Лекция по математике на тему:" Числа и вычисления. Выражения и преобразования"

Лекция 2

Числа и вычисления. Выражения и преобразования.

План

1. Числа и вычисления.

2. Выражения и преобразования.

1. Числа и вычисления.

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N; N = {0, 1, 2, 3, …}.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются

Z = {–2, –1, 0, 1, 2, …}.

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n ≠ 0), где m — целое число, а n — натуральное число.

Для рациональных чисел определены четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль).

Для обозначения рациональных чисел используется знак Q. 

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел. Множество вещественных чисел обозначается R.

Кроме рациональных чисел, R включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Иррациональные числа.

1) любое рациональное число изображается бесконечной десятичной дробью;

2) всякое иррациональное число изображается бесконечной десятичной дробью;

3) любое действительное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби;

4) всякая бесконечная десятичная дробь представляет действительное число (обратное утверждение).

Свойства сложения и умножения:

  ;

  ;
  ;
  ;
 

определение арифметического квадратного корня

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

основные свойства квадратного корня

1) ( )2= а,  ≥ 0.

2)  =  .

3)  , если ав0.

4)  = , если а≥ 0,в ≥ 0

5)   = , если а≥ 0, в0.

2. Выражения и преобразования.

1) Упростите:

а)  Решение:  .

б)   Решение:  = .

в)   Решение:  =  

г)   Решение: 

2) Внеси множитель под знак корня:

а)   Решение: 

б)   Решение: 

(1 – 2 )2 = 1 – 4  + 20 = 21 – 4  (иррац.).

 (рац.).

2). Принадлежит ли отрезку [1,57; 1,58] число:

1,57001  [1,57; 1,58]; 1,581  [1,57; 1,58]; 1   [1,57; 1,58],  1  ≈ 1,571…  [1,57; 1,58],    ≈ 1,7.   

3). Вычислите:

а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

4). Выберите из чисел:

0,57; – ;  ;  ; 5; 1 – ;  ;  ; –18

а) положительные рациональные числа;

б) иррациональные числа;

в) отрицательные числа.

5). Запишите на символическом языке следующие утверждения:

 – действительное число;

0,03 – рациональное число;

–400 – не является натуральным числом;

24 – целое число;

р – не является рациональным числом.

6). Запишите и сравните пары чисел:

   1,411;                             0,777;

   1,731;                            0,555;

–р    –3,214;                     1,566.

7). Запишите числа и расположите их в порядке возрастания:

; 0,751; 0,7501; 0,750101.

8). На рисунке изображены графики функций вида у = kx + b.

Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.

а) k 0, b 0;                        б) k 0, b 0.

1)                  2)          3) 

9). Найдите значение выражения.

 при a = 3,4; b = –5,4.

Решение.   = 2 (3,4 – 5,4) = 2 · (–2) = –4.

 при х =  .

Решение.

= 1 – 3х = 1 + 2 = 3.

3)   при a = 7, b = –2,5.

Решение.  .

10). Преобразуйте дроби:

1. Вычислите значение каждого из данных выражений и укажите, какие из них относятся к отрицательным рациональным числам; к положительным иррациональным числам:

а) –2 · 30 – 17 · 0,2;

б)  ;

в)  .

2. Найдите значения выражений при указанных значениях букв. Укажите, есть ли среди ответов натуральные числа; отрицательные иррациональные числа:

а) –2а2 + b2 при а = , b = ;

б) ab – ac при а = 0,7, b = 1,4, с = –0,6;

в) –  при а = 4,5.

Вопросы для закрепления пройденного материала.

1.Какие числа называются натуральными?

2.Какие числа называются целыми?

3. Какие числа называются рациональными?

Литература

1.Алимов Ш .А, Колягин Ю.М, Ткачева М. В. Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений( базовый и углубленный уровни)- М: Просвещение, 2022.

2.Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3.Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4.Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.