Итоговый индивидуальный проект по теме: «Геометрическое определение коэффициента комфортности»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Львовская средняя общеобразовательная школа Новооскольского района Белгородской области»

Итоговый индивидуальный проект

по теме: «Геометрическое определение коэффициента комфортности»

математика

Работу выполнил:

…………………….,

ученик 9 класса

Руководитель:

………………………….,

учитель математики

………………., ….г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3
1. Геометрия и строительство
1.1. Применение геометрии в строительстве 5
1.2. Геометрические фигуры и тела в строительстве 6
1.3. Объемы тел и площади поверхностей 8
2. Вычисление коэффициента комфортности жилья разной

геометрической формы 9

Заключение 16
Список литературы 17

ВВЕДЕНИЕ

«Все вокруг геометрия!»
Ле Корбюзье

Вся жизнь современного человека проходит в тесной связи с математикой. Современная жизнь людей настолько сложна и многообразна, что им постоянно приходиться совершенствовать свою математическую культуру и постоянно при решении насущных проблем обращаться к математике. Куда бы ни кинул взгляд человек – всюду геометрические объекты, всюду геометрия. К тому же место, где человек проводит большую часть своей жизни, его жилище, тоже имеет определенную геометрическую форму.

А каким должен быть дом современного человека? При строительстве любого дома люди всегда задаются вопросом: «Какой дом лучше?». «Лучше тот, что теплее» – скажут одни, «лучше тот, что красивее или комфортнее» - скажут другие. Но есть ли способ определить – это «лучше»? Попробуем ответить на этот вопрос с точки зрения геометрии.

Актуальность работы

В последнее время все чаще говорят о том, что мировые запасы природных ресурсов небезграничные, остро стоит проблема энергосбережения. Одним из способов сэкономить тепло является обеспечение жилья наименьшей потерей тепла через его поверхность. Можно существенно уменьшить размеры дома, но человек должен иметь достаточно жилого пространства, чтобы чувствовать себя комфортно. Таким образом, встает вопрос: как достичь сочетания максимально возможного объема жилого пространства при минимальной площади поверхности, через которую может уходить тепло. И сейчас этот вопрос остается для человечества особенно актуальным.

Проблема: жилье какой формы самое комфортное?

В связи с этим была поставлена цель исследования: выяснить, дом какой формы наиболее комфортен для проживания с точки зрения соотношения объема жилья и его поверхности.

Задачи исследования

1. Выбрать для исследования несколько видов жилищ разных геометрических форм и размеров.

2. Определить формулы вычисления объемов и площадей поверхности различных геометрических тел, соответствующих выбранным жилищам.

3. Вычислить коэффициенты комфортности для каждого жилища.

4. Выявить жилище наиболее комфортной для проживания формы с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и его поверхности;

5. Оформить результаты работы в виде презентации.

Объект исследования: 

Использование геометрии в жизни человека.

Предмет исследования:

Применение геометрии для определения коэффициента комфортности жилья.

Гипотеза исследования:

Существует жилище определенной геометрической формы, имеющее наибольший коэффициент комфортности для жизни человека. Предположим, что самое комфортное жилье имеет форму шара.

Методы исследования:

1. Наблюдение;

2. Поиск и отбор информации;

3. Анализ, исследование, систематизация материала.

Продукт проекта:

Презентация

1. ГЕОМЕТРИЯ И СТРОИТЕЛЬСТВО

1.1 ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
Профессия строителя является очень древней. До наших дней дошло немало сооружений, возраст которых измеряется тысячелетиями. Свой опыт мастера строительного дела передавали из поколения в поколение, в том числе и математические знания. В строительстве никак не обойтись без математики. В современном строительстве роль этой науки непрерывно возрастает. Специалисты должны создавать и перерабатывать чертежи, тексты, документы, таблицы, формулы; выполнять расчеты площадей различных фигур, объёмов многогранников и тел вращения.

Важно отметить и обратную историческую взаимосвязь: потребности зарождающегося строительства и, возникшей вслед за ним архитектуры, явились одним из стимулов, благодаря которым возникла и сделала первые шаги геометрия. Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура и строительство. Тесная связь геометрии и архитектуры известна с давних времен. Издревле геометрия считалась одним из разделов архитектуры.

С давних времен люди, возводя свои жилища, думали об их прочности, удобстве, внешнем виде, устойчивости к погодным и климатическим условиям. Прочность сооружения заключается не только в материале, из которого оно сделано, но и в конструкции, используемой при строительстве.

Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы сооружений являются комбинациями различных геометрических тел.

Вывод: геометрия – это основа архитектурного мастерства.

1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ

Куб - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

a – ребро куба

a

a

a

П ризма - многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами.

c

b

a

Прямоугольный параллелепипед – прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник. a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида - многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину.

c

H

a

Правильная пирамида.

с – сторона основания,

a – апофема,

H - высота

Сфера (от греческого - мяч, шар) - это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).

R – радиус сферы

Конус - тело, ограниченное конической поверхностью и кругом основания.

L

h – высота, r – радиус основания,

L – образующая конуса

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

R

H – высота цилиндра,

R- радиус основания цилиндра

H

Комбинированная фигура – геометрическое тело, состоящее из цилиндра и полусферы.

R – радиус основания

H – высота цилиндра

H

Эти геометрические фигуры легли в основу таких жилищ, как дома, в

которых мы проживаем, Египетские пирамиды, башни, дома-бочки,

где проживали альпинисты, исследователи Севера, военные,

чум и яранга - переносные жилища некоторых кочевых народов Севера, палаток, космических кораблей.

1.3 ОБЪЕМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Для измерения объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения используются следующие формулы.

Куб: Sп.п.=6а², V=а³

Призма: Sп.п.=2∙So.+S б.п. , S o. = a∙b, Sб.п.=Pо.∙ H , V=So.∙ H

Пирамида (правильная четырехугольная): Sп.п.=So.+Sб.п. , Sб.п.=1/2∙ Po.∙ a_. , V=1/3∙So. ∙H, So. = b²

Сфера, шар: Sп.п.=4∙π∙R² ,V=4/3∙π∙R³

Конус: Sп.п.= So.+Sб.п., Sб.п.= π∙r∙L ,V=1/3∙π∙r∙h

Цилиндр: Sп.п.=2∙So.+Sб.п., So.=2∙π∙R, Sп.п.=2π∙R∙(R+H) , V=π∙R²∙H

Комбинированная фигура: Sп.п.= 1/2∙Sсферы + Sо.ц. + Sб.п.ц.,

V = 1/2∙Vсферы + Vц.

Формула для вычисления коэффициента комфортности жилья:

k = 36πV²: S³

Вывод: Оказывается, комфортность определяется формой помещения, его линейными размерами. Используя эти формулы и измерения геометрических многогранников можно выявить жилище наиболее комфортной для проживания формы с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и его поверхности.

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА КОМФОРТНОСТИ ЖИЛЬЯ РАЗНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Жилище – место жизни человека, место, где он рождается, растет. Это кров, укрытие, место покоя и порядка. Жилище как центр человеческой вселенной осознается почти повсеместно. Но в зависимости от образа жизни и места на земном шаре оно имеет большую или меньшую значимость для человека. Вместе с этим каждый человек стремится к более высокому качеству жизни, которое зависит от комфортности условий, обеспечивающих жизнедеятельность человека.

Существует зависимость между комфортом нашего дома и его математическими характеристиками: например, объёмом и площадью. Ученые предложили формулу вычисления комфортности жилища:

k = 36πV²: S³. Здесь V – объём жилища и S – полная поверхность жилища. Самым комфортным считается жильё с коэффициентом k = 1.

Геометрия архитектуры окружающих нас зданий разнообразна. Как известно, разные народы строили для себя жилье разных форм, видимо, строители руководствовались известными им принципами. И почему кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну, поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным? Почему так удобно свернуться «калачиком», когда спишь? Видимо, соотношения формы, объема и площади поверхности тел имеют закономерность, влияющую на степень комфортности. Это можно доказать опытным путем. Вычислим коэффициент комфортности жилья разной геометрической формы.

1. Подавляющее число жилых зданий имеет форму куба (рис.1) или прямоугольного параллелепипеда (рис. 2).

Рис.1 Дом в виде куба

Выясним комфортны ли дома кубической и параллелепипедной формы.

Дано: куб с ребром а.

Найти: коэффициент комфортности k.

Решение:

1) Найдем объем куба: V=a³

2) Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.= 6а²

3) Найдем коэффициент комфортности k=36π(а³)² : (6а²)³ = 36πа⁶ : (216а⁶) =

= π:6 ≈3,14 : 6 ≈ 0,523

Отсюда вывод: жилье формы куба не очень комфортное!

Рис.2 Дом в виде прямоугольного параллелепипеда

Дано: жилище формы прямоугольного параллелепипеда с измерениями а=10м, b=8м, с=4м.

Найти: коэффициент комфортности k.

Решение:

1) Найдем объем прямоугольного параллелепипеда: V= abc = 10∙8∙4 =

320 м³

2) Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.=2(ab+bc+ac)=304м²

3) Найдем коэффициент комфортности k: k = 36π ∙ 320² : 304³ ≈ 0,412

Отсюда вывод: жилье формы прямоугольного параллелепипеда не очень комфортное!

2. В современном мире существуют здания пирамидальной формы (рис.3). Причины, по которым человечество древнего мира выбрало для строительства первых высотных зданий форму пирамиды, очевидны. Причина номер один: форму пирамиды подсказала сама природа. Причина номер два: форма пирамиды в строительстве при определенных условиях является самым надежным и крепким сооружением.

Рис.3 КРК в Казани

Выясним комфортен ли дом пирамидальной формы.

Дано: правильная четырехугольная пирамида, а=6 м, H=4 м

Найти: коэффициент комфортности k

Решение:

1) Найдем площадь основания: Sосн.= а² = 36м²

2) Найдем площадь боковой поверхности: S_тр. = 0,5∙6∙5 = 15 м², Sб.п.= 4∙ S_тр. = 60м²

3) Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.= Sосн.+ Sб.п =96 м²

4) Найдем объём: V= 1/3а² H =48м³

5) Найдем коэффициент комфортности.

k = 36∙3,14∙48²:96³ ≈ 0,294

k

3. Чум является универсальным жилищем северных народов. Это переносная конусообразная палатка (рис.4), форма которой является приспособленной, целесообразной для тундры. Форма конуса делает жилище устойчивым при метелях и сильных ветрах, снег с него легко скатывается. Интересно, как чувствует себя человек в доме конусообразной формы с точки зрения комфортности.

Рис.4 Чум

Дано: жилище конусообразной формы h=4м, r =3м.

Найти: коэффициент комфортности k

Решение:

1) Найдем объём конуса: V= πr²h =37,68м³

2) Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.= πr² + πrl =75,36 м²

3) Найдем коэффициент комфортности k: k = 36∙π∙37,68² : 75,36³ ≈ 0,375

k коэффициент далек от 1, жилье не комфортное!

4. Достаточно знаменито трёхэтажное круглое здание в селе Головчино нашей Белгородской области, построенное в конце XVIII века на территории поместья Хорватов. Возведенное из кирпича сооружение состоит из двух цилиндров – большого, диаметром 26 м. и высотой 4 м., и малого внутри него, диаметром около 10 м. Внутренний цилиндр возвышается над внешним в виде барабана на 4 м. и завершается куполом, который венчает небольшая главка. В Круглом здании – 3 этажа и один цокольный. Внутри малого цилиндра устроена винтовая лестница.

Выбор цилиндрической формы архитекторы (рис.5) объясняют тем, что в таком пространстве при отсутствии прямых углов полезная площадь намного больше, чем в традиционных зданиях.

Рис.5 Круглое здание в селе Головчино

А как здесь насчет комфортности?

Дано: жилище цилиндрической формы d=26м, H=8м

Вычислим коэффициент комфортности жилья в здании цилиндрической формы.

1) Найдем объём цилиндра: V= π∙R²∙H = 3,14∙13²∙8 ≈ 4245,28м³

2) Найдем площадь полной поверхности цилиндра Sп.п.=2π∙R∙(R+H) = 2∙3,14∙13∙(13 + 8) ≈ 1714,44м²

3) Найдем коэффициент комфортности жилья k: k = 36∙ π∙4245, 28²: 1714,44³ ≈0,404

k коэффициент далек от 1, жилье не комфортное.

5. Рассмотрим пример вычисления коэффициентов комфортности комбинированного жилья (рис.6).

Рис.6 Дом-яйцо в Москве

Дом-яйцо был построен в 2002 году по проекту архитекторов Сергея Ткаченко и Олега Дубровского. Новое здание вызвало в обществе немалый резонанс. Одни были в восторге от постройки, другие - недоумевали, а третьи были категорически против такого "шедевра архитектуры". В некоторой степени замысел удался. Дом-яйцо на улице Машкова вызывает восторг и недоумение, восхищение и раздражение. Но это ни в коей мере не умаляет красоты и оригинальности удивительного сооружения. Как бы там ни было, дом-сувенир стал популярной достопримечательностью Москвы.

Выясним комфортно ли проживание в нем.

Жилье – полусфера и цилиндр.

Дано: R=2, H=5.

Найти: коэффициент комфортности k

Решение: Vцилиндра = π∙ R²∙H=3,14∙4∙5≈ 62,8 м3,

Vполушара = 2/3π R3≈16,75 м³, Vтела ≈ 79,55 м3.

Sцилиндра = 2πRH+ πR²=75,36 м², Sполусферы = 2πR²=25,12 м², Sтела=100,48 м² k=36πv²:S³=0,705

Это наибольший из полученных коэффициентов.

6. За всю историю человечества архитекторы и инженеры не раз обращали свой взор на нетрадиционную форму зданий – сферическую, которая имеет ряд неоспоримых преимуществ перед более привычными строениями. Несмотря на кажущуюся простоту купольных/сферических конструкций, в которых нет ни единой прямой стены, поверхности или угла, проектирование и строительство подобных объектов требует особых знаний и даже хитростей, позволяющих создавать настоящие архитектурные, а порой и скульптурные шедевры.

Современное строительство предлагает дома сферической формы (рис.7,8,9,10).

Рис.7 Кафе в Новосибирске Рис.8 Шарообразное здание в Астане

Р ис.9 Ресторан «Глобус» в Грозном Рис.10 Обсерватория в Белгороде

Дано: жилье шарообразной формы радиуса R.

Найти: коэффициент комфортности

Решение: Sсферы=4πR², V = 4/3πR³ , k = 36π∙(4/3∙π∙R³)²:(4∙π∙R²)³ = 36∙16:9:64 = 1 Коэффициент комфортности равен 1.

Самое комфортное жильё – сфера!

Сделан вывод: у всех жилищ разной формы различный коэффициент комфортности и существует жилище, имеющее наилучший коэффициент. Дом - сфера имеет самый большой коэффициент комфортности. Дом - сфера комфортен для жилья.

Известно, что природа, в отличие от нашего традиционного строительства, не создаёт сложные, немобильные конструкции и технологии. Идеальной формой, наиболее близкой природе, как известно, является шар. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование подтвердило гипотезу: Существует жилище определенной геометрической формы, имеющее наибольший коэффициент комфортности для жизни человека. И именно жилье сферической формы имеет высший коэффициент комфортности. Таким образом, цели и задачи исследования достигнуты.

Все вокруг математика! Все вокруг геометрия! И в самом деле — всюду геометрия. Современная цивилизация — это Цивилизация Математики, Геометрии. С помощью геометрии в данной работе исследуется степень комфортности жилья в зависимости от его геометрической формы. Как известно сегодня дом это совсем не роскошь, а настоящая необходимость, причем порой довольно острая. При этом современное жилье с каждым годом претерпевает все более ощутимые изменения, совершенствуясь в своей комплектации и получая все новые и новые возможности.

Очевидно, в скором будущем преимущества сферы будут использованы в архитектуре. Да и сейчас уже города содержат дома - сферы, полусферы в комбинации с цилиндрами. Тенденции к округлости форм уже налицо в автомобилестроении, оформлении интерьеров, не заставят себя ждать они и строительстве жилья.

Так какой же дом лучше? Безусловно, для каждого человека лучше тот дом, в котором он вырос или живет сейчас. И в этой работе была предпринята попытка сделать маленький шаг навстречу возможности проектировать и строить эти дома уютнее и комфортнее.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11, Просвещение, 2021.

2. Ван дер Варден. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, Пробуждающая наука. Перевод с голландского И.Н.Веселовского, Москва, 1959.

3. А. В. Волошинов. Математика и искусство — М.: Просвещение, 2000.

4. Г.И. Глейзер. История математики в школе. - М.: Просвещение, 1984.

5. Б.В. Гнеденко. Математика в современном мире. - М.: Просвещение, 2005. - 177 с.

6. Н. Ф. Гуляницкий. Архитектура гражданских и промышленных зданий в пяти томах. Том I. История архитектуры. – М.: Строиздат.1984.

7. Н.А. Заиченко. Нужна ли математика в жизни? [Электронный ресурс].

https://urok.1sept.ru/articles/681302