Методическая разработка по геометрии " Теорема о сумме углов треугольника" для 7 классов

Теорема о сумме углов

треугольника

Осипова А.И

180°

Блез Паскаль – французский мыслитель, математик и физик XVII века

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство.

В

а

а || АС.

∠ 1, ∠ 4 – внутр. накрест лежащие,

4

5

2

значит, ∠ 1 = ∠ 4.

∠ 3, ∠ 5 –внутр. накрест лежащие,

следовательно, ∠ 3 = ∠ 5.

1

3

∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5 = 180°.

С

А

Получаем, что ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°.

То есть ∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°.

Теорема доказана.

Углы равностороннего треугольника равны по 60°.

60°

60°

60°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

1

2

∠ 1 + ∠ 2 = 90°

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-либо углом треугольника.

В

1

2

А

С

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Доказательство.

В

Пусть ∆ АВС – произвольный.

2

∠ 3 + ∠ 4 = 180°.

∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°.

Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4.

4

3

1

Теорема доказана.

А

С

Задача. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны. Угол А равен 42°. Чему равна градусная мера угла В ?

Решение.

В

Так как АВ = ВС ,

то ∆ АВС – равнобедренный.

Значит, ∠ С = 42°.

∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°,

∠ В = 180° – ∠ А – ∠ С ,

42°

∠ В = 180° – ∠ 42° – ∠ 42°,

А

С

∠ В = 96°.

Ответ: 96°.

Задача. На рисунке ∠ ВСD равен 110°, а ∠ ВАС равен 45°. Найдите градусную меру ∠ АВЕ .

Решение.

Так как ∠ BCD , ∠ BCA – смежные,

Е

В

то ∠ BCD + ∠ BCA = 180°.

Тогда ∠ BCА = 180° – 110° = 70° .

∠ АBЕ – внешний, смежный с ∠ АBС,

110°

45°

значит, ∠ АBЕ = ∠ ВАС + ∠ АСВ.

С

А

D

Следовательно, ∠ АBЕ = 45° + 70° ,

∠ АBЕ = 115° .

Ответ: 115°.

Задача. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС отрезок ВD является высотой. Найдите градусные меры углов треугольника ABD , если ∠ АВС равен 56°.

В

Решение.

Так как ∆ АВС – равнобедренный,

то ВD – биссектриса,

28°

значит, ∠ АBD = 56° : 2 = 28° .

∠ АDВ = 90° , так как ВD – высота.

∠ АВD + ∠ АDB + ∠ ВAD = 180°,

С

62°

90°

А

∠ ВAD = 180° – ∠ АВD – ∠ АDB,

D

∠ ВAD = 180° – 28° – 90° ,

∠ ВAD = 62°.

Ответ: 28°, 90°, 62°.