МР комбинированного занятия для преподавателя "Решение уравнений".

;

где

Примечания.

1. Если в уравнении II а = 1, то такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением, его принято записывать в виде

x² + px + q = 0. II'

Если D ≥ 0 и корни выражаются целыми числами, то его принято решать по 2-й формуле Виета, согласно которой:

x₁ · х₂ =q;

х₁ + х₂=–р.

2. Уравнение ах² + bx + c = 0 приводится к приведенному путем деления на а его правой и левой части, т.е.:

ах² +bx + c = 0 (:a) =

х² + px + q = 0. II”

Сравнивая уравнения II' и II”, видим, что

Слайд 6

3. Выражение у = ах² +bх + с называется квадратным трехчленом.

D = b² – 4ас – дискриминант квадратного трехчлена.

Пусть х₁ и х₂ – значения переменных в квадратном трехчлене, при которых он обращается в нуль. Это корни трехчлена.

В этом случае, как показал немецкий математик Карл Вейерштрасс (XIX веке), квадратный трехчлен можно разложить на множители:

у = ах² +bx + c = a·(x – x_l)(x – x₂), если D≠0,

у = ах² +bх + с = а·(х – х₁) , если D = 0.

Эти формулы называются формулами разложения квадратного трехчлена на множители.

III. ах³ +bx² +cx + d = 0 – уравнение третьей степени, или кубическое уравнение.

IV. ах⁴ + bх³ + сх² + dx + е = 0 – уравнение четвертой степени.

Кубические уравнения и уравнения четвертой степени решаются по сложным формулам, которые вывел итальянский математик Кордано (XVII век), они даны в справочниках по математике.

V. ахⁿ +bх^п-1 +сх^n-2 +...+ т = 0, где п = 5,6,7, ...,к.

Это уравнение n-й степени.

Общей формулы для нахождения корней уравнения выше четвертой степени не существует, и, как доказали французский математик Эварист Галуа (1811-1832) и выдающийся норвежский математик Нильс Абель (1802-1829), уравнения этого класса разрешить невозможно.

Как правило, такие уравнения решаются на компьютерах; можно некоторые из них решить и без ПК, применяя специальные приемы.

Слайд 7

VI. ax⁴ + bx² +с = 0.

Это частный случай уравнения IV, и называется оно биквадратным.

Решение:

Пусть х² = у , и тогда получаем ау² +bу + с = 0 =

, где D = b² – 4ас

VII. ахⁿ +b = 0 – двучленное уравнение n-й степени.

Разделив его на а и обозначив , получим , с0.

Для решения этого уравнения достаточно найти корни уравнения уⁿ= ±1 и умножить каждое из них на.

Примеры решения алгебраических уравнений

Слайд 8

Пример 1.

Найдем область допустимых значений данного уравнения (ОДЗУ). Очевидно, что х≠2 и х ≠0. Это ограничения на решения (корни) данного уравнения.

Далее воспользуемся свойством пропорции, уравнение (1) примет вид

(2х – 3)· х = (х + 2)·(2х + 5);

2х² –3х = 2х² + 5х + 4х + 10;

2х² – 3x – 2х² – 9x + 10=0;

–12x – 10=0 [:(–2);

6x + 5=0;

6х = -5;

Ответ:

Слайд 9

Пример 2.

Преобразуем его так:

Далее воспользуемся свойством пропорции, уравнение (2') примет вид

(3х + 2)·(х + 1) = (х-5)(3х-4);

3x² + 3х + 2х + 2 = 3х² – 4х –15х + 20;

3х² + 5х + 2 – 3х² + 9х – 20= 0;

24х – 18=0 [: (6);

4х – 3 = 0;

4х = 3;

;

х = 0,75.

Ответ: .

Слайд 10

Пример 3.

; ОДЗУ: х ≠0 и х≠4.

Используя основное свойство пропорции, имеем

х·х = 2х + 8;

х² – 2х – 8 = 0;

D = 36; ;

Ответ: {- 2; 4}.

Слайд 11

Пример 4.

; ОДЗУ: х≠0

Далее по свойству пропорции имеем:

(2x–3)·x = 2;

2х² – 3x = 2;

2x² –3x –2 = 0;

а = 2; b = –3; D = b² – 4ac;

D = 3² – 4·2·(-2) = 9 + 16 = 25; ;

Слайд 12

Пример 5.

2x² + x – 8 = 0;

а = 2; b=1; с = –8;

D = b² – 4ас = 1 + 4·2·8 = 65;

Ответ:

2. Уравнения с неизвестной под знаком модуля

Слайд 13-14

Рассмотрим уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком модуля в правой или левой его частях, или в правой и левой частях одновременно.

Например:

При решении таких уравнений применяют следующие методы:

1. раскрытие модуля по определению –
   
   

2. возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3. метод разделения на промежутки (интервалы).

Слайд 15

Пример 1.

Решить уравнение .

1-й способ решения (раскрытие модуля по определению).

Так как по определению

то данное уравнение равносильно следующей совокупности двух смешанных систем:

Из первой системы этой совокупности находим x₁ = 4,

из второй х₂ = – 1.

Ответ: {4; –1}

Слайд 16

Пример 2.

Решить уравнение: |x+4|=2x-10.

2-й способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).

Для того, чтобы решить уравнение содержащее модуль, необходимо освободиться от знака модуля. Для этого следует: возвести в квадрат обе части уравнения, решить его. Но не забывать, что при возведении в квадрат появляются лишние корни, поэтому, надо найти ОДЗ и выявить принадлежат ли корни данному условию.

x₁=14  [5;+ ), х₂=2  [5;+ )

Ответ:14

Слайд 17-18

Пример 3. 

Решите уравнение: |5-2x|+|x+3|=2-3x

3-й способ решения (метод интервалов).

Для того, чтобы решить уравнение, содержащее неизвестную под знаком модуля, необходимо освободиться от знака модуля, используя его определение. Для этого следует:

1) Найти критические точки, т.е. значение неизвестной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль;

2) Разбить область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых, выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак;

3) На каждом из этих промежутков уравнение записать без знака модуля, а затем решить его.

Объединение решений, найденных на всех промежутках, и составляет решение исходного уравнения.

5–2x=0; x+3=0

х=2,5; х=–3

(-  ;-3)  {-3}=(-  ;-3]

Ответ: (-  ;-3].

3. Иррациональные уравнения

Слайд 19-20

Уравнения, содержащие переменную под знаком одного (или нескольких) корней, называются иррациональными.

Например:

Решение иррациональных уравнений сводится к освобождению их от корней. Предварительно отметим ряд обстоятельств, которые упрощают решение иррациональных уравнений.

Если в иррациональные уравнения входят корни четной степени, то предполагается, что они имеют только арифметические значения, т.е.; в связи с этим замечанием уравнение

решений не имеет, т.к. числовое значение левой части ≥ 3, а по условию примера это ноль.

В процессе освобождения от корней (при возведении в степень) не всегда получаются равносильные уравнения, поэтому не исключено появление посторонних решений (лишних корней).

Следовательно, корни иррациональных уравнений необходимо всегда проверять!

Значения неизвестной, выраженной комплексными числами, из решения исключаются.

Покажем на примерах, как это делается.

Слайд 21

Пример 1.

Ответ: , т.к. левая часть данного уравнения больше или равна 2.

Пример 2.

Решение.

Возводя в квадрат левую и правую часть данного уравнения, получим:

х + 3 = 16 х = 16 – 3 = 13.

Проверка: – верно.

Ответ: {13}

Слайд 22

Пример 3.

Решение.

Переносим в правую часть величину х и, возведя в квадрат обе части полученного уравнения, будем иметь:

Проверка:

– верно;

следовательно,

х = 13 – лишний корень.

Ответ: {6}.

Слайд 23

Пример 4.

Решение.

Можно сразу возводить в квадрат обе части данного уравнения, но поступим так: оставим в левой части один из радикалов (корней), например 2-й, а затем будем возводить в квадрат:

Проверка: – верно.

Ответ: {-1}.

Слайд 24-25

4. Показательные уравнения

Уравнения, содержащие неизвестную в показателе одной или нескольких степеней, называются показательными.

Например:

Рассмотрим наиболее распространенные показательные уравнения.

1. a^F(x)= 1.

Здесь F(x) — многочлен, содержащий неизвестную х, а – основание степени, где а0, а≠1.

Решение. Так как 1 = а°, то имеем: a^F(x)= a⁰ =F(x)= 0.

Получили одно из известных алгебраических уравнений: линейное, квадратное и т.д.

Пример 1.

.

Решение. Так как 1 = 5⁰, то получаем 

х₁ = –2, х₂ = 4.

Слайд 26

1. a^F{x)=b, где b0

Здесь возможны 2 варианта.

Слайд 27

3. m · a^F(x) + n ·a ^F(x) = С, где m, n, С – действительные числа.

Решение.

a^F(x) (m + n) = С  .

Обозначая , получим (см. 2-й тип).

Пример 5.

Решение.

Так как , то

= = =

= = х = 3.

Слайд 28

4. , где т, п, с – действительные числа.

Решение.

Примем , тогда получим квадратное урав­нение относительно z:, из которого находятся z₁ и z₂, а затем значения х₁ и х₂-

Пример 6.

.

Решение.

Так как , получим .

Пусть , тогда = .

не подходит, т.к. положительное число в любой сте­пени не может стать числом отрицательным. Имеем 3^х =9=х = 2.

Слайд 29

Имеем две равные показательные функции, у которых одинаковые основания. Следовательно, показатели F(x) и Q(x) должны быть равными,

т.е. F(x)= Q(x).

Решая это уравнение, получим соответствующие значения х.

Пример 7.

.

Решение. В этом уравнении значение х входит в показатели четырех степеней. Приведем выражение слева и справа к одному основанию а = 10.

Получим:

0,1 = 10^-1; 100 =10²;,

следовательно, будем иметь: .

При умножении степеней показатели складываются, т.е. по­лучим

Слайд 30

6. , где Q(x) – многочлен относительно х.

Такие уравнения решаются графически.

Пример 8.

.

Справа и слева в этом примере две функции:

– показательная;

– линейная.

Построив их графики в одной системе координат, получим такую картину:

Графики пересекаются в точке: х₁ = -1,8; x₂ = 2.

(примерные)

Показательные уравнения	Слайд 38-40
1) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)	14) 15) 16) 17)

«5» – 90-100% (все ответы совпадают или допущена 1 неточность в записи ответа);

«4» – 80% (в двух примерах ответы совпадают или допущены 2 неточности в записи ответа);

«3» – 70% (правильный ответ только в одном примере);

«2» – задание полностью не выполнено.