Конспект урока Размещения

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Организационный момент

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Включаются в деловой ритм урока.

2. Изучение нового материала

Сегодня мы переходим к рассмотрению другого вида комбинаций, которые можно составить из элементов конечного множества. Ранее, при изучении перестановок из n элементов, мы составляли комбинации, используя все n элементов. Теперь же будем составлять комбинации по k элементов, беря их из имеющихся n элементов. Такие комбинации носят название размещения из n элементов по k элементов.

Для начала запишите в своих тетрадях тему сегодняшнего урока: «Размещения». А теперь рассмотрим с вами следующую задачу (условия задачи записывайте в тетрадях), после чего мы дадим определение размещению из n элементов по k.

Задача 1.

Пусть имеются три шара: красный (К), зеленый (З) и синий (С). Также имеется две пустые ячейки, в каждую из которых можно поместить только по одному из имеющихся шаров. Сколькими способами можно разместить шары в данные ячейки с учетом порядка шаров?

Пусть в первую ячейку помещен красный шар. Тогда к нему можно добавить зеленый (пара КЗ) или синий (пара КС) шар. Таким образом, получаем пары КС и КЗ. Рассуждая аналогично для зеленого и синего шаров, получим следующие пары: ЗК, ЗС, СК, СЗ. Таким образом, число размещений из 3 шаров по 2 равно 6. Обозначается это следующим образом: .

А теперь запишите в тетрадях определение размещения из n элементов по k (запись справа).

Как и для перестановок, для подсчета числа размещений не обязательно составлять все размещения. Давайте получим формулу для вычисления числа размещений из n элементов по k. Для этого воспользуемся уже известным нам комбинаторным правилом умножения.

Сколькими способами можно взять первый элемент из n имеющихся?

А второй элемент?

И так далее. Тогда k-й элемент можно взять (n-(k-1)) = (n-k+1) способами. Получаем: . Запишите эту формулу.

Удобнее записать эту формулу в другом виде. Для этого умножим и разделим правую часть получившейся формулы на (n-k)!. Получаем:

Запишите это в своих тетрадях. Таким образом, имеем следующую формулу для подсчета числа размещений из n элементов по k: . Также запишите её себе в тетради.

(Записывают тему урока)

(Записывают условие и решение)

Задача 1.

Пусть имеются три шара: красный (К), зеленый (З) и синий (С). Также имеется две пустые ячейки, в каждую из которых можно поместить только по одному из имеющихся шаров. Сколькими способами можно разместить шары в данные ячейки с учетом порядка шаров?

Решение.

Возможные варианты размещений:

КЗ, КС,

ЗК, ЗС,

СК, СЗ.

Таким образом, число этих размещений .

Ответ: 6 способов.

Размещением из n элементов по k, где k  n, называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

n способами.

(n-1) способами.

Число размещений из n элементов по k:

Умножим и разделим правую часть равенства на (n-k)!:

Число размещений из n элементов по k:

3. Закрепление изученного материала

Теперь перейдем к решению задач.

№ 754

Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

№ 757

Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4x100 м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

№ 759 (самостоятельно с последующей проверкой)

Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

№ 761

На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

(Оформляют решение задач в тетради; у доски при решении примеров также работают учащиеся).

№ 754

(способа).

Ответ: 24 способа.

№ 757

(способов).

Ответ: 11880 способов.

№ 759

(способов).

Ответ: 27907200 способов.

№ 761

(способов).

Ответ: 7893600 способов.

4. Подведение итогов

Подведем итоги нашего занятия.

С каким понятие комбинаторики вы познакомились сегодня на уроке?

Что называется размещением k элементов из n элементов?

По какой формуле подсчитывается число всевозможных размещений k элементов из n элементов?

(Отвечают на вопросы)

С понятием «Размещение k элементов из n элементов».

Размещением из n элементов по k, где k  n, называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

Число всевозможных размещений из n элементов по k рассчитывается по формуле .

5. Домашнее задание

§11, п. 32.

№ 755

№ 758

№ 760

Записывают в дневниках д/з.