Матрицанын рангы

4-mavzu

Matritsa rangi. Matritsa rangini hisoblash usullari

Reja

1. Matritsa rangi ta’rifi va uning xossalari.

2. Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli.

3. Ekvivalent almashtirishlar yordamida matritsa rangini hisoblash.

Tayanch soʻz va iboralar. Matritsa, k-chi tartibli minor, matritsa rangi, minorlar usuli, ekvivalent almashtirishlar.

1. Matritsa rangi ta’rifi va uning xossalari.

1-ta’rif. Ixtiyoriy oʻlchamli matritsaning k ta satr va k ta ustunlarini ajratilgan boʻlib, bu satr va ustunlar kesishmalarida yotgan elementlaridan hosil bo‘lgan kvadrat matritsa determinantiga matritsaning k chi tartibli minori deyiladi.

Agar berilgan matritsa kvadrat shaklda boʻlsa, uning eng katta tartibli minori oʻziga teng. Agar berilgan matritsa chi tartibli boʻlsa, u holda uning eng katta tartibli minorining tartibi boʻladi.

Agar berilgan matritsa chi tartibli boʻlsa, u holda bu matritsadan ajratish mumkin bolgan tartibli minorlar sonini formula bilan topiladi, bu erda va , n yoki m ta elementdan k tadan gruppalashlar soni.

1-misol. matritsaning minorlarini aniqlang.

Yechish.

1- tartibli minorlar. Bu matritsaning ixtiyoriy elementi 1- tartibli minor tashkil qiladi. Demak bu matritsada 12 ta 1-tartibli minor bor.

2-tartibli minorlar.

1 va 2-satrni, hamda 1 va 2-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan.

1 va 2-satrni, hamda 1 va 3-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan.

1 va 3-satrni, hamda 1 va 2-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan.

Va hokazo shu tartibda davom qilib

ta 2-tartibli minorlarni hosil qilish mumkin.

3-tartibli minorlar.

1,2 va 3-satrni, hamda 1, 2 va 3-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan 3-tartibli minor.

1,2 va 3-satrni, hamda 1, 2 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan 3-tartibli minor.

1,2 va 3-satrni, hamda 1, 3 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan 3-tartibli minor.

1,2 va 3-satrni, hamda 2, 3 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan 3-tartibli minor.

Boshqa 3-tartibli minor yoq. Formula boʻyicha ham

ta

3-tartibli minorlarni hosil qilish mumkin.

2-ta’rif. matritsaning noldan farqli minorlarining eng kattasining tartibiga matritsaning rangi deyiladi va koʻrinishida belgilanadi.

Matritsa rangi ta’rifidan bevosita kelib chiquvchi xossalari:

1. Agar matritsa oʻlchovli boʻlsa, u holda

2. matritsaning barcha elementlari nolga teng boʻlsa, u holda

3. Agar matritsa tartibli kvadrat matritsa va boʻlsa, u holda

2-misol. matritsa rangini aniqlang.

Yechish. Berilgan matritsa oʻlchamli boʻlgani uchun satrlar va ustunlar sonini taqqoslaymiz va kichigini, ya’ni 2 ni tanlaymiz. Matritsadan ikkinchi tartibli minorlar ajratamiz va ularning qiymatini hisoblaymiz. Bu jarayonni noldan farqli ikkinchi tartibli minor topilguncha davom ettiramiz:

Berilgan matritsadan noldan farqli eng yuqori ikkinchi tartibli minor ajraldi. Demak, ta’rifga binoan, matritsa rangi 2 ga teng, ya’ni .

Bizga matritsa berilgan bo‘lsin. Matritsaning rangini bevosita ta’rifdan foydalanib topish algoritmini;

1). Bu matritsaning eng katta tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu jarayonni toxtatib matritsaning rangi ga teng deb olamiz.

2). Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u holda bu matritsaning ixtiyoriy elementini tanlab, shu element turgan satr va ustunni ochiramiz. Natijada - tartibli matritsa hosil bo‘ladi. Bu matritsadagi (k-1) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu jarayonni to‘xtatib matritsaning rangi ga teng deb olamiz.

3). Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u holda bu ( k-2 ) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu jarayonni to‘xtatib matritsaning rangi ga teng deb olamiz.

4). Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u holda barcha ( k-3 ) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Va hakoza shu jaroyon

3-misol. Quyidagi matritsaning rangini toping.

Yechish.1). Matritsa noldan farqli 2-tartibli minorni qidiramiz:

.

Demak 2-tartibli noldan farqli minor mavjud.

2). Noldan farqli 3-tartibli minorni qidiramiz:

Bunday minorlar soni ta

; ; ;

; ;

Va hakoza barcha 3-tartibli minorlar nolga teng. Demak matritsaning rangi 2 ga teng.

Matritsaning rangini bevosita ta’rifdan foydalanib topish yuqorida ko‘rganimizday juda kop hisoblashlarni talab qiladi. Shu sababli matritsa kamroq hisoblashlar bilan topish usullarini korib chiqamiz. Bu usullar 2xil- oʻrab turuvchi minorlar usuli va ekvivalent almashtirishlar yordamida matritsaning rangini hisoblash.

2.Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli.

3-ta’rif. tartibli minorni o‘z ichiga oluvchi barcha tartibli minorlar o‘rab turuvchi minorlar deyiladi.

Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli quyidagi teoremaga asoslanadi.

1-Teorema. Agar oʻlchobli matritsaning biror tartibli minorini o‘rab turuvchi barcha tartibli minorlar nolga teng boʻlsa, u holda bu matritsadagi barcha tartibli minorlar nolga teng boladi.

3-misol. Quyidagi matritsaning rangini toping.

Yechish.1). Matritsa noldan farqli, shu sababli 1-tartibli minor sifatida ixtiyoriy elementni, masalan

ni olishimiz mumkin. Bu minorni o‘rab turuvchi 2-tartibli minorni qidiramiz:

; ;

;

Demak o‘rab turuvchi barcha 2-tartibli minorlar nolga teng. Bu minorlarni o‘rab turuvchi 3-tartibli minorni tekshiramiz:

.

Bundan .

O‘rab turuvchi minorlar usulining algoritmi quyidagicha:

1. Agar matritsa noldan farqli bo‘lsa, u holda noldan farqli ikkinchi tartibli minorni qidiramiz. Agar barcha 2- tartibli minorlar nolga teng bo‘lsa, u holda matrirsaning rangi 1 ga teng bo‘ladi.

2. Agar hech bo‘lmaganda bitta noldan farqli ikkinchi tartibli minor mavjud bo‘lsa, u holda bu minorni o‘rab turuvchi 3-tartibli minorlarni qurib olamiz. Agar bu o‘rab turuvchi 3-tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lsa, u holda matritsaning rangi 2 ga teng bo‘ladi.

3. Agar hech bolmaganda bitta noldan farqli uchinchi tartibli minor mavjud bo‘lsa, u holda bu minorni o‘rab turuvchi 4-tartibli minorlarni qurib olamiz. Agar bu o‘rab turuvchi 4-tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lsa, u holda matritsaning rangi 3 ga teng bo‘ladi.

4. Va hakoza shu jarayon dabom ettirilib noldan farqli tartibli minori topiladi. tartibli minor noldan farqli bo‘lib, bu minorni o‘rab turuvchi barcha tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lganda, matritsaning rangi shu noldan farqli minorning tartibi ga teng bo‘ladi.

Bu usul hisoblash ishlarini ancha kamaytirish imkoniyatini beradi.

4-misol. Quyidagi matritsaning rangini o‘rab turuvchi minorlar usuli bilan toping.

Yechish.

Matritsaning elementi noldan farqli boʻlganligi sababli bu elementni birinchi tartibli minor deb qarab, bu minorni oʻrab turuvchi, noldan farqli 2- tartibli minorni qidiramiz:

1). ; 2). .

Noldan farqli, bu minorni oʻrab turuvchi barcha 3-tartibli minorlarni qarab chiqamiz.

;

Yuqoridagi 1-teoremaga kora barcha 3 –tartibli minorlar nolga teng ( ta ). Demak berilgan matritsaning rangi 2 ga teng.

4-ta’rif. Matritsa ustida bajariladigan quyidagi almashtirishlarga elementar almashtirishlar deyiladi.

1. Matritsa biror satri (ustuni) har bir elementini biror noldan farqli songa koʻpaytirish;

2. Matritsa satrlari (ustunlari) oʻrinlari almashtirish;

3. Matritsa biror satri (ustuni) elementlariga uning boshqa parallel satri (ustuni) mos elementlarini biror noldan farqli songa koʻpaytirib, soʻngra qoʻshish;

4. Barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborish;

5. Matritsani transponirlash.

2-Teorema. Elementar almashtirishlar matritsa rangini oʻzgartirmaydi.

Bu teoremani misolda tushinib olamiz.

4-misol. Elementar almashtirishlar bajaring va hosil boʻlgan matritsaning rangini toping.

Yechish. Matritsada birinchi satrni - ga koʻpaytirib ikkinchi satriga va birinchi satrni -1 ga koʻpaytirib uchinchi satriga ikkinchi satrni ga koʻpaytirib, birinchini ikkinchiga qoʻshsak, soʻngra yana birinchi satrni ga, uchunchi satrni ga koʻpaytirib, natijalarni qoʻshsak,

matritsa hosil boʻladi.

Bu matritsada ikkinchi satrni 1 ga, uchunchi satrni 5 ga koʻpaytirib, ikkinchi satrni uchunchi satrga qoʻshsak,

matritsa hosil boʻladi. Yana

matritsani olib, yuqoridagi singari almashtirishlarni bajarsak,

hosil boʻladi.

va matritsaga qoʻllanilgan almashtirishlarning mohiyati quyidagidan iborat: satrli matritsa berilgan holda birinchi va ikkinchi satrlarni, undan keyin birinchi va uchinchi satrlarni, ..., nihoyat, birinchi va satrlarni shunday sonlarga koʻpaytiramizki, tegishli songa koʻpaytirilgan birinchi satrni navbat bilan boshqa hamma satrlarga qoʻshganimizda ikkinchi satrdan boshlab birinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Soʻngra ikkinchi satr yordamida keyingi hamma satrlar bilan yana shunday almashtirishlarni bajaramizki, uchinchi satrdan boshlab, ikkinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Undan keyin toʻrtinchi satrdan boshlab uchinchi ustun elementlari nollarga aylanadi va hokazo. Shu tariqa bu jarayon oxirigacha davom ettiriladi.

Agar matritsaning qandaydir satrlari boshqa satrlari orqali chiziqli ifodalangan boʻlsa, u holda shu almashtirishlar natijasida, bunday satrlarning hamma elementlari nollarga (ya’ni bunday satrlar nol satrlarga) aylanadi.

Birorta elementi noldan farqli satrni nolmas satr, deb atasak, yuqoridagi almashtirishlardan keyin hosil boʻlgan matritsaning rangi nolmas satrlar soniga teng boʻladi, chunki bunday satrlar chiziqli erkli satrlarni bildiradi.

Yuqorida qoʻllaniladigan almashtirishlar matritsani elementar almashtirishlardan iborat boʻlgani uchun, ular matritsaning rangini oʻzgartirmaydi.

3-Teorema. Pog‘onasimon matritsaning rangi uning nolmas satrlari soniga teng.

Ixtiyoriy matritsaning rangini aniqlash uchun yuqorida kо‘rsatilgan qoida bо‘yicha elementar almashtirishlar yordamida matritsa pog‘onasimon matritsaga keltiriladi:

bu yerda

Pog‘onasimon matritsaning rangi ga teng.

Masalan, yuqoridagi misollarda boʻladi.

5-misol. matritsaning rangini aniqlang.

Yechish. Berilgan dastlabki matritsa ustida quyidagicha elementar almashtirishlar bajaramiz:

Matritsa pog‘onasimon matritsaga keltirildi. Uchinchi satr barcha elementlari nollardan iborat boʻlganligi sababli, berilgan matritsa rangi ikkiga teng.

O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar

1. K chi tartibli minor deb nimaga aytiladi?

2. o‘lchamli matritsaning k chi tartibli minorlari soni qanday formula bilan topiladi?

3. O‘rab oluvchi minor deb nimaga aytiladi?

4. Matritsaning rangi deb nimaga aytiladi?

5. Matritsa rangini hisoblashning qanday usullarini bilasiz?

6. Matritsaning rangini topishning o‘rab oluvchi minorlar usuli algoritmini keltiring.

7. Matritsa ustida elementar almashtirishlar deb qanday almashtirishga aytiladi?

8. Matritsa ustida qanday amallarni bajarganda uning rangi o’zgarmaydi?

9. Matritsaning rangini topishning elementar almashtirishlar usuli algoritmini keltiring.

Asosiy adabiyotlar:

1. Gilbert Strang “Introduction to Linear Algebra”, USA, Cambridge press, Edition, 2016.

2. Grewal B.S. “Higher Engineering Mathematics”, Delhi, Khanna publishers, Edition, 2012.

3. Raxmatov R.R., Adizov A.A., Tadjibayeva Sh.E., Shoimardonov S.K. Chiziqli algebra va analitik geometriya. O‘quv qollanma. Toshkent 2020.

4. Rаxмаtоv R.R., Adizov A.A. “Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar” O‘quv uslubiy qollanma. TATU, Toshkent 2019.

5. Соатов Ё.У. “Олий математика”, Т., Ўқитувчи нашриёти, 1- 5 қисмлар, 1995.

6. Рябушко А.П. и др. “Сборник индивидуальных заданий по высшей математике”, Минск, Высшая школа, 1-3 частях, 1991.

Asosiy adabiyotlar:

1. Мирзиёев Ш. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга қурамиз. –Т.: Ўзбекистон, 2017. - 488 бет.

2. Мирзиёев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини таъминлаш-юрт тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. –Т.: Ўзбекистон, 2017.

3. Мирзиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини биргаликда барпо этамиз. Т.: Ўзбекистон, 2017.

4. Adizov A.A., Xudoyberganov M.O‘. Amaliy matematika. O‘quv uslubiy qo‘llanma. Toshkent. 2014.

5. Шодиев Т.Ш. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент “Ўқитувчи” 1984.

6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

7. Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических

университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.

1. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015.

2. Семёнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов технических вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.

3. Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.

4. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987.

5. Беклемешев Д.В., Петрович А.Ю., Чуберов И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.: Наука, 1987.

6. Бугров Я.С., Николский С.М. Сборник задач по высшей математике, - М.: Наука. 1997.