил великий итальянский зодчий Леон Батиста Альберти, который в 1464 году рекомендовал молодого человека богатому венецианскому купцу Антонио де Ромпиази в качестве домашнего учителя. В Венеции Пачоли посещает лекции знаменитого математика Доменико Брагадино в школе Риальто. В 1470 году он закончил свою первую книгу, которую написал для своих воспитанников — учебник коммерческой арифметики. В этом же году он оставил Венецию и перебрался в Рим, где был принят Альберти и поселился в его доме. Однако через два года Пачоли покинул Рим и принял монашеский постриг, став францисканцем.

С 14 октября 1477 года по 11 декабря 1480 года — профессор в Перуджинском университете, где читает лекции по алгебре, геометрии. Развёрнутые конспекты двух курсов: «Алгебра» и «Пять правил Платона» были оформлены им в виде отдельной книги, которую автор посвятил «своим любезным ученикам, отличным и славным юношам Перуджи». Затем в течение восьми лет он живёт в Заре (ныне — Задар в Хорватии), где занимается теологией и математикой, иногда совершая по делам ордена поездки по другим городам Италии.

В 1494 году Пачоли публикует на итальянском языке математический труд под названием «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» (Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita), посвящённый герцогу Урбинскому Гвидобальдо да Монтефельтро. В этом сочинении излагаются правила и приемы арифметических действий над целыми и дробными числами, пропорции, задачи на сложные проценты, решение линейных, квадратных и отдельных видов биквадратных уравнений. Примечательно то, что книга написана не на обычной для учёных трудов латыни, а на итальянском языке.

В арифметической части «Суммы» излагаются приёмы выполнения арифметических действий; эта часть опирается на многочисленные «Книги абака», принадлежавшие разным авторам. Алгебраические задачи, решаемые в «Сумме», не выходят за пределы круга задач на линейные и квадратные уравнения, рассматривавшегося в арабских трактатах по «алгебре и альмукабале»; в Европе эти задачи были известны по «Книге абака» Леонардо Пизанского (1180—1240). Из задач, привлёкших внимание математиков последующих поколений, следует отметить задачу о разделе ставки при незавершённой игре, которую сам Лука решил неправильно. Пожалуй, самое существенное нововведение Пачоли состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи — своеобразной предшественницы последующего символического исчисления. Книга содержит таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии, а также руководство по венецианской двойной бухгалтерии. Что касается геометрической части Суммы, она следует за «Практической геометрией» Леонардо Пизанского.

В 1496 по приглашению герцога Лодовико Сфорца приезжает в Милан и возглавляет только что созданную при Миланском университете кафедру математики. В Милане знакомится с Леонардо да Винчи, с которым в дальнейшем очень сдружился. В Милане Пачоли написал послание «О божественной пропорции», адресованное герцогу Лодовико Сфорца, а Леонардо выполнил к нему иллюстрации. Трактат был завершён 14 декабря 1498 года. К нескольким рукописным экземплярам трактата, вручённым властительным особам, прилагался набор правильных многогранников и других геометрических тел, о которых брат Лука говорит, что изготовил их собственноручно. Сохранилось две рукописи этого трактата — одна в Публичной библиотеке в Женеве, вторая — в Амброзианской библиотеке в Милане.

В 1499 году, после оккупации Милана французской армией, Лука Пачоли и Леонардо да Винчи уехали во Флоренцию, после чего их пути разошлись. В последующие годы Пачоли читает лекции в Пизе (1500), Перудже (1500), Болонье (1501—1502) и Флоренции (1502—1505).

В 1508 году в Венеции Пачоли издаёт латинский перевод «Начал» Евклида, принадлежащий Джованни Кампано. Этот перевод, сделанный ещё в 1259 году с арабского языка, уже издавался в 1482 году и затем несколько раз переиздавался, но издание изобиловало опечатками и ошибками. Пачоли отредактировал перевод и по этой редакции, снабжённой многочисленными комментариями, читал свои университетские лекции.

В 1509 году в Венеции была издана ещё одна книга Пачоли: «Божественная пропорция. Сочинение, весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или другие математические предметы извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки».

В 1508 году, благодаря своему давнему знакомству с папой Юлием II, получает должность местоблюстителя монастыря в родном городе Сан-Сеполькро. Однако в декабре 1509 г. два монаха его монастыря передали генералу ордена письмо, в котором указывали на то, что «маэстро Лука неподходящий человек, чтобы управлять другими», и просили освободить его от административных обязанностей. Но поддержки у начальства они не нашли, и в феврале 1510 года Лука Пачоли становится полноправным приором родного монастыря. Впрочем, распри внутри монастыря продолжались и далее.

В 1514 году на некоторое время уезжает в Рим по вызову только вступившего на папский престол Льва X и вновь возвращается в Сан-Сеполькро, где и умирает в 1517 году.

1. Шюке Никола
   Шюке (Chuquet) Никола, французский математик 15 в. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах» («Triparty en la science des nombres», 1484, изд. Rome, 1881), где он ввёл в употребление отрицательные и нулевые показатели степеней. Символика Ш. приближается к современной (см. Знаки математические).

2. Рафаэль Бомбелли (итал. Rafael Bombelli; ок. 1526, Болонья — 1572, вероятно, Рим) — итальянский математик, инженер-гидравлик. Известен тем, что ввёл в математику комплексные числа и разработал базовые правила действий с ними.

3. Си́мон Сте́вин (нидерл. Simon Stevin, 1548 (по др. сведениям 1549), Брюгге — 1620, Гаага или Лейден) — фламандский математик, механик и инженер.

Подробности о жизни Стевина до нас не дошли. Он начинал как купец из Брюгге, участвовал в голландской революции. Не установлены точные даты его рождения и смерти, неясно даже, в каком городе он умер (то ли Гаага, то ли Лейден). Известно, что он много путешествовал по торговым делам, затем некоторое время был личным советником принца Морица Оранского.

Симон Стевин стал известен прежде всего своей книгой «Десятая» (De Thiende), изданной на фламандском и французском языках в 1585 г. Именно после неё в Европе началось широкое использование десятичных дробей. Десятичные индо-арабские цифры укоренились в Европе намного раньше, с XIII века, а вот дроби использовались либо натуральные, либо шестидесятеричные, либо масштабированные до целых чисел. Например, когда Региомонтан составил первую чисто десятичную таблицу тангенсов (1467), она содержала целые числа, соответствующие радиусу круга 100000 единиц. Правда, Иммануил Бонфис, Виет и некоторые другие математики уже начали использовать десятичные дроби, но правилом это ещё не стало.

Трактат Стевина содержал практическое описание арифметики десятичных дробей, а также пылкую и хорошо аргументированную пропаганду полезности их применения, в частности, в системах мер и монетном деле.

Десятичную запятую (в Англии — точку) ещё не придумали, и Стевин для ясности указывал над каждой цифрой (или после неё) заключённый в кружок её номер разряда, положительный для целой части, отрицательный для мантиссы.

Другая заслуга Стевина — разрыв с античной традицией и полное уравнение в правах иррациональных чисел. В своём трактате «Арифметика» он определил число как «меру количества некоей вещи» и провозгласил, что «единица делима», и что нет никаких иррациональных, неправильных и т. д. чисел. С некоторой осторожностью он использовал и отрицательные числа.

Вслед за Оремом Стевин ввёл дробные (хотя в данном случае — не десятичные) показатели степени (например, 2/3).

Стевин сформулировал правило векторного сложения сил — правда, только для частного случая перпендикулярных сил. В общем случае правило открыл Роберваль.

Стевин — автор одного трактата по теории музыки («Vande spiegheling der singconst», на фламандском языке), который не был опубликован при жизни автора

1. Рене́ Дека́рт (фр. René Descartes [ʁəˈne deˈkaʁt], лат. Renatus Cartesius — Картезий; 31 марта 1596, Лаэ (провинция Турень), ныне Декарт (департамент Эндр и Луара) — 11 февраля 1650, Стокгольм) — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике,.

В 1637 году вышел в свет главный философско-математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»).

В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.

Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль).

Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере».

Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам.

В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых. Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения, хотя и не доказывает его.

Декарт исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд «механических» (спирали, циклоида). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует.

Комплексные числа ещё не рассматривались Декартом на равных правах с положительными, однако он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней уравнения равно его степени. Отрицательные корни Декарт по традиции именовал ложными, однако объединял их с положительными термином действительные числа, отделяя от мнимых (комплексных). Этот термин вошёл в математику. Впрочем, Декарт проявил некоторую непоследовательность: коэффициенты a, b, c… у него считались положительными, а случай неизвестного знака специально отмечался многоточием слева.

Все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер. Декарт пока ещё не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты; решение уравнения он понимает как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. Этот анахронизм был вскоре отброшен его учениками, прежде всего — английскими, для которых геометрические построения — чисто вспомогательный приём.

Книга «Метод» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что издана она была на французском, а не на латинском языке. Приложение «Геометрия» было, однако, тут же переведено на латинский и неоднократно издавалось отдельно, разрастаясь от комментариев и став настольной книгой европейских учёных. Труды математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта.

1. Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц^[1][2][3][4] (нем. Gottfried Wilhelm Leibniz или нем. Gottfried Wilhelm von Leibniz, МФА (нем.): [ˈɡɔtfʁiːt ˈvɪlhɛlm fɔn ˈlaɪbnɪts]^[5]или [ˈlaɪpnɪts]^[6]; 21 июня (1 июля) 1646 — 14 ноября 1716) — немецкий философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед^[1][2][4]. Основатель и первый президент Берлинской Академии наук^[2][7][8], иностранный член Французской Академии наук

Лейбниц ввёл следующие термины: «дифференциал», «дифференциальное исчисление», «дифференциальное уравнение», «функция», «переменная», «постоянная», «координаты», «абсцисса», «алгебраические и трансцендентные кривые», «алгоритм» (в смысле, близком к современному)^[1]. Хотя математическое понятие функции подразумевалось в тригонометрических и логарифмических таблицах, которые существовали в его время, Лейбниц был первым, кто использовал его явно для обозначения любого из нескольких геометрических понятий, производных от кривой, таких как абсцисса, ордината, тангенс, хорда и нормаль^[122].

Лейбниц сформулировал понятия дифференциала как бесконечно малой разности двух бесконечно близких значений переменной величины и интеграла как суммы бесконечного числа дифференциалов и дал простейшие правила дифференцирования и интегрирования уже в своих парижских рукописных заметках, относящихся к октябрю и ноябрю 1675 года; здесь же у Лейбница впервые встречаются современные знаки дифференциала d и интеграла ∫^[9]. Определение и знак дифференциала были даны Лейбницем в опубликованном в 1684 году первом мемуаре по дифференциальному исчислению «Новый метод максимумов и минимумов…»^[9]. В этом же сочинении были приведены без доказательств правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного, любой постоянной степени, функции от функции (инвариантность первого дифференциала), а также правила отыскания и различения (с помощью второго дифференциала) максимумов и минимумов и отыскание точек перегиба^[9]. Дифференциал функции был определён как отношение ординаты к подкасательной, умноженное на дифференциал аргумента, величина которого может быть взята произвольно; вместе с тем Лейбниц указал, что дифференциалы пропорциональны бесконечно малым приращениям величин и что на основании этого легко получить доказательства его правил^[9].

За сочинением 1684 года последовал ряд других сочинений Лейбница, в своей совокупности охватывающих все базовые отделы дифференциального и интегрального исчислений^[9]. В этих работах Готфрид Вильгельм Лейбниц дал определение и знак интеграла (1686), подчёркивая взаимно обратный характер обеих главных операций анализа, указал правила дифференцирования общей показательной функции и многократного дифференцирования произведения (формула Лейбница, 1695), а также положил начало интегрированию рациональных дробей (1702—1703)^[1][9]. Кроме того, Лейбниц придавал принципиально важное значение применению бесконечных степенных рядов для изучения функций и решения дифференциальных уравнений (1693)^[9].

По причине не только более ранних публикаций, но и существенно более удобных и прозрачных обозначений сочинения Лейбница о дифференциальном и интегральном исчислениях оказали на современников значительно большее влияние, чем теория Ньютона^[49]. Даже соотечественники Ньютона, долгое время предпочитавшие метод флюксий, постепенно усвоили более удобные обозначения Лейбница^[45].

Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника^[11]. Современная двоичная система была полностью описана им в работе Explication de l’Arithmétique Binaire^[11]. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о Книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111; он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени^[123]. Лейбниц, возможно, был первым программистом и информационным теоретиком^[124]. Он обнаружил, что если записывать определённые группы двоичных чисел одно под другим, то нули и единицы в вертикальных столбцах будут регулярно повторяться, и это открытие навело его на мысль, что существуют совершенно новые законы математики^[51]. Лейбниц понял, что двоичный код оптимален для системы механики, которая может работать на основе перемежающихся активных и пассивных простых циклов^[51]. Он пытался применить двоичный код в механике и даже сделал чертёж вычислительной машины, работавшей на основе его новой математики, но вскоре понял, что технологические возможности его времени не позволяют создать такую машину^[51]. Про­ект вычислительной машины, работающей в двоичной си­стеме, в которой использовался прообраз перфокарты, Лейбниц изложил в труде, написанном ещё в 1679 году (до того, как он подробно описал дво­ичную арифметику в трактате 1703 года Explication de l’Arithmétique Binaire)^[125]. Единицы и нули в воображаемой машине были представ­лены соответственно открытыми или закрытыми отверсти­ями в перемещающейся банке, через которую предполага­лось пропускать шарики, падающие в желоба под ней^[125]. Лейбниц писал также о возможности машинного моделирования функций человеческого мозга

Урок-путешествие «Обобщение и систематизация знаний по теме «Свойства степени с натуральным показателем».

Тема урока: Свойства степени с натуральным показателем;

Цель: Обобщение и систематизация знаний по теме «Свойства степени с натуральным показателем»;

Задачи:

образовательные:

выявление качества и уровня овладения знаниями и умениями, полученными на предыдущих уроках по теме «Свойства степени с натуральным показателем», обобщение материала урока как системы знаний;

развивающие:

формирование умений собирать и обрабатывать информацию на заданную тему; представлять информацию с помощью технологии мультимедиа; развитие познавательной деятельности учащихся; развитие умений объяснять, сопоставлять, сравнивать;

воспитательные:

воспитание общей культуры учащихся, развитие творческих способностей учащихся; воспитание интереса к поисковой, исследовательской деятельности, создание условий для реальной самооценки учащихся;

Формы организации урока:

Индивидуальные;

Групповые;

Фронтальные.

Оборудование: проектор, демонстрационный экран и компьютер Маршрутные листы. Карточки с заданиями. Лист-кроссворд.

Краткое обоснование целесообразности использования ИТ на данном уроке:

используя информационные технологии на уроке математики, учитель помимо основных целей и задач урока математики решает следующие задачи:

оптимизировать учебный процесс, сделать его более привлекательным для учащихся;

привить навыки сознательного и рационального использования компьютеров в своей учебной деятельности;

выработать потребность обращаться к компьютеру при решении задач из любой предметной области.

При действиях со степенями... все неизменные различия математи­ческих действий исчезают, все можно изобразить в противоположной форме. Степень - в виде корня.., корень.. - в виде степени. Умножение или деление степеней какой-нибудь величины превращается в сложение или вы­читание их показателей. Каждое число можно рассматривать и изо­бражать в виде степени всякого другого числа... Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики хотя бы только отрицательные и дробные степени, - и он увидит, что без них далеко не уедешь.

Энгельс Ф.

Структура урока строится на сочетании этапов: организационного, постановки цели, оперирования знаниями и способами деятельности в стандартных и нестандартных ситуациях, подведения итогов и формулирования выводов, определения и разъяснения домашнего задания.

Ход урока:

Организационный момент. Постановка цели.

Учитель: Дорогие ребята! Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Степень с натуральным показателем и ее свойства». Мы отправляемся в необычное путешествие. Перед началом которого необходимо запастись грузом теоретических знаний, чтобы легче было в пути.

Актуализация знаний.

Итак. Первыми в списке арифметических действий идут сложение, вычитание, умножение и деле­ние. Представление о возведении в степень как о самостоятельной операции у математиков сложилось не сразу, хотя задачи на вычисле­ние степеней встречаются в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья.

Своеобразно описывает первые натураль­ные степени чисел Диофант Александрийский в своей знаменитой «Арифметике»:

«Все числа… состоят из неко­торого количества единиц; ясно, что они про­должаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Слайд презентации о Диофанте, рассказ ученика

Учитель: Немецкие алгебраисты Средневековья стремились сократить число символов и ввести единообразные обозначения. Большую роль в этом сыграла книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» (1544 г.).

В числе первых опубликованных сочинений была «Сумма знаний…» Луки Пачоли. Но его обозначения были не удобны и математики продолжали искать более простую систему обозначений.

Француз бакалавр медицины Никола Шюке (? - около 1500 г.) показатель степени писал мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента. 12x³ в записи Шюке выглядело как 12³. Шюке смело ввёл в свою сим­волику не только нулевой, но и отрицательный пока­затель.

Ту же идею использовал в XVI в. итальянец Раффаэле Бомбелли в своей «Алгебре». Неизве­стное он обозначал специальным символом 1, а его степени — символами 2, 3,... Обозначе­ния Бомбелли оказали влияние и на символику нидерландского математика Симона Стевина (1548—1620). Он обозначал неиз­вестную величину кружком О, а внутри его ука­зывал показатели степени. Стевин отверг Диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб» и предложил называть степени по их показателям - четвёртой, пятой и т. д..

Слайд презентации о Стевине, рассказ ученика

Учитель: Современное обозначение степеней а², а³,... мы находим у Рене Декарта.

Слайд презентации о Декарте, рассказ ученика

Учитель: Вопросы:

1. Сформулируйте определение степени числа с натураль­ным показателем.

2. Сформулируйте основное свойство степени.

3. Сформулируйте правило умножения и правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

4. Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

5. Сформулируйте правило возведения в степень произведе­ния и правило возведения в степень степени.

Формулы на экране и на плакате на стене, что облегчает процесс проговаривания правил:

a,b- любое, к,nN

*=

=

*

(=

=1

Учитель: Виет разделил все величины на ступени. К первой ступени он отнёс «длины», ко­торые можно складывать и вычитать. В результате получится величина той же ступени. Но если перемножить две величины первой ступени, то результатом будет «площадь» — величина второй ступени, или величина двух измерений. Следующей ступенью были «объёмы».

Виет обозначил все величины буква­ми алфавита. Поскольку величины бывают из­вестными и неизвестными, то для обозначения первых он выбрал согласные В, С, D, ..., а для вторых — гласные А, Е, ... (Сегодня мы обозна­чаем параметры задачи первыми буквами латинского алфавита а, b, с, ..., а неиз­вестные буквами из конца алфавита - х, у, z.).

Обобщение знаний.

Ребята! Перед Вами – маршрутный лист, в котором задания расположены в порядке нашего следования от пункта к пункту. И сейчас мы определим, на чем мы отправимся в путешествие.

Решаем устно предложенные примеры по порядку и отыскиваем в таблице на вашем маршрутном листе ответ. Поднимаем руки. Работаем активно. Если ответ найден, отмечаем фломастером букву над этим числом. (После решения всех примеров читаем слово: «РАКЕТА»).

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Учитель: Проверим готовность навигационного оборудования. Для этого ответьте, пожалуйста, на вопросы и приведите примеры:

1. Каким числом (положительным или отрицательным) яв­ляется:

а) степень положительного числа;

б) степень отри­цательного числа с четным показателем;

в) степень отрица­тельного числа с нечетным показателем?

1. Сравните с нулем квадрат произвольного числа.

Перед началом полета необходимо выполнить расчеты и за работу берется Конструкторское бюро. Ребята садятся за компьютеры(можно использовать калькулятор):

Учитель: Выполнить расчеты траекторий ракеты для посадки в районы приземления:

Найти с помощью калькулятора или компьютера(Пуск/Программы/Стандартные/Калькулятор) значения выражений, составив программы:

32,5=32,5*= = = = 36259082,03125;

-12,3= -12,3*= 151,29;

(-4,8)= -4,8* = = = 530,8416;

6,3-259,67= 6,3*= = -259,67=-9,623.

Учитель: Все получилось хорошо, все расчеты выполнены и мы взлетаем. А вот во время полетов первых спутников в космос расчеты траекторий были затруднены по причине того, что таблиц Брадиса для их вычислений (по воспоминаниям летчика-космонавта Г.Т. Берегового) было недостаточно. И тогда все проблемы были решены с появлением электронно-вычислительных машин.

Слайд презентации о Лебедеве, рассказ ученика

На экране компьютера - заставка «Срочно прибыть на планету Гармония»

Учитель: А сейчас мы совершаем приземление на планету Гармония. Наше присутствие здесь – всемирная миссия от всех землян. Для решения жизненно важных проблем жителей Гармонии нам необходимо решить следующие задания:

Упростите выражение:

I вариант:

; ; ; ; .

II вариант:

; ; ; ; .

Учитель: Выполняем задания, сверяемся с ответами, выведенными на экран. Отмечаем в маршрутном листе: зеленый кружок-все верно; синий кружок-1 ошибка; красный кружок-2 ошибки; черный кружок-более 2 ошибок.

Наше путешествие продолжается. Все бортовые системы работают нормально. Я предлагаю вам вспомнить, что такое наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел. После этого решаем задание:

I вариант

Пусть . Найдите:

a) НОД(a,b);

b) НОК(a,b);

II вариант

Пусть . Найдите:

a) НОД(m,n);

b) НОК(m,n);

На экране –заставка «Внимание! Сбои в навигационном оборудовании!».

Учитель: Нам необходимо совершить посадку. Попробуем определить место приземления. На экране заставка - Олимпийская деревня:

Выходят 2 ребят (на них поверх одежды яркие футболки, кепки), они проводят физкультминутку для экипажа – упражнения под музыку.

А теперь произведем техосмотр ракетного двигателя :

Найдите значения выражений х², - х², х²+1 (I вариант), х³, - х³, х³-1 (II вариант) для заданных значений х и заполните таблицу (используйте найденные значения выражения х² (х³) для вычисления значений двух других выражений):

I вариант

II вариант

Творческое задание.

Учитель: Задания выполнены, в маршрутном листе все отмечено и мы отправляемся дальше. Предлагаю Вам в часы досуга, пока мы летим, расшифровать кроссворд:

По вертикали:

1. Голландский математик, механик и инженер, один из первых, кто в конце XVI - начале XVII в. предпринял шаги к построению современной теории степеней, ввёл похожие обозначения для степеней одно­го неизвестного, распространил их на степени второго и третьего неизвестного (Стевин)

2. Число повторяющихся множителей (показатель)

3. Произведение нескольких одинаковых множителей (степень)

4. Французский математик – создатель буквенного исчисления, введший обозначения не только для неизвестного и его степеней, но и для пара­метров (Виет)

По горизонтали:

5. Повторяющийся множитель (основание)

6. Французский философ, математик, физик, физиолог XVII века – создатель прямоугольной системы координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел ал­гебраический метод в геометрию (Декарт)

Учитель: Давайте посмотрим результаты. (На экране – заполненный кроссворд, фотографии математиков). А мы даже и не заметили, как приземлились на планету Асторию и нас ждут в Звездной Академии.

Исследовательские задания.

На экране-заставка: «Приветствуем участников Межпланетной Математической Конференции!

В программе: мастер-классы и исследования корифеев математики»

Слово предоставляется первому участнику: Гипер–Степа(на голове-колпак, разрисованный формулами степени) поздравляет участников и гостей форума от Звездной Академии.

Мастер-класс Гипер – Степы:

Пусть . Найдите a+b; a-b; a·b; ab. Показывает решение на доске. Аналогичное задание просит выполнить всех дома, по прилету домой. (Д/З: Пусть . Найдите a+b; a-b; a·b; ab).

Слово предоставляется Архивариусу Звездной Академии(на плечах –мантия, на голове –академическая шляпа) – он, используя информацию со слайда, рассказывает о Виете.

Слово предоставляется третьему участнику – математику (имя) с планеты Земля:

Участник представляет заранее выполненное задание-исследование, результаты которого оформлены на слайдах презентации: Мне было дано задание- с помощью вычислений понаблюдать, как меняются значения степеней 2,7 и 0,35 с увеличением n. Для этого я заполнил таблицу (значения 2,7округлял до единиц, а 0,35- до первой слева цифры, отличной от 0).

Далее учащийся сделал выводы: если а1 и mn, то a, если amn, то a.

После этого учащиеся выполняют задания, которые выведены на экран.

Не выполняя вычислений, сравните с нулем значения выражений:

а) (-7,2)0, б) (-3,5)

в) -(-21) 0, г) (-12),

д) -(-,3) е)(-10)

Эти задания выполняются устно. (Учащиеся могут отвечать с места, или поднимать таблички с надписями, выполненными заранее: или 0).

После этого выполняем в тетради последнее задание.

Вычислите:

I вариант

; ; ; ; ; .

II вариант

; ; ; ; ; .

Проверку выполнения осуществляем следующим образом: На экране появляется ряд чисел, по количеству превышающий число ответов в каждом варианте. Учащиеся выполняют задания, отыскивают верные ответы, отмечают в маршрутных листах выполнение.

Подведение итогов.

Домашнее задание: 1. Написать отзыв об уроке в одной из следующих форм:

1. заметка в классную газету;

2. репортаж о межпланетном путешествии;

3. рисунок о наиболее ярком эпизоде урока.

КРОССВОРД

«СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ»

По вертикали:

1. Голландский математик, механик и инженер, один из первых, кто в конце XVI - начале XVII в. предпринял шаги к построению современной теории степеней, ввёл похожие обозначения для степеней одно­го неизвестного, распространил их на степени второго и третьего неизвестного.

2. Число повторяющихся множителей.

3. Произведение нескольких одинаковых множителей

4. Французский математик – создатель буквенного исчисления, введший обозначения не только для неизвестного и его степеней, но и для пара­метров.

По горизонтали:

5. Повторяющийся множитель.

6. Французский философ, математик, физик, физиолог XVII века – создатель прямоугольной системы координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел ал­гебраический метод в геометрию.

ОТВЕТЫ НА КРОССВОРД

«СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ»