Лекция "Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности. Полигон и гистограмма. Выборочный метод"

Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями.

Первая задача математической статистики: указать способы сбора и группировки статистических данных, полученных в результате экспериментов.

Вторая задача математической статистики: разработать методы анализа статистических данных.

Ко второй задаче относятся:

1. Оценка неизвестных параметров (вероятности события, функции распределения и её параметров и т.д.) с построением доверительных интервалов (методы оценивания).

2. Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения и параметров распределения (методы проверки гипотез).

При этом решаются следующие в порядке сложности и важности задачи:

• Описание явлений, то есть, упорядочение поступившего статистического материала, представление его в наиболее удобном для обозрения и анализа виде (таблицы, графики).

• Анализ и прогноз, то есть приближённая оценка характеристик на основании статистических данных. Например, приближённая оценка математического ожидания и дисперсии наблюдаемой случайной величины и определение погрешностей этих оценок.

• Выработка оптимальных решений. Например, определение числа опытов n, достаточного для того, чтобы ошибка от замены теоретических числовых характеристик их экспериментальными оценками не превышала заданного значения. В связи с этим возникает задача проверки правдоподобия гипотез о параметрах распределения и о законах распределения случайной величины, решением которой является возможность сделать один из выводов:

– отбросить гипотезу, как противоречащую опытным данным;

– принять гипотезу, считать ее приемлемой.

Математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями; оценить, значимы или не значимы наблюдаемые факты; принять или отбросить те или иные гипотезы о природе случайных явлений.

Генеральной совокупностью называют полный набор всех возможных N значений дискретной случайной величины Х. Практически сложно получить полную информацию о случайной величине. Поэтому случайным образом отбирают объекты, которые называется выборкой, при этом число – n называется объемом выборки. Выборку делают либо из ранее полученных результатов, либо планируют эксперимент. По результатам выборки строят простой статистический ряд в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой – порядковый номер измерения, во второй – его результат x_i. Затем производят группировку данных. Вначале x_i располагают в порядке возрастания, интервал наблюдаемых значений случайной величины разбивают на последовательные непересекающиеся частичные интервалы, далее подсчитывают количество значений x_i, попавших в каждый интервал, т.е. n_i. Таким образом, получается группированный статистический ряд или статистическое распределение выборки. Статистическим распределением выборки или статистическим рядом называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пример 1. После группировки данных в выборке статистический ряд задан таблицей 6.1 (где объем выборки n = 15).

Таблица 6.1

В таблице 6.1 значения x_i называют вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке (вся строка x_i) называется вариационным рядом. Число наблюдений n_i называют частотами, i – номер варианты.

Учитывая, что   – это объем выборки, можно найти относительную частоту p_i=n_i/n, наблюдаемого значения x_i – варианты, k – количество вариант.

Тогда таблица 6.1 будет иметь вид:

Таблица 6.2

Табличные данные могут быть представлены графически в виде полигона или гистограммы. Если выборка задана в виде отдельных точек, а не интервалов, тогда строят полигон частот. Полигоном частот называется ломанная, отрезки которой соединяют точки (x_;; n_i/n). На рис.6.1 изображен полигон относительных частот, приведённых в таблице 6.2.

Рис. 6.1. Полигон

Пример 2. В этом примере наблюдаемые значения случайной величины после группировки данных в выборке разбиты на последовательные непересекающиеся частичные интервалы. В результате получается статистический ряд, который задан таблицей 6.3.

Таблица 6.3

Данную таблицу можно представить через относительную частоту p_i =n_i/n (где объем выборки n = 30).

Таблица 6.4

При этом частоты р_i удовлетворяют условию  =1. Если выборка задана в виде интервалов, тогда строят гистограмму.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы x_i, их высоты равны р_i =n_i/n (плотности относительной частоты). На рис. 6.2 изображена гистограмма относительных частот, приведённых в таблице 6.4.

Рис. 6.2. Гистограмма

Контрольные вопросы:

1. Чем занимается математическая статистика?

2. Что называется генеральной совокупностью?

3. Что такое выборка? Объем выборки?

4. Что такое вариационный ряд? Частоты?

5. Что называют полигоном частот? Гистограммой частот?